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重难点 01 利用基本不等式求最值【八大题型】
【新高考专用】
基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为
选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数
等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数
或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要
紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的解题策略】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存
在取等号的条件．
2．常见的求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
(1)模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
(2)模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号
成
立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
(3)模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,00，则x−4+ 的最小值为（ ）
xA．－2 B．0 C．1 D．2√2
【解题思路】由基本不等式求得最小值．
4 √ 4 4
【解答过程】∵x>0，∴x+ −4≥2 x× −4=0，当且仅当x= 即x=2时等号成立．
x x x
故选：B．
7
【变式1-1】（2024·甘肃定西·一模）x2+ +√7的最小值为（ ）
x2
A．2√7 B．3√7 C．4√7 D．5√7
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
7
【解答过程】由题意知x≠0，所以x2>0, >0，
x2
7 √ 7
所以x2+ +√7≥2 x2 ⋅ +√7=3√7.
x2 x2
7
当且仅当x2= ，即x2=√7时，等号成立.
x2
故选：B.
2a b
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知ab为正数，则 + （ ）
b a
A．有最小值，为2 B．有最小值，为2√2
C．有最小值，为4 D．不一定有最小值
【解题思路】利用基本不等式计算可得.
a b
【解答过程】因为ab为正数，所以 >0， >0，
b a
2a b √2a b 2a b
所以 + ≥2 ⋅ =2√2，当且仅当 = ，即b=√2a时取等号，
b a b a b a
2a b
所以 + 有最小值2√2.
b a
故选：B.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测） ( 3+ 1 ) (1+4x2)的最小值为（ ）
x2
A．9√3 B．7+4√2 C．8√3 D．7+4√3【解题思路】依题意可得
( 3+ 1 ) (1+4x2)=7+ 1 +12x2
，再利用基本不等式计算可得.
x2 x2
【解答过程】 ( 3+ 1 ) (1+4x2)=7+ 1 +12x2≥7+2 √ 1 ⋅12x2=7+4√3，
x2 x2 x2
1 1
当且仅当
=12x2 ，即x4=
时，等号成立，
x2 12
故 ( 3+ 1 ) (1+4x2) 的最小值为7+4√3.
x2
故选：D.
【题型2 配凑法求最值】
1
【例2】（2024·全国·模拟预测）函数y=x2+ (x2>5)的最小值为（
）
x2−5
A．2 B．5 C．6 D．7
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】由x2>5可得x2−5>0，所以y=x2+ 1 =x2−5+ 1 +5≥2 √ (x2−5)⋅ ( 1 ) +5=7，
x2−5 x2−5 x2−5
1
当且仅当x2−5=
，即x=√6时等号成立，
x2−5
故选:D.
4
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a>0,b>0，则a+2b+ 的最小值为（ ）
a+2b+1
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由于a>0,b>0，所以a+2b+1>0，
4 4 √ 4
由a+2b+ =(a+2b+1)+ −1≥2 (a+2b+1)× −1=3,
a+2b+1 a+2b+1 a+2b+1
4
（当且仅当a+2b=1时取等号），可得a+2b+ 的最小值为3，
a+2b+1
故选：D．
4
【变式2-2】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+ ，的最小
x−2值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【解题思路】利用基本不等式求解.
【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，
4 4 √ 4
所以y=4x−1+ =4(x−2)+ +7≥2 4(x−2)⋅ +7=15，
x−2 x−2 x−2
4
当且仅当4(x−2)= ，即x=3时等号成立，
x−2
4
所以函数y=4x−1+ 的最小值为15，
x−2
故选:D．
8
【变式2-3】（2024·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+ 的最小值是（ ）
a−2
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.
【解答过程】因为a>2，所以a−2>0
8 8
所以2a+ =2(a−2)+ +4≥2√16+4=12，
a−2 a−2
8
当且仅当2(a−2)= ，即a=4时，等号成立．
a−2
8
所以2a+ 的最小值为12.
a−2
故选：D.
