文档内容
重难点 01 利用基本不等式求最值【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 直接法求最值】..........................................................................................................................................2
【题型2 配凑法求最值】..........................................................................................................................................3
【题型3 常数代换法求最值】..................................................................................................................................4
【题型4 消元法求最值】..........................................................................................................................................6
【题型5 构造不等式法求最值】..............................................................................................................................7
【题型6 多次使用基本不等式求最值】................................................................................................................10
【题型7 实际应用中的最值问题】........................................................................................................................12
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】................................................................................................................16
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择
题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内
容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代
数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣
“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】
1．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求 的最值”的问题，先将 转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利
用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
1
【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+ +1的最小值为（ ）
a
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a>0，
1 √ 1 1
所以a+ +1≥2 a⋅ +1=3，当且仅当a= 即a=1时取等号；
a a a
故选：B.
4
【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+ 的最小值为（ ）
x
A．－2 B．0 C．1 D．2√2
【解题思路】由基本不等式求得最小值．
4 √ 4 4
【解答过程】∵x>0，∴x+ −4≥2 x× −4=0，当且仅当x= 即x=2时等号成立．
x x x
故选：B．
x2−x+9
【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y= （x>0）的最小值为（ ）
x
A．1 B．3 C．5 D．9
【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.
x2−x+9 9 √ 9 9
【解答过程】y= =x+ −1≥2 x⋅ −1=5，当且仅当x= ，即x=3时等号成立，
x x x x
故选：C.
【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习） ( 3+ 1 ) (1+4x2)的最小值为（ ）
x2
A．9√3 B．7+4√2 C．8√3 D．7+4√3【解题思路】依题意可得
( 3+ 1 ) (1+4x2)=7+ 1 +12x2
，再利用基本不等式计算可得.
x2 x2
【解答过程】 ( 3+ 1 ) (1+4x2)=7+ 1 +12x2≥7+2 √ 1 ⋅12x2=7+4√3，
x2 x2 x2
1 1
当且仅当
=12x2 ，即x4=
时，等号成立，
x2 12
故 ( 3+ 1 ) (1+4x2) 的最小值为7+4√3.
x2
故选：D.
【题型2 配凑法求最值】
16
【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+ 的最小值为（ ）
a−1
A．8 B．9 C．10 D．11
【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.
【解答过程】因为a>1，
16 16 √ 16 16
所以由a+ =a−1+ +1≥2 (a−1)⋅ +1=9，当且仅当a−1= 时取等号，即a=5时取
a−1 a−1 a−1 a−1
等号，
故选：B.
2
【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y= +2x的最小值是（ ）
x−3
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
2 √ 2
【解答过程】由x−3>0，则y= +2(x−3)+6≥2 ⋅2(x−3)+6=10，
x−3 x−3
当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.
故选：C.
4
【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+ ，的
x−2
最小值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，
4 4 √ 4
所以y=4x−1+ =4(x−2)+ +7≥2 4(x−2)⋅ +7=15，
x−2 x−2 x−2
4
当且仅当4(x−2)= ，即x=3时等号成立，
x−2
4
所以函数y=4x−1+ 的最小值为15，
x−2
故选:D．
2x 4 y
【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+ y=xy，则 + 的最小值
x−1 y−1
为（ ）
A．6+2√6 B．4+6√2 C．2+4√6 D．6+4√2
【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.
1 1
【解答过程】若x>0，y>0且满足x+ y=xy，则有 + =1，所以x>1，y>1，
x y
2x 4 y 2(x−1)+2 4(y−1)+4 2 4
+ = + =6+ +
x−1 y−1 x−1 y−1 x−1 y−1
√ 2 4 √ 8
≥6+2 ⋅ =6+2 =6+4√2，
x−1 y−1 xy−(x+ y)+1
2 4 √2
当且仅当 = ，即x=1+ ,y=1+√2时等号成立.
x−1 y−1 2
2x 4 y
所以 + 的最小值为6+4√2.
x−1 y−1
故选：D.
【题型3 常数代换法求最值】
2 3 b
【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若 + =1，则 2a+ 的最
a b 3
小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.
