文档文本内容
专题2-2 基本不等式（1）
基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型
高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；
高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”
高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”
模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接利用基本不等式求最值
【题型2】 凑配法求最值
【题型3】分离常数法求最值
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
【题型6】二次比一次型换元法求最值
【题型7】分母换元法（1）：单换元
【题型8】分母换元法（2）：双换元
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
模块三 【课后作业】
模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的
算术平均数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
题型·解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
基本不等式：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号
常用不等式：若
，则
，当且仅当
时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等
式来求最值
【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
【答案】C
【解析】
，
，且
，
（1）
，
当且仅当
，即
，
时，取等号，故
的最大值是：
，故选：
．
【例题2】已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】
，由不等式可知
，
当且仅当
时等号成立，即
的最大值为
.
【例题3】已知正数
，
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立．故
的最大值为4．
【例题4】若
0
0
y
x
，
，
1
4
10
x
y
，则xy 的最小值为______．
【答案】4
25
【简析】
1
4
4
4
4
4
10
2
5
25
25
xy
x
y
xy
xy
xy
，当且仅当
，即
，等号成立.
【巩固练习1】（24-25 高一上·江苏连云港·期末）若
，
，且
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由
，则
，当且仅当
，即
，等号成立.
所以
的最小值为
.
【巩固练习2】若
，
，且
，则
的最小值是________
【答案】
【详解】
，则
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
有最小值
【巩固练习3】若
, 则
的最小值是 ; 此时
的值为 .
【答案】 4; 1
【解析】因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立.
故
的最小值是4，此时
的值为1.
【巩固练习4】已知
，
，且
，则
的最小值是________
【答案】
【详解】由于
，所以
，当且仅当
时等号成
立
【题型2】 凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
基础知识
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)，当且仅当x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m 时等
号成立
【例题1】若
，则
的最小值为 .
【答案】0
【解析】由
，得
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
【例题2】已知a>2，则2a+
8
a−2的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为a>2，所以a−2>0
所以2a+
8
a−2 =2(a−2)+
8
a−2 + 4≥2❑√16+ 4 =12，
当且仅当2(a−2)=
8
a−2，即a= 4时，等号成立．
所以2a+
8
a−2的最小值为12.
【例题3】（24-25 高一上·湖南湘潭·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】运用基本不等式计算即可.
【详解】由题意得
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故
的最小值为3．
【巩固练习1】（24-25 高一上·广东茂名·期末）当
取得最小值时，
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最
小值时的情况.
【详解】将
变形为
.
设
（
），那么式子就变为
.
根据均值不等式则
，当且仅当
时等号成立.
由
（
），即
，解得
（
舍去，因为
）.
当
时，也就是
，那么
，所以
.
当
取得最小值时，
.
【巩固练习2】已知实数x＞3，则4 x+
9
x−3 的最小值是（ ）
A．24
B．12
C．6
D．3
【分析】4 x +
9
x−3 =4（x
3
﹣）+
9
x−3 +12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．
【详解】解：∵x＞3，∴x
3
﹣＞0，
4 x +
9
x−3 =4（x
3
﹣）+
9
x−3 +12≥12+2❑√4( x−3)×
9
x−3 =24，
当且仅当4x
12
﹣
=
9
x−3时，取得最小值24．
【巩固练习3】
（
）的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
【题型3】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：
（x>0）
例2：
【例题1】若
，则函数
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数
的最小值为；故选：C
【例题2】
的最小值是______.
【答案】2√3
【详解】
，当且仅当
时，
即
时取等号
【巩固练习1】已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】将已知条件等式化为
，整体代入结合基本不等式即可得解．
【详解】因为
，
，
，所以
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，即
的最小值为6，故选：B．
【巩固练习2】已知
，则
的最小值为 .
解题技巧
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
【巩固练习3】已知
，则
的最小值是______，此时a=______．
【答案】 2； 0
【分析】化简
，根据基本不等式求解即可.
【详解】显然，
，
则，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，
的最小值是2，此时
.
