文档文本内容
专题2-2 基本不等式（1）
基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型
高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；
高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”
高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”
模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接利用基本不等式求最值
【题型2】 凑配法求最值
【题型3】分离常数法求最值
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
【题型6】二次比一次型换元法求最值
【题型7】分母换元法（1）：单换元
【题型8】分母换元法（2）：双换元
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
模块三 【课后作业】
模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的
算术平均数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
题型·解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
基本不等式：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号
常用不等式：若
，则
，当且仅当
时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等
式来求最值
【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
【例题2】已知
，则
的最大值为 ．
【例题3】已知正数
，
满足
，则
的最大值为 ．
【例题4】若
0
0
y
x
，
，
1
4
10
x
y
，则xy 的最小值为______．
【巩固练习1】（24-25 高一上·江苏连云港·期末）若
，
，且
，则
的最小值为
.
【巩固练习2】若
，
，且
，则
的最小值是________
【巩固练习3】若
, 则
的最小值是 ; 此时
的值为 .
【巩固练习4】已知
，
，且
，则
的最小值是________
【题型2】 凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
基础知识
模型一：mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)，当且仅当x=√
n
m 时等号成立；
模型二：mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m 时等号
成立
【例题1】若
，则
的最小值为 .
【例题2】已知a>2，则2a+
8
a−2的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【例题3】（24-25 高一上·湖南湘潭·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【巩固练习1】（24-25 高一上·广东茂名·期末）当
取得最小值时，
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【巩固练习2】已知实数x＞3，则4 x+
9
x−3 的最小值是（ ）
A．24
B．12
C．6
D．3
【巩固练习3】
（
）的最小值为 ．
【题型3】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：
（x>0）
例2：
解题技巧
【例题1】若
，则函数
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【例题2】
的最小值是______.
【巩固练习1】已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【巩固练习2】已知
，则
的最小值为 .
【巩固练习3】已知
，则
的最小值是______，此时a=______．
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到
运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“ 已知x+y=t(t 为常数), 求
的最值” 的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b 满足
，则
的最小值是________
【例题2】已知
且
，则
的最小值是 ．
【例题3】（24-25 广东东莞·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为
（ ）
解题技巧
A．4
B．
C．6
D．8
【例题4】已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
，
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】16
【解析】
当且仅当
时等号成立.即当
时，
取得最小值为16.
【巩固练习2】（24-25 高一下·湖南娄底·期中）已知
，且
，则
的最小
值是 .
【巩固练习3】（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y 满足
，则
的最
小值为（ ）
A．36
B．24
C．18
D．12
【巩固练习4】（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知
，且
，
，则
的最小
值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【巩固练习5】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）已知
，
，且
，则
的最小
值是 .
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
解题技巧
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的
目的．
【例题1】已知
，
，
，则
的最小值为 ．
【例题2】已知实数x，
0
y
满足
1
x
y
，则
2
1
x
xy
的最小值为（ ）
A．6
B．4+2 2
C．4+2 3
D．8
【巩固练习1】若
，
，且
，则
有最小是________
【巩固练习2】正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【题型6】二次比一次型换元法求最值
基本模型：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac+b (a>0 , c>0)
，当且仅当x=√
c
a
时等号成立
【例题1】已知x>0，则x
2−x + 4
x
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．−5
D．−5或3
【例题2】函数
的最小值为 ．
解题技巧
【例题3】已知
，则
的最小值为 .
【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当
时，函数
的最小值为
．
【巩固练习2】若
，则函数
的最小值为 .
【巩固练习3】求
的最小值 .
【题型7】分母换元法（1）：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：把其中一个分母进行换元
【例题1】已知0<a< 1
2 ，则
1
2a +
4
1−2a 的最小值是________
A．6
B．8
C．4
D．9
【例题2】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】已知
，其中
，
，
，则
的最小值为 ．
【巩固练习1】若
，则
的最小值是 ．
【巩固练习2】若
，
，
，
，则
的最小值为 ．
解题技巧
【巩固练习3】已知x∈(0，1
3
)，则
1
x +
1
1−3 x 的最小值是______.
【巩固练习4】（24-25 高一下·河北保定·期中）已知x，y 都是正数．若
，且
，
则
的最小值为 ．
【巩固练习5】（24-25 高一下·浙江衢州·期末）已知实数
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑
双分母换元：可以把2 个分母都换元
【例题1】若正实数
满足
，则
最小值为________
【例题2】（24-25 高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
且
，则
的最小值为 .
【巩固练习2】已知实数
，且
，则
的最小值是 ．
【巩固练习3】设x，y 是正实数，且
，则
的最大值是 .
【巩固练习3】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最
小值为 .
解题技巧
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：
（主要用于和积转换）
【例题1】已知
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．
【例题2】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知
，
且
，则
的取值范围为
．
【例题3】（24-25 高一上·贵州·期中）已知
，且
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若
，
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】若
，则
的最小值是 （ ）
A．
B．1
C．2
D．
【巩固练习3】已知实数
，
满足
，则
的最大值为________
解题技巧
【巩固练习4】（多选题）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（24-25 高一上·四川宜宾·期末）(多选)若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】（24-25 高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知
，求
的最大值；
（2）若
，求
的最小值；
（3）已知
为正实数，
，求
的最小值.
三 【课后作业】
1．已知
，则
的最小值是 ．
2．（24-25 高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知
，求
的最大值；
（2）若
，求
的最小值；
（3）已知
为正实数，
，求
的最小值.
3．已知
，
，且
，证明：
(1)
；(2)
．
4．（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）(多选)若
，
，且
，则下列说法
正确的有（ ）
A．
的最小值是
B．
的最大值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是
5．若
，且
，则
的最小值为 ．
6．设
为正实数，且
，则
的最小值为
7．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
8．（江苏南通·二模）设
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
9．
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
10．（24-25 高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数
满足
且
，则下列说法
正确的有（ ）
A．若
，则对任意实数，
B．若
，则
C．
的最小值是
D．
的最小值是
11．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值
为 ．
12．已知正数a，b满足a+b=2，则
a
a+1 + 4 b
b+1 的最大值是（ ）
A．9
2
B．11
4
C．1
D．7
3
13．已知
，则函数
的最小值是 ．
14．若0<a<4 ，则
的最小值为______.
15．正实数
，
满足
，则
的最小值是________
16．正实数a，b 满足a+3b−6=0，则
1
a+1 +
4
3b+2 的最小值为______.
17．已知
，则
的最小值是______，此时a=______．
18．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数
，
满足
，则
的最小值为 .
19．（1）已知正数
、
满足
，求
的最小值；
（2）求函数
的最小值．
20．利用不等式求最值
（1）已知
，且
，求
的最小值.
（2）已知
，且
，求
的最小值.
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