2 3
【解答过程】由题意得a>0，b>0， + =1，
a bb ( b)(2 3) 2b 6a √2b 6a
所以2a+ = 2a+ + =4+1+ + ≥5+2 × =9，
3 3 a b 3a b 3a b
2b 6a
当且仅当 = 时，即a=3，b=9，取等号，故B项正确.
3a b
故选：B.
x y
【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M(1,4)在直线 + =1上，则a+b的最
a b
小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
1 4
【解题思路】根据题意可得 + =1，结合基本不等式运算求解.
a b
1 4
【解答过程】由题意得 + =1，且a>0,b>0，
a b
(1 4) b 4a √b 4a
故a+b=(a+b)⋅ + =5+ + ≥5+2 × =9，
a b a b a b
b 4a
当且仅当 = ，即a=3，b=6时，等号成立.
a b
故选：C.
2
【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8 y−xy=0，则 的最大值为
x+ y
（ ）
2 1 3 1
A． B． C． D．
5 6 7 9
【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.
2 8
【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8 y−xy=0,∴ + =1,
y x
(2 8) 2x 8 y √2x 8 y
x+ y=(x+ y) + = +8+2+ ≥2 × +10=18,
y x y x y x
2 2 1
∴ ≤ = .
x+ y 18 9
故选:D.
2a2 b2+1
【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则 + 的最小值为
a+1 b（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1 2a2 b2+1 2 1
【解题思路】首先根据题意求出0≤a< ，00
1
则b=1−2a>0，解得0≤a< ，2a=1−b≥0，解得01，
x2−3x+14 t2−5t+18 18 √ 18
可得 = =t+ −5≥2 t⋅ −5=6√2−5，
x+1 t t t
18
当且仅当t= 时，即t=3√2时，等号成立，所以x+2y的最小值为6√2−5.
t
故答案为：6√2−5.
【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小
值为 1 3 .
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
b+6
【解答过程】由2a+b+6=ab可得a= >0，由于b>0，所以b>2，
b−2
b+6 8
故a+2b= +2b= +2(b−2)+5，
b−2 b−2
8
由于b>2，所以 +2(b−2)≥2√16=8，当且仅当b=4时等号成立，
b−2
8
故a+2b= +2(b−2)+5≥13，
b−2
故a+2b的最小值为13，
故答案为：13.
【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 −ab+1=0，c2 +d2 =1，则当
√2
(a−c) 2 +(b−d) 2取得最小值时，ab= +1 ．
2
【解题思路】将(a−c) 2+(b−d) 2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，进而转化为(a,b)与圆心(0,0)的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【解答过程】可将(a−c) 2+(b−d) 2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，
1
由a2−ab+1=0，得b=a+ ，
a
而c2+d2=1表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆，(c,d)为圆上一点，
则(a,b)与圆心(0,0)的距离为：√a2+b2= √ a2+ ( a+ 1) 2 = √ 2a2+ 1 +2≥ √ 2 √ 2a2 ⋅ 1 +2=√2√2+2，
a a2 a2
当且仅当2a2= 1 ，即a=± √ 4 1 时等号成立，
a2 2
此时(a,b)与圆心(0,0)的距离最小，即(a,b)与(c,d)两点间距离的平方最小，
即(a−c) 2+(b−d) 2取得最小值.
当a= √ 4 1 时，ab=a2+1= √2 +1，
2 2
√2
故答案为： +1.
2
【题型5 构造不等式法求最值】
【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为8
1 2
B． + 的最小值为2
a−1 b−2
C．a+b有最小值3+√2
D．a2−2a+b2−4b有最大值4
【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式
1 2 1 2 1
化成(a−1)(b−2)=2，即可得 + = +(a−1)≥2，即B正确；不等式变形可得 + =1，利
a−1 b−2 a−1 b a
用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+2√2，C错误；将式子配方可得
a2−2a+b2−4b=(a−1) 2+(b−2) 2−5，再利用基本不等式可得其有最小值−1，无最大值，D错误.
