文档内容
重难点 01 利用基本不等式求最值【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 直接法求最值】..........................................................................................................................................2
【题型2 配凑法求最值】..........................................................................................................................................2
【题型3 常数代换法求最值】..................................................................................................................................2
【题型4 消元法求最值】..........................................................................................................................................3
【题型5 构造不等式法求最值】..............................................................................................................................3
【题型6 多次使用基本不等式求最值】..................................................................................................................4
【题型7 实际应用中的最值问题】..........................................................................................................................4
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】..................................................................................................................6
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择
题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内
容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代
数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣
“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】
1．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求 的最值”的问题，先将 转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利
用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
1
【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+ +1的最小值为（ ）
a
A．2 B．3 C．4 D．5
4
【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+ 的最小值为（ ）
x
A．－2 B．0 C．1 D．2√2
x2−x+9
【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y= （x>0）的最小值为（ ）
x
A．1 B．3 C．5 D．9
【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）( 3+ 1 ) (1+4x2) 的最小值为（ ）
x2
A．9√3 B．7+4√2 C．8√3 D．7+4√3
【题型2 配凑法求最值】
16
【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+ 的最小值为（ ）
a−1
A．8 B．9 C．10 D．11
2
【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y= +2x的最小值是（ ）
x−3
A．6 B．8 C．10 D．12
4
【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+ ，的
x−2
最小值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
2x 4 y
【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+ y=xy，则 + 的最小值
x−1 y−1
为（ ）
A．6+2√6 B．4+6√2 C．2+4√6 D．6+4√2【题型3 常数代换法求最值】
2 3 b
【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若 + =1，则 2a+ 的最
a b 3
小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
x y
【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M(1,4)在直线 + =1上，则a+b的最
a b
小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
2
【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8 y−xy=0，则 的最大值为
x+ y
（ ）
2 1 3 1
A． B． C． D．
5 6 7 9
2a2 b2+1
【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则 + 的最小值为
a+1 b
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4 消元法求最值】
8
【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+ 的最小值为 .
y
【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+ y+xy=7，则x+2y的最小值为
.
【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小
值为 .
【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 −ab+1=0，c2 +d2 =1，则当
取得最小值时， ．
(a−c) 2 +(b−d) 2 ab=
【题型5 构造不等式法求最值】
【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为8
1 2
B． + 的最小值为2
a−1 b−2C．a+b有最小值3+√2
D．a2−2a+b2−4b有最大值4
【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+ y+xy−3=0；则下列
结论正确的是（ ）
A．xy的最小值是1 B．x+ y的最小值是2
C．x+4 y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4√2−3
【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
1
A．若x>2，则函数y=x+ 的最小值为3
x−1
3 1
B．若x>0，y>0， + =5，则5x+4 y的最小值为5
x y
C．若x>0，y>0，x+ y+xy=3，则xy的最小值为1
1 2
D．若x>1，y>0，x+ y=2，则 + 的最小值为3+2√2
x−1 y
【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是
（ ）
y 3 9
A． + 的最小值为4 B．xy的最大值为
x y 8
9
C．√x+√2y的最大值为2 D．x2+4 y2的最小值为
2
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
9 2
【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥ + ，则a+b的最小值为（ ）
2a b
5 5√2
A．5 B． C．5√2 D．
2 2
1 2|x|
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+ y=1，y>0，x≠0，则 + 的最小值为
|x| y
（ ）
A．2√2−1 B．2√2+1 C．√2−1 D．√2+1
z
【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+ =2，则当
x
4 1
+ 取得最小值时，y+z的值为（ ）
y z3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
a2+3ab 2 1
【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则 + − 的最大值为
a+2b b+1 b
（ ）
A．√2 B．2−√2 C．3−√2 D．3−2√2
【题型7 实际应用中的最值问题】
【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它
的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形
MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），
AD长为x（单位：m）.
(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但
不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的
长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，
由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方
米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.(2≤x≤6)
(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.900a(x+2)
(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为 元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若
x
无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，
同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的
1
长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的 ．因此室的
3
后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平
方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报
价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．
(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；
4800t(x+1)
(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为 元，问是否存在实数t，
x
使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t
满足的条件；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面
积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰
三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，
设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积
最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
c+bcos2A=2acosAcosB(A≤B).
(1)求A；
(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.
【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，Q两点，求四边形
PMQN面积的最大值．
【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数f (x)满足
( 1 ) 2恒成立．
f f (x)+ −lnx =
2x+1 3
1
(1)设f (x)+ −lnx=k，求实数k的值；
2x+1(2)解不等式 2x ；
f (7+2x)>− +ln(−ex)
2x+1
(3)设g(x)=f (x)−lnx，若g(x)≥mg(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
点P是长方形A B C D 内一点，∠APC是二面角A−PD −C的平面角.
1 1 1 1 1
(1)证明：点P在A C 上；
1 1
(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
2．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
1 1
A．a2+b2≥ B．2a−b>
2 2
C．log a+log b≥−2 D．√a+√b≤√2
2 23．（2020·全国·统考高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 x2 y2 的两条渐
O x=a C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
1 a
4．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ．
a b2
1 1 8
5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a+b
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知 ，则 的最小值是 ．
5x2y2+ y4=1(x,y∈R) x2+ y2
(x+1)(2y+1)
7．（2019·天津·高考真题）设x>0, y>0, x+2y=5，则 的最小值为 .
√xy
8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