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到
运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“ 已知x+y=t(t 为常数), 求
的最值” 的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
解题技巧
【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b 满足
，则
的最小值是________
【答案】9
【详解】
，当且仅当
时等
号成立
【例题2】已知
且
，则
的最小值是 ．
【答案】8
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．
【详解】因为
，所以
，
所以
2
1
4
4
2
2
2
2
4
2
8
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
，当且仅当
4
x
y
y
x
，即
4,
2
x
y
时
取等号．所以
2
x
y
的最小值为8
【例题3】（24-25 广东东莞·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当
时，
的最小值为8.
【详解】由
可得：
；
当且仅当
，即当
时，等号成立.
即
的最小值为8.
【例题4】已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
且
，
，所以
，
则
，
当且仅当
时，即当
，
时，等号成立.
因此，
的最小值是
.故选：C.
【巩固练习1】已知
，
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】16
【解析】
当且仅当
时等号成立.即当
时，
取得最小值为16.
【巩固练习2】（24-25 高一下·湖南娄底·期中）已知
，且
，则
的最小
值是 .
【答案】
【分析】依题意可得
，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为
，且
，所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
【巩固练习3】（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y 满足
，则
的最
小值为（ ）
A．36
B．24
C．18
D．12
【答案】B
【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得.
【详解】因
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立．
【巩固练习4】（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知
，且
，
，则
的最小
值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，可得
，利用的代换结合基本不等式求出最小值．
【详解】
，
，
当且仅当
，即
时取等号.
【巩固练习5】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）已知
，
，且
，则
的最小
值是 .
【答案】12
【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果.
【详解】根据题意可知：
；
当且仅当
，即
时，等号成立；
因此
的最小值是12.
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的
目的．
【例题1】已知
，
，
，则
的最小值为 ．
解题技巧
【答案】
【分析】利用基本不等式求得
的最小值．
【详解】依题意
．
当且仅当
时等号成立．
【例题2】已知实数x，
0
y
满足
1
x
y
，则
2
1
x
xy
的最小值为（ ）
A．6
B．4+2 2
C．4+2 3
D．8
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．
【详解】由条件
1
x
y
可得
2
2
1
2(
)
(
)
2
3
2
2
4
4
2 3
x
y
x
y
y
x
y
y
x
x
xy
x
xy
x
y
x
x
y
．
当且仅当
+ =1
3 =
x y
y
x
x
y
，即
3
3
=
2
3
1
=
2
x
y
时等号成立
【巩固练习1】若
，
，且
，则
有最小是________
【答案】5
【详解】
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
有最小值5
【巩固练习2】正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】
中的“1”用“
”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．
【详解】因为正实数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．故
的最小值是
．
【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，可得
，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
【题型6】二次比一次型换元法求最值
基本模型：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当x=√
c
a
时等号成立
【例题1】已知x>0，则x
2−x + 4
x
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．−5
D．−5或3
【分析】由已知可得x
2−x + 4
x
= x + 4
x −1，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由x>0，得x
2−x + 4
x
= x + 4
x −1≥2❑√x⋅4
x −1=3，
当且仅当x = 4
x ，即x =2时等号成立，所以x
2−x + 4
x
的最小值为3．
【例题2】函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
，又
，
解题技巧
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以原函数的最小值为
.
【例题3】已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】令
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的在最小值为.
【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当
时，函数
的最小值为
．
【答案】
【
解
析
】
因
为
，
则
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以，当
时，函数
的最小值为
.
故答案为：
.
【巩固练习2】若
，则函数
的最小值为 .
【答案】3
【解析】由题意，
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成
立.
所以函数
的最小值为3.
【巩固练习3】求
的最小值 .
【答案】9
【解析】将分子配方凑出含有
的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解.
，
，
，
，
当且仅当
即
时，等号成立.
【题型7】分母换元法（1）：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：把其中一个分母进行换元
【例题1】已知0<a< 1
2 ，则
1
2a +
4
1−2a 的最小值是________
A．6
B．8
C．4
D．9
【分析】可以设
，则有
，求
的最小值，用乘“1”法即可
【答案】9
【详解】解：设
，则有
，
当且仅当1−2a
2a
=
8a
1−2a，即a= 1
6时取等号，所以1
2a +
4
1−2a的最小值是9．
【例题2】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，
，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由
，
解题技巧
令
，
，
，
当且仅当
即
时等号成立.
