文档内容
必考点 14 分式及分式的运算
●题型一 分式的相关概念
★★★1、 分式的定义
【例题1】（2021秋•广阳区校级期末）下列代数式中属于分式的是（ ）
1 x x+3 2
A． B． C． D． x
2x π 2 3
3 3+x 3 3+x x
【例题2】（2022秋•海淀区校级月考）在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（
2+x 2 2 2x π
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题技巧提炼】
A
分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
B
★★★2、 与分式有关的条件
x
【例题3】（2021秋•固始县期末）若分式 有意义，则x应该满足的条件是（ ）
x+1
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥1
1
【例题4】（2021秋•古丈县期末）若分式 无意义，则x的取值范围是（ ）
2x−1
1 1 1 1
A．x＞ B．x＜ C．x= D．x≠
2 2 2 2
x2−4
【例题5】（2021秋•松山区期末）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
x+2
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
2x+1
【例题6】（2021秋•盘山县期末）若分式 的值为正，则x的取值范围为（ ）
x21 1 1 1
A．x≥− B．x≤− C．x＞− 且x≠0 D．x＜−
2 2 2 2
2−|x|
【例题7】（2022秋•晋州市期中）当 的值是﹣1时，则x为（ ）
x−2
A．任意正数 B．任意非负数
C．不等于2的正数 D．不等于2的非负数
【解题技巧提炼】
与分式有关的条件
1.分式有意义的条件是分母不为0．
2.分式无意义的条件是分母为0．
3.分式的值为零的条件是：分子为0且分母不为0.
4.分式的值为正数的条件是分子、分母同号.
5.分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6.分式的值为1的条件是分子分母相等且分母不为0.
7.分式的值为﹣1的条件是分子分母互为相反数且分母不为0.
●题型二 分式的基本性质及应用
★★★1、 分式的基本性质
【例题8】（2022春•碑林区校级月考）下列分式从左到右变形正确的是（ ）
a a+2 a a2 a−b 2 2b
A． = B． = C． =−1 D． =
b b+2 b b2 b−a a ab
−a
【例题9】（2022秋•新宁县校级月考）与分式 的值相等的是（ ）
a−b
a a a −a
A． B． C．− D．
−a−b a+b a−b −a+b
xy
【例题10】（2022春•广西月考）把分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的3倍 B．不变
1
C．扩大到原来的6倍 D．缩小为原来的
3【例题11】不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，且分子与分母的最高次
项的系数都化为正数．
3
−2x2+ y
4 0.03a−0.5b2
（1） ； （2） ．
1
x2−3 y
−0.2a2+b
2
【解题技巧提炼】
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
2.分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
★★★2、 分式的约分与通分
【例题12】（2021秋•聊城期末）下列约分正确的是（ ）
x+2 1 x+2
A． = B． =−1
3x+6 3x x−2
a+b a x6
C． = D． =x4
b+c b x2
1 1
【例题13】（2022秋•张店区期中）分式 与 的最简公分母是（ ）
x2+5x x2−25
A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5）
C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）
x2+6x+9
【例题14】（2017秋•新罗区校级月考）约分：（1） ；
x2−9
a−1 6
通分：（2） ， ．
a2+2a+1 a2−1【解题技巧提炼】
分式的约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约
分．
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
分式的通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
●题型三 分式的乘除运算
8x x−y
【例题15】（2022秋•泰山区校级月考）计算 ⋅ 的结果是（ ）
x−y 8 y
y x x y
A． B．− C． D．−
x y y x
x2−6x+9 x2−9
【例题16】（2021秋•肥城市期末）化简 ÷ 的结果是（ ）
x x2+3x
A．x+3 B．﹣6x C．3﹣x D．x﹣3
【例题17】计算：
b2 2b 3ab a2−2ab+b2 a−b
（1） ÷ • ； （2）（ab﹣a2）÷ • ．
−27a3 9a b4 ab a2
【解题技巧提炼】1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3.分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
●题型四 分式的乘方及乘除混合运算
【例题18】（2022秋•新泰市期中）计算：
x y2 a−2 a2−4
（1）（− ）2•（− ）3÷（﹣xy4） （2） ÷ ；
y x a+3 a2+6a+9