【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥2√2ab，即√ab≥2√2，故ab≥8，
当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；2a b
对于B选项，原式化为(a−1)(b−2)=2,b= >0，故a−1>0；a= >0，故b−2>0；
a−1 b−2
1 2 1
所以 + = +(a−1)≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；
a−1 b−2 a−1
2 1 (2 1) 2a b
对于C选项，原式化为 + =1，故a+b=(a+b) + = +1+2+ ≥3+2√2，
b a b a b a
当且仅当a=√2+1,b=2+√2时等号成立，C错误；
对于D选项，a2−2a+b2−4b=(a−1) 2+(b−2) 2−5≥2(a−1)(b−2)−5=−1，
当且仅当a=1+√2,b=2+√2时等号成立，故有最小值−1，D错误．
故选：B.
【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+ y+xy−3=0；则下列
结论正确的是（ ）
A．xy的最小值是1 B．x+ y的最小值是2
C．x+4 y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4√2−3
(x+ y) 2
【解题思路】利用基本不等式得x+ y+xy−3≥(√xy+3)(√xy−1)、x+ y+xy−3≤ +(x+ y)−3
4
3−y
分别求xy、x+ y的最值，注意取等条件；由题设有x= 且00，y>0，故0<√xy≤1，仅当x= y=1时等号成立，
所以00，y>0，
4
则x+ y≥2，仅当x= y=1时等号成立，故x+ y的最小值是2，B正确；
3−y
由x+ y+xy−3=0，x>0，y>0，可得x= ，且03，C错误；
3−y 2y2+ y+3 2(y+1) 2−3(y+1)+4 4
同上，x+2y= +2y= = =2(y+1)+ −3
y+1 y+1 y+1 y+1
√ 4
≥2 2(y+1)⋅ −3=4√2−3，
y+1
当且仅当y+1=√2，即y=√2−1、x=2√2−1时等号成立，故x+2y≥4√2−3，D错误；
故选：B.
【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
1
A．若x>2，则函数y=x+ 的最小值为3
x−1
3 1
B．若x>0，y>0， + =5，则5x+4 y的最小值为5
x y
C．若x>0，y>0，x+ y+xy=3，则xy的最小值为1
1 2
D．若x>1，y>0，x+ y=2，则 + 的最小值为3+2√2
x−1 y
【解题思路】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
y 2(x−1)
选项D：对式子进行变形得到1+ + +2，再利用基本不等式进行判断即可．
x−1 y
1 1 √ 1
【解答过程】解：选项A：y=x+ =x−1+ +1⩾2 x−1· +1=3，当且仅当(x−1) 2=1时
x−1 x−1 x−1
可以取等号，
但题设条件中x>2，故函数最小值取不到3，故A错误；
3 1
选项B：若x>0，y>0， + =5，
x y
1(3 1) 1( 5x 12y) 1( √5x 12y) 19+4√15
则5x+4 y= + (5x+4 y)= 19+ + ⩾ 19+2 · = ，当且仅当
5 x y 5 y x 5 y x 5
5x 12y
= 时不等式可取等号，故B错误；
y x
选项C：3−xy=x+ y⩾2√xy⇒xy+2√xy−3⩽0当且仅当x= y时取等号，令√xy=t(t⩾0)，t2+2t−3⩽0，解得−3⩽t⩽1，即0<√xy⩽1，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：x+ y=2，(x−1)+ y=1，
1 2 ( 1 2) y 2(x−1) √ y 2(x−1)
+ = + ·[(x−1)+ y]=1+ + +2⩾3+2 · =3+2√2，
x−1 y x−1 y x−1 y x−1 y
当且仅当y=√2x−√2时取等号，
又因为x+ y=2，故¿时等号成立，
1 2
即 + 最小值可取到3+2√2， 故D正确．
x−1 y
故选：D．
【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是
（ ）
y 3 9
A． + 的最小值为4 B．xy的最大值为
x y 8
9
C．√x+√2y的最大值为2 D．x2+4 y2的最小值为
2
【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
y 3 y x+2y y x √ yx
【解答过程】对于A， + = + = + +2≥2 +2=4，当且仅当x= y=1时取等号，故A
x y x y x y xy
正确；
1 1 (x+2y) 2 1 9 9 3 3
对于B，xy= ⋅x⋅2y≤ × = × = ，当且仅当x=2y，即x= ,y= 时取等号，故B正
2 2 2 2 4 8 2 4
确；
对于C，(√x+√2y) 2=x+2y+2√2xy≤3+2 √ 2× 9 =3+3=6，
8
3 3
则√x+√2y≤√6，当且仅当x=2y，即x= ,y= 时，故C错误；
2 4
9 9 3 3
对于D，x2+4 y2=(x+2y) 2−4xy≥9−4× = ，当且仅当x= ,y= 时取等号，故D正确.