【题型3 常数代换法求最值】
1 1
【例3】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ）
2x 1+ y
3+2√2 3+2√2 4
A． B． C．2 D．
2 4 3
1 1 1 ( 1 1 ) 1
【解题思路】根据x+ y=1，化简求得 (x+1+ y)=1，得到 + = + × (x+1+ y)
2 2x 1+ y 2x 1+ y 2
1 (3 1+ y x )
= ⋅ + + ，结合基本不等式，即可求解.
2 2 2x 1+ y
1
【解答过程】因为x+ y=1，可得x+ y+1=2，即 (x+1+ y)=1，
2又因为非负实数x,y，所以x>0，y+1>0，
1 1 ( 1 1 ) 1 1 (3 1+ y x )
则 + = + × (x+1+ y)= ⋅ + +
2x 1+ y 2x 1+ y 2 2 2 2x 1+ y
1(3 √1+ y x ) 1 (3 ) 3+2√2
≥ +2 ⋅ = ⋅ +√2 = ，
2 2 2x 1+ y 2 2 4
1+ y x
当且仅当 = 时，即x=2√2−2,y=3−2√2时，等号成立，
2x 1+ y
1 1 3+2√2
所以 + 的最小值为 ．
2x 1+ y 4
故选：B．
9 1
【变式3-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，则 + 的最小值为（ ）
a+1 a+b
A．4 B．6 C．8 D．10
【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.
9 1 ( 9 1 ) 1
【解答过程】 + = + [(a+1)+(a+b)]×
a+1 a+b a+1 a+b 2
[ 9(a+b) (a+1) ] 1
= 9+ + +1 ×
a+1 a+b 2
( √9(a+b) (a+1)) 1 1
≥ 10+2 ⋅ × =8（当且仅当a= ，b=0时取等号）.
a+1 a+b 2 2
故选:C.
x+ y
【变式3-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知x>0，y>0，且2x+ y=1，则 的最小值为（ ）
xy
A．4 B．4√2 C．6 D．2√2+3
【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】因为x>0，y>0，且2x+ y=1，
x+ y 1 1 (1 1) 2x y √2x y
所以 = + = + (2x+ y)= + +3≥2 ⋅ +3=2√2+3，
xy y x y x y x y x
2x y 2−√2
当且仅当 = ，即x= ，y=√2−1时取等号.
y x 2
故选：D.1 1
【变式3-3】（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且 + =1，则a+b的最小值为
3a+b 2a+4b
（ ）
4 2
A． B． C．1 D．2
5 3
【解题思路】观察等式分母可知(3a+b)+(2a+4b)=5(a+b)，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【解答过程】因为
1 1 1 ( 1 1 )
a+b= (5a+5b)= [(3a+b)+(2a+4b)]= [(3a+b)+(2a+4b)] +
5 5 5 3a+b 2a+4b
1( 2a+4b 3a+b ) 1( √2a+4b 3a+b ) 4
= 2+ + ≥ 2+2 ⋅ = ，
5 3a+b 2a+4b 5 3a+b 2a+4b 5
3 1
当且仅当a= ,b= 时取等号，
5 5
4
所以a+b的最小值为 .
5
故选：A.
【题型4 消元法求最值】
y2
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知x,y,z∈(0,+∞)，且满足x−2y+3z=0．则 的最小值为（ ）
xz
A．12 B．6 C．9 D．3
【解题思路】消元后用基本不等式求得最小值．
1
【解答过程】因为x,y,z∈(0,+∞)，且满足x−2y+3z=0．即y= (x+3z)，
2
y2 (x+3z) 2 x2+6xz+9z2 1 x 9z 1 √x 9z x 9z
所以 = = = ( + +6) ≥ (2 × +6)=3，当且仅当 = ，即
xz 4xz 4xz 4 z x 4 z x z x
x=3z时等号成立，
故选：D．
xy
【变式4-1】（2024·北京·模拟预测）设正实数x、y、z满足4x2−3xy+ y2−z=0，则 的最大值为
z
（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3xy 1
= xy
【解题思路】计算得出 z 4x y ，利用基本不等式可求得 的最大值.