4x2−4xy+ y2 1 b b 3b 4a
（3） ÷(4x2−y2 )⋅ （4）（ ）2÷（− ）•（ ）3•（ ）2．
2x−y 2x+ y 2a a 4a 3b
【解题技巧提炼】
1.分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
2.分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即
“先乘方，再乘除”．
3.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
4.做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
●题型五 分式的加减法
3a+1 a+1
【例题19】（2022•景德镇模拟）计算 − 的结果为（ ）
2a 2a
a+1 a−1
A．1 B．﹣1 C． D．
a a
x−1 x
【例题20】（2022秋•蒙城县期中）计算 + 的结果为（ ）
x2−1 x+1
1 1
A． B．﹣1 C．1 D．
x+1 x−1y−1 y
【例题21】（2022秋•潍坊期中）如果x＞y＞1，那么 − 的值是（ ）
x−1 x
A．正数 B．负数 C．零 D．不确定
a2+b2 2ab 1
【例题22】计算：（1） + （2）x+1 +
a−b b−a 1−x
【解题技巧提炼】
分式的加减法
1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
2.异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成 分母相同 的分式，叫做通分，异分母分式相
加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
●题型六 分式的混合运算
1 x2−4x+4 2
【例题:23】（2022秋•石景山区校级期中）计算： • + ．
2x−4 x+2 x+2
3x x x
【例题24】（2021秋•乳山市期末）化简：( − )÷ ．
x−2 x+2 x2−4
1 a2−2a+1
【例题25】（2021秋•鹤城区校级月考）计算：（1− ）÷ ．
a 2a−23ab+b2 a+b
【例题26】化简：（a+ ）÷ ．
a−b a−b
【解题技巧提炼】
分式的混合运算:
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘方，再算乘除，最后算加
减，有括号的先算括号里面的．
2.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
3.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运
算．
●题型七 整数指数幂
【例题27】（2021秋•谷城县期末）若（x﹣1）﹣1+x0有意义，则x值应该是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞0且x≠1 D．x≠0且x≠1
1 −2 1 0
【例题28】（2022春•碑林区校级月考）若a＝0.32，b＝﹣3﹣2，c=(− ) ，d=(− ) ，则（ ）
3 3
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
1
【例题29】（2022秋•安徽期中）计算：(−1) 3×( ) −2+(−2+5)+20220 ．
3
【例题30】（2021秋•朝阳区校级月考）（2mn2）﹣2（m﹣2n﹣1）﹣3（结果化为只含有正指数幂的形式）【例题31】计算：（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1﹣y﹣1）（结果不含负整数指数幂）．
【解题技巧提炼】
零指数幂：a0＝1（a ≠ 0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1．
负整数指数幂：任何一个不为零的负n次幂都等于这个数的 n次幂的倒数，即 ＝ （a≠0，n为正整
数）
整数指数幂的运算性质：am•an＝am+n（m，n是整数）
（am）n＝ amn （m，n是整数）
（ab）n＝ anbn （n是整数）
●题型八 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【例题32】（2021秋•岳池县期末）一款紫外线灯的波长为300nm（1nm＝10﹣9m），300nm用科学记数法
可以表示为（ ）
A．3×10﹣6m B．3×10﹣7m C．3×10﹣8m D．3×10﹣9m
【例题33】（2022•敖汉旗一模）2022年1月17日10时35分，我国成功发射了试验十三号卫星，为中国
航天取得开门红．其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 0099秒．数据“0.000 000 009 9”用科学记
数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．9.9×10﹣8
【例题34】（2022•丽水模拟）某种冠状病毒的直径约为0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表
示为（ ）
A．12×10﹣7 B．12×10﹣8 C．1.2×10﹣6 D．1.2×10﹣7
【解题技巧提炼】
科学记数法—表示较小的数:
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．◆◆◆题型一 分式的相关概念
2 1 n
1．（2022秋•南岗区校级期中）下列四个式子： ，x2+x， m， ，其中分式的个数有（ ）
a 3 2−n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x+3 x+5
2．（2022秋•栖霞市期中）若式子 + 有意义，则x满足的条件是（ ）