8 2 2 4
故选：C.
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
9 2
【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥ + ，则a+b的最小值为（ ）
2a b5 5√2
A．5 B． C．5√2 D．
2 2
( 9 2) 25
【解题思路】先根据基本不等式求出 + (a+b)≥ .然后即可根据不等式的性质得出
2a b 2
(a+b) 2≥ ( 9 + 2) (a+b)≥ 25 ，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
2a b 2
【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
( 9 2) 9 9b 2a √9b 2a 13 13 25
因为 + (a+b)= +2+ + ≥2 × + =6+ = ，
2a b 2 2a b 2a b 2 2 2
9b 2a
当且仅当 = ，即2a=3b时等号成立.
2a b
所以，(a+b) 2≥ ( 9 + 2) (a+b)≥ 25 ，
2a b 2
当且仅当¿，即¿时，两个等号同时成立.
3√2 5√2
所以，a+b≥ +√2= .
2 2
故选：D.
1 2|x|
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+ y=1，y>0，x≠0，则 + 的最小值为
|x| y
（ ）
A．2√2−1 B．2√2+1 C．√2−1 D．√2+1
【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解
得出答案.
1 2|x| x+ y 2x y 2x √ y 2x
【解答过程】当x>0时， + = + = + +1≥2 ⋅ +1 =2√2+1，
|x| y x y x y x y
y 2x
当且仅当 = ，即x=√2−1，y=2−√2时等号成立，此时有最小值2√2+1；
x y
1 2|x| x+ y −2x y −2x √ y −2x
当x<0时， + = + = + −1≥2 ⋅ −1=2√2−1.
|x| y −x y −x y −x y
y −2x
当且仅当 = ，即x=−1−√2，y=2+√2时等号成立，此时有最小值2√2−1.
−x y
1 2|x|
所以， + 的最小值为2√2−1.
|x| y
故选：A.z
【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+ =2，则当
x
4 1
+ 取得最小值时，y+z的值为（ ）
y z
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.
z
【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+ =2，
x
z √ z
所以xy+ =2≥2 xy× =2√yz⇒yz≤1，当且仅当z= yx2时，yz=1，
x x
4 1 √4 1 √ 4 √4 4 1
所以 + ≥2 × =2 ≥2 =4，当且仅当 = 且yz=1时，等号成立；
y z y z yz 1 y z
4 1 4 1
所以当yz=1且 = 时， + 取得最小值4，
y z y z
此时解得¿，
故选：D.
a2+3ab 2 1
【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则 + − 的最大值为
a+2b b+1 b
（ ）
A．√2 B．2−√2 C．3−√2 D．3−2√2
a2+3ab 1 1 a2+3ab 2 1 1
【解题思路】由已知可得 + =3−2b− ，进而有 + − =3−2b− ，结
a+2b b+1 b+1 a+2b b+1 b b
合基本不等式求最大值，注意取值条件.
a2+3ab 1 a(a+3b)+1 a(2b+1)+1
【解答过程】由题设， + = = ，而a=1−b>0，b>0，
a+2b b+1 b+1 b+1
a(2b+1)+1 2+b−2b2 1−2b2 2(1−b2 )−1 1
所以 = =1+ =1+ =3−2b− ，
b+1 b+1 b+1 b+1 b+1
a2+3ab 2 1 1
所以 + − =3−2b− 且00，∴00)（整体报价中含固定费用）.若
x
无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）设甲工程队的总造价为y元，则
( 16)
y=150×2 x+ ×3+400×16+800
x
( 16) √ 16
=900 x+ +7200≥900×2 x⋅ +7200
x x
=14400
16
当且仅当x= 时，即x=4时等号成立.
x
即当宽为4m时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.
