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专题 05 基本不等式及其应用
【考纲要求】
1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
【考点总结】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．2．证明：
∵a＋b－2＝()2＋()2－2·
＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤2≤(a，b∈R)．
2.＋≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【题型汇编】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：利用基本不等式求最值
题型三：利用基本不等式解决实际问题
【题型讲解】
题型一：基本不等式及其应用
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列 和等比数列 中，有 ，且 ，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知 ， ，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x，y都是正数，且 ，则下列选项不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河北石家庄·二模）已知 ，则x､y､z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江西新余·二模（文））设 ， ， ，其中 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南衡阳·三模）已知实数 ， ， ．则下列不等式正确的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知 、 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足 ，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
1．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于 的方程 有两个实根 ， ，则下列
不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）
① ； ②
③ ； ④ .
2．（2021·全国·模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数， ，且存在 ，使得
，则 的最小值为________．
四、解答题1．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数 ，已知不等式 恒成立.
(1)求 的最大值 ；
(2)设 ， ，求证： .
2．（2022·四川·成都七中三模（文））设函数 ， ， 恒成立．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证： ．
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知函数
(1)若不等式 的解集为 ，求实数a的值.
(2)若 ，求证: .
题型二：利用基本不等式求最值
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若 、 均为非零实数，则不等式 成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，对于任意 ，必
有 ，若函数 只有一个零点，则函数 有
（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为4 D．最大值为4
4．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列．若存在两项使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·二模（理））△ABC中， ，若 ，则AB边上的高的最大值
为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（
）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则
D．命题 ，则p的否定：
3．（2022·湖南师大附中三模）若 ， ， ，则 的可能取值有（ ）A． B． C． D．
4．（2022·辽宁沈阳·三模）已知 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 关于直线 对称 D． 的最小值为1
5．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，则
三、双空题
1．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在 中， ，D为 中点，P为 上一点，且满足
， 的面积为 ，则 ___________； 的最小值为___________.
2．（2022·天津·二模）如图直角梯形 中， ， ， ，在等腰直角
三角形 中， ，则向量 在向量 上的投影向量的模为____________；若 ， 分别为线
段 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为_______．3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知函数 ，若 在定义域内为单调递减函数，
则实数 的最小值为___________；若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围为
___________.
四、填空题
1．（2022·上海虹口·二模）函数 的值域为_________.
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知 ，当 取到最小值时，
___________．
五、解答题
1．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
2．（2022·上海·高考真题）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
题型三：利用基本不等式解决实际问题
一、单选题
1．（2022·陕西西安·三模（文））已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·安徽省舒城中学一模（文））在三棱锥 中， 平面ABC， ， 与
的外接圆圆心分别为 ， ，若三棱锥 的外接球的表面积为 ，设 ， ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为 的
垂心，若 的面积为 的面积为 的面积为 ，满足 ，当
的面积之和的最大值为8时，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·石室中学二模（理））设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M
是线段PF上的点，且 ，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知 ， ，且 ，则
B．函数 ，若 ，且 ，则 的最小值是C．已知 ，则 的最小值为
D．已知 ，则 的最小值为
2．（2022·浙江·模拟预测）已知三棱锥 ，过顶点B的平面 交分别棱AC，AD于M，N（均不与
棱端点重合）．设 ， ， ，其中 和 分别表示三棱锥 和三棱
锥 的体积．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东肇庆·二模）已知 ， ， ，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、双空题
1．（2022·浙江台州·二模）已知正实数 满足 ，则 的最大值为___________；
的最大值为___________.
四、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
2．（2022·山东济南·三模）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全
民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中 ， 千米．现需要在 ，OB， 上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊
DE，DF，EF，若 ， ，则 的最大值为______千米．
五、解答题
27．（2022·上海松江·二模）如图，农户在 米、 米的长方形地块 上种植向日葵，
并在 处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为
，其中点 、 分别在长方形的边 、 上，监控的区域为四边形 ．记
．
(1)当 时，求 、 两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当 取何值时，监控区域四边形 的面积 最大？最大值为多少？（结果保留整数）
35．（2022·上海宝山·一模）吴淞口灯塔 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小
组测量其高度 （单位： ，如示意图，垂直放置的标杆 的高度 ，使 ， ， 在同一直线上，
也在同一水平面上，仰角 ， .（本题的距离精确到(1)该小组测得 ､ 的一组值为 ， ，请据此计算 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 （单位： ，使 与 之差较大，可
以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 ，试问 为多少时， 最大？