x−3 x−4
A．x≠3且x≠﹣3且x≠4且x≠﹣5 B．x≠﹣3且x≠﹣5
C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠3且x≠4
3．（2022秋•社旗县期中）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
3
A．x+5 B．x2﹣4 C． D．（x+1）3
x−2
x+2
4．（2021秋•巴林左旗期末）若分式 的值是零，则x的值是（ ）
x2−9
A．x＝﹣2 B．x＝±3 C．x＝2 D．x＝﹣2或±3
x+2
5．（2022春•振兴区校级期末）若分式 的值为正数，则x的取值范围是（ ）
x2−2x+1
A．x＞﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1
◆◆◆题型二 分式的基本性质及应用
a−b
6．（2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
−x
−a−b a+b a−b a+b
A． B． C．− D．−
x x x x
b a+b a4−b4 m2−8m
7．（2022秋•临武县校级月考）分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
2a ab+a a2+b2 64−m2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 x 3
8．（2022春•衡阳期中）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
x x2−1 x+1
A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）9．（2022秋•铜仁市校级月考）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
1 1
x+ y
0.2x+1 2 4
（1） ； （2） ．
5−0.3x 1 1
x− y
2 3
10．按要求答题：
2a(a−1)
（1）约分
6a2b(1−a)
x 1
（2）通分 ， ．
x+ y x2y−x y2
◆◆◆题型三 分式的乘除运算
11．（2022秋•宁阳县校级月考）计算：
3xy2 8z3 ab2 −3ax
（1） • ； （2） ÷ ；
4z2 y 2cd 4cd
a 2 3a 2b a+2 1
（3）(− ) ÷ • ； （4） • ；
b 4b 3a a−2 a2+2a
a+1 a a−1 a2−1
（5） • ； （6） ÷ ．
a−1 a2−1 a2−4a+4 a2−4◆◆◆题型四 分式的乘方及乘除混合运算
12．（2021秋•东平县校级月考）计算：
a−b a a−2 a2−4
(1)( ) 2 ⋅(− ) 3 ⋅(a2−b2 )． （2） ÷ ．
ab b−a a+3 a2+6a+9
4x2−4xy+ y2 1 b b 3b 4a
(3) ÷(4x2−y2 )⋅ ． （4）( ) 2÷（− ）⋅( ) 3 ⋅( ) 2 ．
2x−y 2x+ y 2a a 4a 3b
◆◆◆题型五 分式的加减法
13．（2022秋•铜仁市校级月考）计算：
2x+3 x+2 1 2
（1） − ； （2） − ．
x+1 x+1 a−2 a2−2a
2 6 2a 1
（3） − ． （4） + ．
x−3 x2−9 a2−4 2−a
x2 2 2 1
（5） −x−1； （6） + − ．
x−1 x2−1 x+1 x−1
◆◆◆题型六 分式的混合运算
14．（2021 春•奉化区校级期末）记 a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，设 A 为代数式，若 A※
1 x−2y
= ，则A＝ （用含x，y的代数式表示）．
4x2−16 y2 x+2y1 x2+6x+9
15．（2022•金凤区模拟）化简：（1+ ）÷ ．
x+2 x2−4
4m−9 m2−9
16．（2022•大连模拟）计算：（m− ）÷ ．
m−2 m−2
2 2 2
17．（2022秋•云溪区期中）计算（ − ）÷ ．
x+1 x−1 1−x
a2−6a+9 1
18．（2021秋•息县期末）计算： ÷(1− )．
a2−4 a−2
◆◆◆题型七 整数指数幂
19．（2022春•雨城区校级月考）若（a﹣1）0+3（a﹣4）﹣2有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜4 C．a≠1且a≠4 D．a≠1或a≠4
1 1 1
20．（2022春•德化县期中）计算：( )
−2×(3−π) 0+(
)
3÷(
)
2
．
4 2 221．化简：（m3n）﹣2•（2m﹣2n﹣3）﹣2．
22．计算：（2xy﹣1）2•xy÷（﹣2x﹣2y）
23．计算：5a﹣5b2﹣（2ab﹣1）2．
◆◆◆题型八 用科学记数法表示绝对值小于1的数
24．（2021 秋•东湖区校级期末）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为 0.000000102 米，数
0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×10﹣8 B．1.02×10﹣5 C．1.2×10﹣6 D．1.02×10﹣7
25．（2021秋•马尾区校级期末）科学家使用某技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到 0.22纳米，也就是
0.00000000022米．用科学记数法表示数据0.00000000022，其结果是（ ）
A．0.22×10﹣9 B．2.2×10﹣10 C．22×10﹣11 D．0.22×10﹣8
26．（2021秋•交口县期末）清代袁枚的诗《苔》中有这样的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．据了
