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专题 2.2 基本不等式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 对基本不等式的理解】..............................................................................................................................1
【题型2 由基本不等式比较大小】..........................................................................................................................3
【题型3 利用基本不等式证明不等式】..................................................................................................................4
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】.....................................................................................................6
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】.....................................................................................................7
【题型6 基本不等式的恒成立问题】......................................................................................................................9
【题型7 基本不等式的有解问题】........................................................................................................................11
【题型8 基本不等式的实际应用】........................................................................................................................13
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，
<.
【题型1 对基本不等式的理解】
1
【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+ ≥2成立的前提条件为（ ）
x−2y
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均
1
为正数，所以不等式(x−2y)+ ≥2成立的前提条件为x−2y>0，即x>2y.
x−2y
学科网（北京）股份有限公司故选：B.
4
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+ ≥4中，等号成立的条件是（ ）
a2
A．a=4 B．a=√2 C．a=−√2 D．a=±√2
【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【解答过程】由基本不等式可知a2+ 4 ≥2 √ a2 ⋅ 4 =4，当且仅当a2= 4 ，
a2 a2 a2
即a=±√2时等号成立，
故选：D.
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；
a b
④a<0，b<0.其中能使 + ≥2成立的条件有（ ）
b a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
a b a
【解题思路】根据基本不等式可知，当 + ≥2成立时，则 >0，可知a、b同号，据此可得出结论.
b a b
a b a
【解答过程】由基本不等式可知，要使得 + ≥2成立，则 >0，所以，a、b同号，所以①③④均可以.
b a b
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
1 1
A．ab≤ B．a2+b2≥
4 2
1 1
C． + >2 D．√a+√b≤1
a b+1
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
(a+b) 2 1
由基本不等式可得ab≤ = （当且仅当a=b时取等号），A正确；
2 4
由基本不等式知a+b √a2+b2，则1 √a2+b2，
≤ ≤
2 2 2 2
1
即a2+b2≥ （当且仅当a=b时取等号），B正确；
2
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1 2
由题得 + = + = ，
a b+1 1−b b+1 1−b2
2
由已知02，
1−b2
1 1
故 + >2，C正确；
a b+1
√a+√b √a+b √1
由基本不等式可得 ≤ = ，
2 2 2
即√a+√b≤√2（当且仅当a=b时取等号），D错误.
故选：D.
【题型2 由基本不等式比较大小】
4
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋ (a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系
a2
为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【解题思路】由基本不等式可得P≥4，通过配方结合12ab，a+b>2√ab，a>a2，b>b2，
∴a+b>a2+b2.
故选：D.
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
( 1)( 1)
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证： 1+ 1+ ≥9.
a b
( 1)( 1) b a
【解题思路】利用a+b=1把 1+ 1+ 化为(2+ )(2+ )，展开利用基本不等式求最值即可证明.
a b a b
【解答过程】因为a>0，b>0，a+b=1，
学科网（北京）股份有限公司( 1)( 1) a+b a+b b a 2a 2b
所以 1+ 1+ =(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) =5+ +
a b a b a b b a
√2b 2a 2b 2a 1
≥5+2 × =9，当且仅当 = ，即a=b= 时等号成立.
a b a b 2
故原题得证.
【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
1
(1)若0≤x≤1，则√x(1−√x)≤ ；
4
|b a|
(2)若ab≠0，则 + ≥2．
a b
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）讨论ab>0和ab<0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.
【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤√x≤1，1−√x≥0，
2
所以 [√x+(1−√x)] 1，
√x(1−√x)≤ =
2 4
1
当且仅当√x=1−√x，即x= 时，等号成立．
4
（2）证明：因为 ，当 时，|b a| b a √b a ，
ab≠0 ab>0 + = + ≥2 ⋅ =2
a b a b a b
当且仅当a=b≠0时等号成立．
当 ab<0 时，|b + a| = ( − b) + ( − a) ≥2 √( − b)( − a) =2 ，
a b a b a b
当且仅当a=−b≠0时等号成立．
|b a|
综上，若ab≠0，则 + ≥2成立，当且仅当a2=b2≠0时等号成立．
a b
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：a+b+c≥√ab+√bc+√ac.
( 1)( 1)
(2)若a+b=1，求证： 1+ 1+ ≥9.
a b
【解题思路】（1）利用基本不等式证明即可；
( 1)( 1) 2
（2）由 1+ 1+ =1+ 利用基本不等式求最值即可.
a b ab
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】（1）因为a，b，c都是正数，所以
1 1
a+b+c= [(a+b)+(b+c)+(a+c)]≥ (2√ab+2√bc+2√ac)
2 2
=√ab+√bc+√ac，当且仅当a=b=c时，等号成立，
所以a+b+c≥√ab+√bc+√ac；
( 1)( 1) 1 1 1 a+b 1 2 2 2
（2） 1+ 1+ =1+ + + =1+ + =1+ ≥1+ =1+ =9，
a b a b ab ab ab ab (a+b) 2 1
2 4
1
当且仅当a=b= 时等号成立.