( 16) 900a(x+2)
（2）由题意可得900 x+ +7200> .对∀x∈[2,6]恒成立.
x x
x2+8x+16
即a<
x+12
x2+8x+16 4
令y= =(x+2)+ +4
x+2 x+2
∵2≤x≤6,∴4≤x+2≤8.
令t=x+2,t∈[4,8]，
4
则y=t+ +4在[4,8]上单调递增.
t
且t=4时，y =9.
min
∴0 ,对任意x∈[1,5]都成立，进而转化
x x
10x2−13x+184
t< 恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.
20(x+1)
24
【解答过程】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为 米，正面费用为
x
24
360(4× −2×6) ,
x
24 24
故y=360(4× −2×6)+4× ×100+2×300×4x+1200
x x
184
=240( +10x)−3120，1≤x≤5.
x
184 4800t(x+1)
（2）由题意知, 240( +10x)−3120> ，对任意x∈[1,5]都成立,
x x
10x2−13x+184
即t< 对任意x∈[1,5]恒成立，
20(x+1)
令k=x+1 ,则x=k−1,k∈[2,6]，
10(k−1) 2−13(k−1)+184 10k2−33k+207 k 207 33
则t< = = + − ，
20k 20k 2 20k 20k 207 √k 207 √207 √207
而 + ≥2 ⋅ = ，当且仅当k= ∈[2,6]取等号，
2 20k 2 20k 10 10
√207 33
故00.
又因为C∈(0,π)，2A−B∈(0,π)，所以C=2A−B或者C+2A−B=π.
π
当C=2A−B时，A+B+2A−B=π，A= ；
3
当C+2A−B=π时，A=2B与题设A≤B不符.
π
综上所述，A=
.
3
1 π √3
（2）△ABC面积S= bcsin = bc，
2 3 4
π
由AD是角平分线，∠BAD=∠CAD= ，
6
1 π 1 π 1 π
因为S =S +S ，得 bcsin = bsin + csin ，
△ABC △ABD △ADC 2 3 2 6 2 6
4
即b+c=√3bc，由基本不等式√3bc≥2√bc，bc≥ ，
3
2
当且仅当b=c= √3时等号成立.
3
√3 √3 4 √3
所以面积S= bc≥ × = .
4 4 3 3√3
故△ABC面积的最小值 .
3
【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，Q两点，求四边形
PMQN面积的最大值．
【解题思路】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；
（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.
【解答过程】（1）由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．
所以圆C的方程为x2+ y2=9．
（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，
则d= 2 ，|MN|=2√32−d2=2 √ 9− 4 ，
√k2+1 k2+1
√ 4 √ 4k2
|PQ|=2 9− =2 9−
同理可得 (1) 2 k2+1，
+1
k
则
1 1 √ 4 √ 4k2 √ ( 4 )( 4k2 ) 4 4k2
S = |MN|⋅|PQ|= ×2 9− ×2 9− =2 9− 9− ≤9− +9−， =14
PMQN 2 2 k2+1 k2+1 k2+1 k2+1 k2+1 k2+1
4 4k2
当且仅当9− =9− ，即k2=1时等号成立．
k2+1 k2+1
当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=2√32−22=2√5，
1 1
此时S = |MN|⋅|PQ|= ×6×2√5=6√5．
PMQN 2 2
当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S =6√5．
PMQN
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．
【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数f (x)满足( 1 ) 2恒成立．
f f (x)+ −lnx =
2x+1 3
1
(1)设f (x)+ −lnx=k，求实数k的值；
2x+1
2x
(2)解不等式f (7+2x)>− +ln(−ex)；
2x+1
(3)设g(x)=f (x)−lnx，若g(x)≥mg(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由题意列方程求解；
（2）由函数的单调性转化后求解；
（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.
