文档文本内容
专题 2.2 基本不等式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 对基本不等式的理解】..............................................................................................................................1
【题型2 由基本不等式比较大小】..........................................................................................................................3
【题型3 利用基本不等式证明不等式】..................................................................................................................4
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】.....................................................................................................6
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】.....................................................................................................7
【题型6 基本不等式的恒成立问题】......................................................................................................................9
【题型7 基本不等式的有解问题】........................................................................................................................11
【题型8 基本不等式的实际应用】........................................................................................................................13
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，
<.
【题型1 对基本不等式的理解】
1
【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+ ≥2成立的前提条件为（ ）
x−2y
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
4
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+ ≥4中，等号成立的条件是（ ）
a2
A．a=4 B．a=√2 C．a=−√2 D．a=±√2
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；
学科网（北京）股份有限公司a b
④a<0，b<0.其中能使 + ≥2成立的条件有（ ）
b a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
1 1
A．ab≤ B．a2+b2≥
4 2
1 1
C． + >2 D．√a+√b≤1
a b+1
【题型2 由基本不等式比较大小】
4
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋ (a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系
a2
为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若0<a<b，则下列不等式成立的是（ ）
a+b a+b
A．√ab<a< <b B．√ab≤ <a<b
2 2
a+b a+b
C．a<√ab< <b D．a< ≤√ab<b
2 2
a+b 2 1 1
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A= , = + ,G=√ab，则（ ）
2 H a b
A．G≤H≤A B．H≤G≤A
C．G≤A≤H D．H≤A≤G
【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，
2√ab，2ab，a2+b2中最大的一个是（ ）
A．a2+b2 B．2√ab
C．2ab D．a+b
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
( 1)( 1)
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证： 1+ 1+ ≥9.
a b
学科网（北京）股份有限公司【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
1
(1)若0≤x≤1，则√x(1−√x)≤ ；
4
|b a|
(2)若ab≠0，则 + ≥2．
a b
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：a+b+c≥√ab+√bc+√ac.
( 1)( 1)
(2)若a+b=1，求证： 1+ 1+ ≥9.
a b
【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.
(1)a2b3+b2a3≤2；
a3+2b b3+2a
(2) + ≥a+b
a+2 b+2
【知识点2 基本不等式与最值】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，
(3)存在取等号的条件．
学科网（北京）股份有限公司【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
x2+x+25
【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y= 的最小值为（ ）
x
A．6 B．7 C．11 D．12
1
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数y=2x+ (x>0)的最小值为（ ）
x
A．2 B．2√2 C．3 D．4
8
【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当x>a时， 2x+ 的最小值为10，则a=（ ）
x−a
A．1 B．√2 C．2√2 D．4
【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知0<x<4，则√x(4−x)的最大值为（ ）
1
A． B．1 C．√2 D．2
2
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知x>0,y>0,xy+2x−y=10，则x+ y的最小值为
（ ）
A．2√2−1 B．2√2 C．4√2 D．4√2−1
【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知4a2+b2=6，则ab的最大值为（ ）
3 3 5
A． B． C． D．3
4 2 2
1 2
【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则 + 的最小值为
a+2 b+1
（ ）
7 10
A． B．
8 9
9 8
C． D．
10 9
【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（ ）
1 1
A．若ab≤1，则 + ≥2
a b
1 9
B．若a+b=4，则 + 的最小值为4
a b
C．若a2+b2=4，则ab的最大值为2
学科网（北京）股份有限公司√2
D．若2a+b=1，则ab的最大值为
2
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
1
【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对∀x∈(0,+∞)，不等式x>m− 恒成立，则实
x
数m的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
(1 a)
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式(x+ y) + ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a
x y
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
1 4
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数x,y满足 + =1，且不等式
x y
y
x+ >m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
4
A．(−1,4) B．(−∞,−1)∪(4,+∞) C．(−4,1) D．
(−∞,0)∪(3,+∞)
1 1
【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足 + =1，若不等式
a b
b √a2 恒成立，则 的最大值为（ ）
a+ + +2b2−mab≥0 m
2 2
9 3 3+√10
A． B． C．√2 D．
4 2 4
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+ y=xy且存在这样的x，y使不等式
y
x+ <m2+3m有解，则实数m的取值范围是（ ）
4
A．(−1,4) B．(−4,1) C．(−∞,−4)∪(1,+∞) D．(−∞,−3)∪(0,+∞)
2 1
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且 + =1，若2x+ y<m2−8m有解，则实
x y
数m的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足
3x+ y+xy−13=0，且t≥2y+x有解，则t的取值范围是 ．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足4x+9 y=xy且x+ y<m2−24m有解，则实
数m的取值范围是 .
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平
面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价
为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并
求出最低造价；
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足
够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最
大面积是多少？
【变式8-2】（2023春·广东汕头·高一统考期末）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.5<t<1.5），
学科网（北京）股份有限公司其成本为
6
(
1+
1)（万元/万件），其广告宣传总费用为
4t
万元，若将其销售价格定为(
4+
80)万元/万件．
t2 t
(1)将该批产品的利润y（万元）表示为t的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【变式8-3】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为
240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造
价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(a+1152
)
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12000+500 +a 元(a>0)，
x
若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