【例题3】已知
，其中
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】16
【解析】因为
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为16
【巩固练习1】若
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
．
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
则
．故答案为：
【巩固练习2】若
，
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】令
，则
，由此可将
变形为
，结
合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，
，
，
，
得：
，
设
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时取得等号，
故
的最小值为
【巩固练习3】已知x∈(0，1
3
)，则
1
x +
1
1−3 x 的最小值是______.
【答案】4+2√3
【
简
析
】
记
，
则
，
则
有
【巩固练习4】（24-25 高一下·河北保定·期中）已知x，y 都是正数．若
，且
，
则
的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由
，得
，而
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为2.
【巩固练习5】（24-25 高一下·浙江衢州·期末）已知实数
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】将原式变形为
，利用基本不等式求解.
【详解】
，
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，所以
的最小值为
.
【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑
解题技巧
双分母换元：可以把2 个分母都换元
【例题1】若正实数
满足
，则
最小值为________
【答案】
【详解】由
，当且仅当
时，等号成立，所以
有最小值
【例题2】（24-25 高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，则
，
，代入所求式子，利用基本不等式中1
的妙用求最小值．
【详解】∵正数
满足
，
∴
，且
，则
，
，
设
，
，则
，
，
，
，
∴
，
当且仅当
，即
时，等号成立，则
的最小值为
．
【巩固练习1】已知
且
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
且
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
【巩固练习2】已知实数
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为
，且
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立
【巩固练习3】设x，y 是正实数，且
，则
的最大值是 .
【答案】
【解析】令
，则
，
可得
，即
，
且
，
∵
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
可得
，
∴
，
即
的最大值是
.
【巩固练习3】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最
小值为 .
【答案】1
【分析】由条件得到
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
且
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，
即
，
时，等号成立，所以
的最小值为
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：
（主要用于和积转换）
【例题1】已知
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．
【答案】B
【解析】
，则有
，
可得
，即
4，当且仅当
时，等号成立.
所以
的最大值为4.
【例题2】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知
，
且
，则
的取值范围为
．
解题技巧
【答案】
【详解】由题意
，且
，当且仅当
时，即
时等号
成立，令
，则上式为：
，即
，
解得
或
（舍），所以
的取值范围为
．
【例题3】（24-25 高一上·贵州·期中）已知
，且
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式得到
、
，进而求
的范围，注意等
号成立条件.
【详解】由
，即
，又
，
所以
，可得
，当且仅当
时等号成立，A 对，B 错；
由
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，C、D 错.
【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若
，
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，解得
（舍去），或
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
即
的取值范围是
【巩固练习2】若
，则
的最小值是 （ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】C
【解析】
，当且仅当
时取等号，
因此
，即
，解得
，
所以当
时，
取得最小值2.
【巩固练习3】已知实数
，
满足
，则
的最大值为________
【答案】
对于选项AB，
，
则
，当且仅当
时等号成立，故
的最大值为
【巩固练习4】（多选题）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
不恒成立，故错误；
对于B：因为
且
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，故正确；
对于C：因为
，所以
，
所以
，所以
，当且仅当
时取等号，故正确；
对于D：由C 可知错误
【巩固练习5】（24-25 高一上·四川宜宾·期末）(多选)若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析
，
，
的取值范围，进而
判断各个选项的正确性.
【详解】已知
，因为
，那么
.
设
（
），则
，移项得到
.
因为
，即
，也就是
，两边平方可得
，所以A 选项正确、B 选项错误.
由
可得
，因为
，所以
，当且仅当
时取等号，所以C 选项正确.
根据完全平方公式
，由前面可知
，
.
那么
，当且仅当
时取等号，所以D 选项正确.
故选：ACD.
【巩固练习6】（24-25 高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知
，求
的最大值；
（2）若
，求
的最小值；
（3）已知
为正实数，
，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）8；（3）
．
【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号；
所以，
的最大值为
.
（2）因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
的最小值为.
（3）
，
．
又
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
由
得
当
，
时，
取得最小值
．
三 【课后作业】
1．已知
，则
的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由题意得
，解得
，
等号成立当且仅当
，所以
的最小值是16.