2
( 1)( 1)
∴ 1+ 1+ ≥9.
a b
【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.
(1)a2b3+b2a3≤2；
a3+2b b3+2a
(2) + ≥a+b
a+2 b+2
【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+b≥2√ab，证明不等式；
（2）首先将不等式左边变形为a2+b2，再利用基本不等式证明.
【解答过程】（1）a2b3+b2a3=a2b2(a+b)=2a2b2，
因为a>0,b>0，2=a+b≥2√ab，则00，(2)和(积)为定值，
(3)存在取等号的条件．
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
x2+x+25
【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y= 的最小值为（ ）
x
A．6 B．7 C．11 D．12
x2+x+25 25
【解题思路】先化简为y= =x+ +1，再利用基本不等式即可求解.
x x
x2+x+25 25 √ 25
【解答过程】∵x>0，∴y= =x+ +1≥2 x⋅ +1=11，
x x x
25
当且仅当x= ，即x=5时，等号成立，
x
x2+x+25
所以函数y= 的最小值为11.
x
故选：C.
1
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数y=2x+ (x>0)的最小值为（ ）
x
A．2 B．2√2 C．3 D．4
【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.
1 √ 1
【解答过程】因为x>0，所以y=2x+ ≥2 2x⋅ =2√2，
x x
1 √2 1
当且仅当2x= ，即x= 时等号成立，即函数y=2x+ (x>0)的最小值为2√2，
x 2 x
故选：B.
8
【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当x>a时， 2x+ 的最小值为10，则a=（ ）
x−a
A．1 B．√2 C．2√2 D．4
【解题思路】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【解答过程】当x>a时，
学科网（北京）股份有限公司8 8 √ 8
2x+ =2(x−a)+ +2a≥2 2(x−a)× +2a=8+2a,
x−a x−a x−a
即8+2a=10，故a=1.
故选:A.
【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知00，
(x+4−x) 2
所以x(4−x)≤ =4，
2
当且仅当x=4−x，即x=2时，等号成立，
所以√x(4−x)≤√4=2，
所以√x(4−x)的最大值为2.
故选：D.
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知x>0,y>0,xy+2x−y=10，则x+ y的最小值为
（ ）
A．2√2−1 B．2√2 C．4√2 D．4√2−1
【解题思路】用y表示x+ y后，根据基本不等式可求出结果.
【解答过程】因为x>0,y>0，
y+10
由xy+2x−y=10，得x= ，
y+2
y+10 8 √ 8
所以x+ y= + y = + y+2−1 ≥2 ⋅(y+2)−1=4√2−1，
y+2 y+2 y+2
当且仅当y=2√2−2时，等号成立.
故x+ y的最小值为4√2−1.
故选：D.
【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知4a2+b2=6，则ab的最大值为（ ）
3 3 5
A． B． C． D．3
4 2 2
【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.
学科网（北京）股份有限公司3
【解答过程】由题意得，6=4a2+b2=(2a) 2+b2≥2⋅2a⋅b，即ab≤ ，
2
√3 √3
当且仅当2a=b，即a= ,b=√3或a=− ,b=−√3时等号成立，
2 2
3
所以ab的最大值为 .
2
故选：B.
1 2
【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则 + 的最小值为
a+2 b+1
（ ）
7 10
A． B．
8 9
9 8
C． D．
10 9
【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为a+2b=6，
所以a+2+2b+2=10，
所以 1 2 1 ( 1 4 ) 1 [ √2b+2 4(a+2)] 9 ，
+ = + (a+2+2b+2)≥ 5+2 ⋅ =
a+2 b+1 10 a+2 2b+2 10 a+2 2b+2 10
4 7
当且仅当2b+2=2(a+2)，即a= ，b= 时，等号成立．
3 3
故选：C.
【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（ ）
1 1
A．若ab≤1，则 + ≥2
a b
1 9
B．若a+b=4，则 + 的最小值为4
a b
C．若a2+b2=4，则ab的最大值为2
√2
D．若2a+b=1，则ab的最大值为
2
1 9 1 (1 9)
【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若a+b=4，则 + = (a+b) + ，展开后
a b 4 a b
使用基本不等式即可判断B.
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 √ 1
【解答过程】∵0m− 恒成立，则实
x
数m的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
1
【解题思路】将已知转化为对∀x∈(0,+∞)，不等式mm− 恒成立，可化为x＋ >m恒成立，
x x
1 √ 1 1
利用基本不等式知x+ ≥2 x⋅ =2，当且仅当x= ，即x=1时等号成立
x x x
( 1)
∴ x+ =2，即m<2恒成立，即实数m的最大值不存在.
x
min
故选：D.
(1 a)
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式(x+ y) + ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a
x y
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
(1 a) xa y
【解题思路】由(x+ y) + =1+ + +a，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，
x y y x
建立不等式，解之即可.