1 1
【解答过程】（1）由题意得f (x)=lnx− +k，f (k)=lnk− +k，
2x+1 2k+1
1
由于y=lnk− +k在k∈(0,+∞)上单调递增，
2k+1
1 2
观察lnk− +k= ，可得k=1；
2k+1 3
1
（2）由于f (x)在定义域内单调，所以f (x)+ −lnx为常数，
2x+1
1
由（1）得f (x)=lnx− +1，f (x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
2x+1
1 2x
f (−x)=ln(−x)− +1=ln(-ex)− ，
2−x+1 2x+1
2x
故原不等式可化为f (7+2x)>− +ln(−ex)=f (−x)，
2x+1
7
由¿，解得− 0，
2x+1 2x+12x 4x+1 4x+1 −2x+1
g(x)≥mg(2x)可化为m≤ ⋅ = =1+
2x+1 4x 4x+2x 4x+2x
对于任意的x∈[1,2]恒成立，
−2x+1 t 1
= =
设t=−2x+1∈[−3,−1]，则 4x+2x (1−t) 2+1−t 2 ，t∈[−3,−1]，
t+ −3
t
2 ( 2 ) 2
由基本不等式得t+ =− −t+ ≤−2√2，当且仅当−t= 即t=−√2时等号成立，
t −t −t
1
( ) =2√2−3
故当t=−√2时 2 ，
t+ −3
t
min
故m≤2√2−2，当且仅当x=log (√2+1)等号成立.
2
实数m的取值范围为(−∞,2√2−2].
【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
点P是长方形A B C D 内一点，∠APC是二面角A−PD −C的平面角.
1 1 1 1 1
(1)证明：点P在A C 上；
1 1
(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.
【解题思路】（1）由二面角定义知AP⊥PD ,CP⊥PD ，利用线面垂直的判定及性质可证PD ⊥面
1 1 1
APC、PD ⊥面ACC A ，结合面APC与面ACC A 有交线，确定它们同平面，进而证结论；
1 1 1 1 1
1 1
（2）构建空间直角坐标系，令P( , ,k)且k>0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，
2 2
应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.
【解答过程】（1）由∠APC是二面角A−PD −C的平面角，则AP⊥PD ,CP⊥PD ，
1 1 1又AP∩CP=P，AP,CP⊂面APC，则PD ⊥面APC，
1
又AC⊂面APC，即PD ⊥AC，由长方体性质知A C //AC，故PD ⊥A C ，
1 1 1 1 1 1
由长方体性质：A A ⊥面A B C D ，又PD ⊂面A B C D ，则PD ⊥A A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又A C ∩A A =A ，A C ,A A ⊂面ACC A ，故PD ⊥面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
而面APC∩面ACC A =AC，且PD ⊥面APC、PD ⊥面ACC A ，根据过AC作与PD 垂直的平面
1 1 1 1 1 1 1
有且仅有一个，
所以面APC与面ACC A 为同一平面，又P∈面A B C D ，面ACC A ∩面A B C D =A C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以点P在A C 上；
1 1
（2）构建如下图示的空间直角坐标系A−xyz，令AB=BC=1，A A =k，
1
由题设，长方体上下底面都为正方形，由（1）知PD ⊥A C ，则P为A C 中点，
1 1 1 1 1
1 1
所以P( , ,k)且k>0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
2 2
1 1 1 1 1 1
则⃗AP=( , ,k)，⃗PC=( , ,−k)，⃗PD=(− , ,−k)，
2 2 2 2 2 2
1
若⃗m=(x,y,z)是面PCD的一个法向量，则¿，令y=2，则⃗m=(0,2, )，
k
|⃗AP⋅⃗m| 2 2 2
|cos〈⃗AP,⃗m〉|= = = ≤ =2(√2−1)
所以 |⃗AP||⃗m| √1 √ 1 √ 1 √3+2√2 ，
+k2 ⋅ 4+ 3+4k2+
2 k2 2k2√4 2
仅当k= 时等号成立，故直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值为2(√2−1).