故答案为：16.
2．（24-25 高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知
，求
的最大值；
（2）若
，求
的最小值；
（3）已知
为正实数，
，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）8；（3）
．
【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号；
所以，
的最大值为
.
（2）因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
的最小值为.
（3）
，
．
又
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
由
得
当
，
时，
取得最小值
．
3．已知
，
，且
，证明：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
，故
；
（2）因为
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
则
，即
．
4．（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）(多选)若
，
，且
，则下列说法
正确的有（ ）
A．
的最小值是
B．
的最大值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可.
【详解】对A ：因为
，即
（当且仅当
即
时取“
”），故A 项正确；
对B：因为
（当且仅当
即
时取“
”），故B 项错误；
对C：因为
，
所以
（当且仅当
即
时取“
”），故C 项正确；
对D：由
，
所以
，由B 知：
成立，故D 项正确.
5．若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：
6．设
为正实数，且
，则
的最小值为
【答案】
【解析】由
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
7．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
8．（江苏南通·二模）设
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
，所以
.
当且仅当
，即
时取等.
9．
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数
的最小值为；故选：C
10．（24-25 高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数
满足
且
，则下列说法
正确的有（ ）
A．若
，则对任意实数，
B．若
，则
C．
的最小值是
D．
的最小值是
【答案】BCD
【分析】应用特殊值
判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由
且
求最小值判断D.
【详解】A：当
，此时
，错；
B：由
，则
，即
，对；
C：
，
当且仅当
时取等号，对；
D：由
，则
，故
，
当
时，
取得最小值
，对；
故选：BCD
11．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值
为 ．
【答案】
【分析】将
变形为
，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
12．已知正数a，b满足a+b=2，则
a
a+1+ 4 b
b+1 的最大值是（ ）
A．9
2
B．11
4
C．1
D．7
3
【分析】设
，则有
，求
最小值，结合乘1 法
即可
【详解】解：a
a+1 + 4 b
b+1 =1−
1
a+1 + 4−
4
b+1 =5﹣（1
a+1 +
4
b+1），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
1
a+1 +
4
b+1 = 1
4 （
1
a+1 +
4
b+1）（a+1+b+1）= 1
4 （1+4+ b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
），
b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
≥2❑√4 =4（当且仅当b+1
a+1 = 4(a+1)
b+1
，即a= 1
3，b= 5
3时，等号成立），
故1
4 （1+4+ b+1
a+1 + 4(a+1)
b+1
）≥1
4 ×9，即1
a+1 +
4
b+1 ≥9
4 ，
故a
a+1 + 4 b
b+1 =5﹣（1
a+1 +
4
b+1 ）≤11
4
13．已知
，则函数
的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以函数
的最小值是
14．若0<a<4 ，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为
，
所以
．
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
则
.
15．正实数
，
满足
，则
的最小值是________
【答案】
【解析】因为正实数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故
的最小值是
16．正实数a，b 满足a+3b−6=0，则
1
a+1 +
4
3b+2 的最小值为______.
【答案】1
【分析】将
变为
，即可将
化为
，展
开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为正实数
满足
，所以
，
则
，
当且仅当
,即
时取等号，
所以
的最小值为1，
17．已知
，则
的最小值是______，此时a=______．
【答案】4 ，
【分析】化简
，根据基本不等式求解即可.
【详解】显然，
，
则，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，
的最小值是4 此时
.
18．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由正数
，
满足
，则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
19．（1）已知正数
、
满足
，求
的最小值；
（2）求函数
的最小值．
【答案】(1)
，(2)
【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得
的最小值；
（2）将
看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
，
所以
，
当且仅当
，且
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
；
（2）因为
，所以
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故函数
的最小值.
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20．利用不等式求最值
（1）已知
，且
，求
的最小值.
（2）已知
，且
，求
的最小值.
【答案】（1）9；（2）16
【分析】由条件可得
，结合基本不等式分别求
和
的最小值.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
所以，
当且仅当
，
时等号成立，即
时等号成立，
所以
的最小值为.
（2）因为
，
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
.