(1 a)
【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要(x+ y) + 的最小值大于等于9即可，
x y
学科网（北京）股份有限公司∵x>0，y>0，a>0，
(1 a) xa y
∴(x+ y) + =1+ + +a≥1+a+2√a，
x y y x
xa y
当且仅当 = 即y=√ax时等号成立，∴a+2√a+1≥9，
y x
∴√a≥2或√a≤−4(舍去)，即a≥4
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
1 4
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数x,y满足 + =1，且不等式
x y
y
x+ >m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
4
A．(−1,4) B．(−∞,−1)∪(4,+∞) C．(−4,1) D．
(−∞,0)∪(3,+∞)
【解题思路】由 1 + 4 =1，可算出 ( x+ y) ，再将最小值代入 ( x+ y) >m2−3m，即可求解.
x y 4 4
min min
y
【解答过程】∵不等式x+ >m2−3m恒成立
4
∴ ( x+ y) >m2−3m
4
min
1 4
∵x>0，y>0，且 + =1
x y
y ( y)(1 4) 4x y √4x y
∴x+ = x+ + = + +2≥2 ⋅ +2=4
4 4 x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 = ，即x=2，y=8时取等号
y 4x
( y)
∴ x+ =4
4
min
∴m2−3m<4，即(m+1)(m−4)<0
解得−14，解一元二次不等式即可.
4 1
【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+ y=xy，所以 + =1，
y x
学科网（北京）股份有限公司所以 y ( y) (4 1) 4x y √4x y ，
x+ = x+ ⋅ + =2+ + ≥2+2 ⋅ =4
4 4 y x y 4x y 4x
4x y
当且仅当 = ，即y=4x=8时等号成立，
y 4x
所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或m>1，
所以m的取值范围是(−∞,−4)∪(1,+∞)．
故选：C.
2 1
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且 + =1，若2x+ y0,y>0，且 + =1，
x y
2 1 2x 2y √2x 2y
所以2x+ y=(2x+ y)( + )=5+ + ≥5+2 ⋅ =9，
x y y x y x
2x 2y
当且仅当 = ，即x= y=3时取等号，此时2x+ y的最小值为9，
y x
因为2x+ y9，即m2−8m−9>0，
解得m<−1或m>9，
故选：A.
【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足
，且 有解，则 的取值范围是 ．
3x+ y+xy−13=0 t≥2y+x t [−7+8√2,+∞)
13−3x
【解题思路】根据已知表示出y= ，若t≥2y+x有解，则t≥(2y+x) ，表示出2y+x，然后利用
x+1 min
基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【解答过程】由题知，因为3x+ y+xy−13=0，
13−3x
所以(x+1)y=13−3x，y= ，
x+1
若t≥2y+x有解，则t≥(2y+x) 即可，
min
因为x，y都是正数，
学科网（北京）股份有限公司26−6x 32−6(x+1)
所以2y+x= +x= +x
x+1 x+1
32 √ 32
= +x+1−7≥2 ⋅(x+1)−7=8√2−7，
x+1 x+1
32
当且仅当 =x+1，即x=4√2−1时，等号成立，
x+1
故t≥8√2−7.
故答案为： .
[−7+8√2,+∞)
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足4x+9 y=xy且x+ y25，
解得：m<−1或m>25，
故答案为：(−∞,−1)∪(25,+∞).
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平
面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价
为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并
求出最低造价；
400
【解题思路】设污水池的长为x米，总造价为y元，宽为 米，得到函数
x
学科网（北京）股份有限公司( 800) 800
y=200× 2x+ +250× +80×400求解.
x x
400
【解答过程】设污水池的长为x米，总造价为y元，则宽为 米．
x
( 800) 800 360000
y=200× 2x+ +250× +80×400=400x+ +32000≥56000，
x x x
360000
当且仅当400x= ，即x=30时等号成立．
x
40
所以设计污水池长为30米，宽为 米时，总造价最低为56000元．
3
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足
够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最
大面积是多少？
【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
3
【解答过程】由题意所示3x+2y=24 ，∴y=12− x，
2
∵x>0，y>0，∴00)，
x
若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
(1200 ) (a+1152 )
（2）根据题意可知500 +3x +24000>12000+500 +a 对任意的x>0恒成立，分离参
x x
3(x+4) 2 (x+4) 2
数可得a< 对任意的x>0恒成立，分类常数结合基本不等式求出 的最小值，即可得解.
1+x 1+x
【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m2，
240
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 米(x>0)，
x
设甲工程队报价为y元，
240 (1200 )
所以y= ×5×250×2+150×5x×2+24000=500 +3x +24000，
x x
√400
因为y≥1500×2 ⋅x+24000=84000，
x
学科网（北京）股份有限公司400
当且仅当 =x，即x=20时等号成立，
x
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
(1200 ) (a+1152 )
（2）根据题意可知500 +3x +24000>12000+500 +a 对任意的x>0恒成立，
x x
即3x2+24x+48>a(1+x)对任意的x>0恒成立，
3(x+4) 2
所以a< 对任意的x>0恒成立，
1+x
因为a>0，
(x+4) 2 (x+1) 2+6(x+1)+9 9 √ 9
= =(x+1)+ +6≥2 (x+1)⋅ +6=12，
1+x 1+x x+1 x+1
9
当且仅当x+1= ，即x=2时等号成立，
x+1
所以0