解苔花的花粉直径大约仅有0.00000084米，该数据用科学记数法可表示为 ．|x|−3
1．（2022秋•东平县期中）若分式 的值为0，则x＝ ．
(x−3)(x+2)
2．（2021秋•林口县期末）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示
为 ．
x+1 x+3
3．（2022秋•蓬莱区期中）当x＝ 时， ÷ 无意义．
x+2 x+4
m 3 m−n
4．（2022秋•长清区期中）已知 = ，则 的值为（ ）
n 2 n
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
2 3 2 3
2xy
5．（2022秋•虹口区校级期中）若分式 中x和y的值都扩大5倍，那么分式的值（ ）
4x−3 y
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对
x2+3xy+ y2
6．（2022秋•南皮县校级月考）已知x+y＝5，xy＝2，则 的值为（ ）
x2y+x y2
9 27
A．2 B． C．3 D．
4 10
a2
7．（2022春•南安市期中）已知a2﹣4a+1＝0，则分式 的值是（ ）
a4+1
1 1
A．7 B．14 C． D．
7 14
1 1 2
8．（2022秋•永年区期中）试卷上一个正确的式子（ + ）÷★ = ，被小颖同学不小心滴上墨
a+b a−b a+b
汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
5x−1 M N
9．（2022秋•渝中区校级期中）已知 = − ，且M、N为常数，则M+N的值为
(x−3)(x+4) x−3 x+4
．|a2−a 1 |
|a b| |a b|
10．式子 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 = ad﹣bc，则二阶行列式 1 =
c d c d a
a2−1
．
a−b
11．（2022春•江都区校级月考）已知a＞b＞0，a2+b2＝6ab，则 的值为（ ）
a+b
√2 √2
A． B．± C．√2 D．±√2
2 2
12．（2021春•高新区期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，
两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．
设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单
价是 元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为
．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式）
13．当x取何值时，下列分式有意义？
1 x−1 √x−2 3x+1 x
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
1−2x |x|−1 2x−6 x2+5 x2−2x+1
14．（2022秋•东营区校级月考）计算：
b2c ac c x2−4 1
（1） × ÷(− ) 2； （2） • ÷（x﹣2）；
a b a x+2 x−2
x−5 x 1+x 2x 1
（3） − − ； （4）( − )(x−y) 2 ．
x−2 x−2 2−x x2−y2 x+ y15．计算：
（1）3a﹣2b•2ab﹣2； （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）
m 2a
16．（2021•南皮县一模）对于代数式M：（1+ ）÷ ，（m为整式）．
a−1 a2−1
（1）当m＝a+1时，化简M的结果为 ；
a+1
（2）若化简M的结果为 ，则m＝ ．
2
2 1
17．（2022秋•滦州市期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题： − ，小明同学
x2−1 x−1
的解答过程如下：
2 1
−
x2−1 x−1
2 1
= −
①
(x+1)(x−1) x−1
2 x+1
= −
②
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
＝2﹣（x+1）③
＝1﹣x④，
（1）请你分析小明的解答从第 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 ；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．
18．（2022秋•西城区校级月考）甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为（m2﹣1）亩，乙
地的种植面积为（m﹣1）2亩（m＞1），最后两块土地收获的水稻重量都是200kg．请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？
19．观察以下等式：
1 1
（﹣1）× =（﹣1）+ ，
2 2
2 2
（﹣2）× =（﹣2）+ ，
3 3
3 3
（﹣3）× =（﹣3）+ ，
4 4
4 4
（﹣4）× =（﹣4）+ ，
5 5
（1）依此规律进行下去，第 5 个等式为 ，猜想第 n 个等式为 •
n n
= + （n为正整数）；
n+1 n+1
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
20．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：
23 x x+2
− ÷ =
2−x x+2 x−2
） ．
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
