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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 18 练 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出 的值，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
因此， .
故选：A.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习） （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.
【详解】因为
所以
故选：C.
3．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知角 终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据三角函数定义求得 ，再根据诱导公式即可求得答案.
【详解】由题意角 终边经过点 ，可得 ，
由诱导公式得 ，故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解题即可.
【详解】因为 ，所以当 ，x可以是锐角也可以时钝角，所以 ，所以不满足充分
性；
当 时，x必为锐角，所以 成立，必要性满足
故选：B
5．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ， 用齐次式方法处理后得 ，将 值代入即可
得出答案.
【详解】方程 ，化简得 ，
则 ，
分子分母同时除以 可得： ，
将 代入可得 ，故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、三角函数的平方关系和商数关系求解即可.
【详解】由已知得 ，两边平方得 ，解得 ，
则原式 .
故选：A
7．（2023·四川·校联考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件结合商的关系可得 ，利用诱导公式和同角关系将所求表达式化为由 表示的形
式，代入条件即可求值.
【详解】由 ，显然 ，可得
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.8．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数诱导公式和二倍角公式直接计算即可.
【详解】 ．
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式，余弦的二倍角公式求出结果.
【详解】 .
故选：C
二、多选题
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A：利用同角三角函数基本关系来计算判断；
对于B：利用倍角公式来计算判断；
对于C：利用倍角公式来计算判断；
对于D：利用两角差的余弦公式来计算判断.【详解】对于A：若 ，其中 ，则 ， ，故A错误；
对于B： ，且 ，则 ，故B正确；
对于C： ，故C正确；
对于D： ，故D正确．
故选：BCD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】对于A选项， ，故A选项正确；
对于B选项， ，故B选项错误；
对于C选项， ，故C选项正确；
对于D选项， ，故D选项正确.
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，所以A正确；对于B中由 ，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）若点 是角 终边上的一点，且 ，则
__________.
【答案】1
【分析】根据三角函数的定义表示出 ，结合 求出 ，即可求得答案.
【详解】由点 是角 终边上的一点，可得 ，
由 可得 ，
即得 ，所以 ，
故答案为：1.
14．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若 ，则 _________.
【答案】
【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】
.
故答案为： .
15．（2023·上海·高三专题练习）已知 ，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式即可.
【详解】 ， ，
， .
,
.
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，那么 ______．
【答案】
【分析】由题知 ，进而根据诱导公式求解即可.
【详解】解：因为 ，所以
所以 .故答案为：
17．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 是关于 的方程 的两
根，则 __________.
【答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到 的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意： ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______.
【答案】
【分析】利用诱导公式得到 ，再利用二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，(1)求 的值；
(2)求m的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系可求出结果，
（2）利用根与系数的关系列方程组，结合 可求出m的值，
（3）先判断出 ，则 ，再代值计算即可
【详解】（1）因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以
（2）因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，得 ，满足 ，
所以
（3）由（2）可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以20．（2023·全国·高三专题练习）已知 是第三象限角，且 .
(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用诱导公式可化简 ；
（2）利用同角三角函数的基本关系可求得 的值，即可得出 的值.
【详解】（1）解： 为第三象限角，则 .
（2）解： ，所以， ，
由已知可得 ，解得 ，则 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， 为方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．【分析】（1）利用根与系数的关系列出关于 ， ， 的方程组，利用三角函数的基本关系平方关
系结合作差，消去 ， ，可以求出 ；
（2）利用诱导公式与同角公式化简表达式，结合（1）中的数据即可得到结果．
【详解】（1）由题意得 ，
则 ， ，
，得 ．
（2）
，
，且 ，
，则 ， ，
，则 ，
故原式 ．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知求得角 的正切值，再根据诱导公式化简求值即可，
【详解】解：∵ 角 的终边经过点 ，
，
．
故选：B．
2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据二倍角公式得到 ，从而得到 ，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为第一象限角. ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，两边平方求出 ，判断 的正负并求出，再利用同角公式计算作答.
【详解】因为 为第一象限角， ，则 ， ，
，即 ，解得 ， ，
所以 .
故选：D
4．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求 ，再结合诱导公式求 .【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
故选：C．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】BD
【分析】先利用正弦二倍角、余弦二倍角公式，以及“1”代换成平方关系式，进行变形计算得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
整理得 ，
则 ，解得 或 ．
故选：BD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】结合三角恒等变换化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意 ，
，，
，
，
所以 或 ，
，或 ，
（舍去），或 ，
所以 ，
， .
所以A选项错误，BCD选项正确.
故选：BCD
三、填空题
7．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 ，求
___________.
【答案】
【分析】先利用诱导公式对 ，可求出 ，再化简
可求得结果【详解】因为 ，
所以 ，得 ，
所以
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ___________.
【答案】
【分析】先由和角公式得 ，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.
【详解】由 得 ，即 ，两边同时平方得
，
即 ，解得 .
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______.
【答案】
【分析】进行弦化切，把 代入直接求值.【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若 ，则 的值为______．
【答案】 或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出 ，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为 ，则
，
则 ，即 ，解得 ，
所以 的值为 或 .
故答案为： 或
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ( )，求 的值.
【答案】
【分析】将 两边平方可得 ，判断x的范围，并求出 ，进而可求得 ， ，即可求得答案.
【详解】∵ ( )，
∴ ，即 ，
把 两边平方得 ，
即 ，
∴ ，
即 ，
联立
解得 ， ，
∴ .
12．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 可得 ，解方程并结合角的范围求得 ；（2）利用弦化切，将 化为 ，可得答案；
（3）利用 ，将 化为 ，继而化为
，求得答案.
【详解】（1）由 得 ，
解得 或 ，
因为 ，故 ，则 ；
（2） ；
（3）
.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算；
（2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.【详解】（1） .
（2）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ；
因为 ，所以 ，
所以 .
所以
.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，求
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；
小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
【详解】（1） ，解得 或
又 ， ，即 .
（2）
，
又 ， 原式=
（3） ， ， ，
又 ， ，
则 .
.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题1．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知 ，且 ，则 可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得 ，化简后可求出 ，再利用同角三角函数的关系
可求出 .
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，
，
所以 或 ，
所以 或 ，
①当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
②当 时， ，
因为 ，所以 ，由于 ，所以解得 ，
③当 时， ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以解得 ，
综上， ，或 ，或 ，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 和 ，分别
在 和 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 ，结合 的范围可确定最终结
果.
【详解】 且 ， ， .
又 ， ， .当 时，
，
， ， 不合题意，舍去；
当 ，同理可求得 ，符合题意.
综上所述： .
故选： .
【点睛】易错点睛：本题中求解 时，易忽略 的值所确定的 的更小的范围，从而误认为 的
取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）存在实数 使得 ，则
实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为 ，利用
两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求 的取值范围.
【详解】
，
设 ， ， ，则 ，
如图，
，当且仅当 三点共线且点 在 之间时等号成立，
又 ，故 的最大值为 ，
因为存在实数 使得
所以
即
故答案为：
【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属
于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值.