2
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
(a+b) 2 a2+b2
【解答过程】因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为，
2 2
(x+ y) 2−1=3xy≤3
(x+ y) 2
，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，当且仅当
2
x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1时取等号，所
2
以C正确；
因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以
2 4 2 2
1 2
x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此
√3 √3
5 2 1 1 1
x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+
3 √3 √3 3 3
= 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不成立，所以D错
3 3 6 3 3 3
误．
故选：BC．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
1 1
A．a2+b2≥ B．2a−b>
2 2
C．log a+log b≥−2 D．√a+√b≤√2
2 2
【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【解答过程】对于A，a2+b2=a2+(1−a) 2=2a2−2a+1 =2 ( a− 1) 2 + 1 ≥ 1 ，
2 2 21
当且仅当a=b= 时，等号成立，故A正确；
2
1
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=
，故B正确；
2
(a+b) 2 1
对于C，log a+log b=log ab≤log =log =−2，
2 2 2 2 2 24
1
当且仅当a=b= 时，等号成立，故C不正确；
2
对于D，因为(√a+√b) 2=1+2√ab≤1+a+b=2，
1
所以√a+√b≤√2，当且仅当a=b= 时，等号成立，故D正确；
2
故选：ABD.
x2 y2
3．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C: − =1(a>0,b>0)的两条渐
a2 b2
近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
x2 y2 b
【解题思路】因为C: − =1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=± x，与直线x=a联立方
a2 b2 a
程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结
合均值不等式，即可求得答案.
x2 y2
【解答过程】∵ C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
b
∴双曲线的渐近线方程是y=± x
a
x2 y2
∵直线x=a与双曲线C: − =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
a2 b2
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
x=a
x=a
联立{ b ，解得{
y= x y=b
a故D(a,b)
x=a
x=a
联立{ b ，解得{
y=− x y=−b
a
故E(a,−b)
∴ |ED|=2b
1
∴ △ODE面积为：S = a×2b=ab=8
△ODE 2
x2 y2
∵双曲线C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8
当且仅当a=b=2√2取等号
∴ C的焦距的最小值：8
故选：B.
1 a
4．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 2√2 ．
a b2
【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.
【解答过程】∵ a>0,b>0，
1 a √1 a 2 √2
∴ + +b≥2 ⋅ +b= +b≥2 ⋅b=2√2，
a b2 a b2 b b
1 a 2
当且仅当 = 且 =b，即a=b=√2时等号成立，
a b2 b
1 a
所以
+ +b的最小值为2√2.
a b2
故答案为：2√2.
1 1 8
5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为 4 ．
2a 2b a+b
a+b 8
【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为 + ，利用基本不等式即可求解.
2 a+b
1 1 8 ab ab 8
【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴ + + = + +
2a 2b a+b 2a 2b a+b
a+b 8 √a+b 8
= + ≥2 × =4，当且仅当a+b=4时取等号，
2 a+b 2 a+b结合ab=1,解得a=2−√3,b=2+√3，或a=2+√3,b=2−√3时，等号成立.
故答案为：4.
4
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知5x2y2+ y4=1(x,y∈R)，则x2+ y2的最小值是 ．
5
1−y4 1−y4 1 4 y2
【解题思路】根据题设条件可得x2= ，可得x2+ y2= + y2= + ，利用基本不等式即可
5 y2 5 y2 5 y2 5
求解.
【解答过程】∵5x2y2+ y4=1
1−y4
∴y≠0且x2=
5 y2
1−y4 1 4 y2 √ 1 4 y2 4 1 4 y2 3 1
∴x2+ y2= + y2= + ≥2 ⋅ = ，当且仅当 = ，即x2= ,y2= 时取等
5 y2 5 y2 5 5 y2 5 5 5 y2 5 10 2
号.
4
∴x2+ y2的最小值为 .
5
4
故答案为： .
5
(x+1)(2y+1)
7．（2019·天津·高考真题）设x>0, y>0, x+2y=5，则 的最小值为 4√3 .
√xy
【解题思路】把分子展开化为2xy+6，再利用基本不等式求最值．
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1
【解答过程】∵ = ,
√xy √xy
∵x>0, y>0, x+2y=5,xy>0,∴
2xy+6 2⋅2√3√xy
≥ =4√3，
√xy √xy
当且仅当xy=3，即x=3,y=1时成立，
故所求的最小值为4√3．
8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 ．
600 900
【解题思路】得到总费用为4x+ ×6=4(x+ )，再利用基本不等式求最值．
x x600 900
【解答过程】总费用为4x+ ×6=4(x+ )≥4×2√900=240，
x x
900
当且仅当x= ，即x=30时等号成立．
x
故答案为30.