+ −3 z
y x
【解答过程】因为正实数x、y、z满足4x2−3xy+ y2−z=0，则z=4x2−3xy+ y2，
xy xy 1 1
= = ≤ =1
则 z 4x2−3xy+ y2 4x
+
y
−3 2
√4x
⋅
y
−3
，当且仅当y=2x>0时取等号.
y x y x
xy
故 的最大值为1.
z
故选：C.
【变式4-2】（2024·浙江绍兴·三模）若x,y,z>0，且x2+xy+2xz+2yz=4，则2x+ y+2z的最小值是
4 ．
【解题思路】由题意可借助x、y表示出z，从而消去z，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
4−x2−xy
【解答过程】由x2+xy+2xz+2yz=4，则2z= ，
x+ y
4−x2−xy (2x+ y)(x+ y)+4−x2−xy
即2x+ y+2z=2x+ y+ =
x+ y x+ y
2x2+3xy+ y2+4−x2−xy x2+2xy+ y2+4 (x+ y) 2+4
= = =
x+ y x+ y x+ y
4 √ 4
=x+ y+ ≥2 (x+ y)⋅ =4，
x+ y x+ y
4
当且仅当x+ y= ，即x+ y=2时，等号成立.
x+ y
故答案为：4.
【变式4-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+ yz+xz+x+z=6，则
3x+2y+z的最小值是 4√3−2 .
6 6
【解题思路】因式分解得到x+z= ，变形后得到3x+2y+z=2(x+ y)+ ，利用基本不等
x+ y+1 x+ y+1
式求出最小值.
【解答过程】因为x,y,z为正实数，
故x2+xy+ yz+xz+x+z=6⇒(x2+xz)+(xy+ yz)+(x+z)=6，
6
即x(x+z)+ y(x+z)+(x+z)=6⇒(x+ y+1)(x+z)=6⇒x+z= ，
x+ y+16
3x+2y+z=2(x+ y)+(x+z)=2(x+ y)+
x+ y+1
6 √ 6
=2(x+ y+1)+ −2≥2 2(x+ y+1)⋅ −2=4√3−2，
x+ y+1 x+ y+1
6 6
当且仅当2(x+ y+1)= ，即x+ y=√3−1，此时x+z= =2√3，
x+ y+1 x+ y+1
所以3x+2y+z的最小值为4√3−2.
故答案为：4√3−2.
【题型5 齐次化求最值】
x+6 y+6
【例5】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+ y=2，则 的最小值为（ ）
xy
25 6√2−3
A．12 B．3+2√2 C． D．
2 2
【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.
x+6 y+6 2x+12y+12 (x+ y)x+6(x+ y)y+3(x+ y) 2
【解答过程】由x+ y=2，则 = =
xy 2xy 2xy
4x2+9 y2+13xy 2x 9 y 13 √2x 9 y 13 25
= = + + ≥2 ⋅ + = ，
2xy y 2x 2 y 2x 2 2
2x 9 y 6 4
当且仅当 = ，即x= ，y= 时，等号成立.
y 2x 5 5
故选：C.
x2+ y
【变式5-1】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则 的最小值为
xy
（ ）
1 1
A． B．2√2 C． D．2√2+1
2√2 2√2+1
【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
x2+ y x2+ y(x+2y) x2+xy+2y2 x 2y x 2y
【解答过程】 = = = + +1，因为x>0,y>0，故 >0, >0，
xy xy xy y x y x
x 2y √ x 2y x 2y √2
则 + +1≥2 × +1=2√2+1，当且仅当 = ,x+2y=1，也即x=√2−1,y=1− 取得等
y x y x y x 2
号，
x2+ y
故 的最小值为2√2+1.
xy
故选：D.1 x−4 y √2
【变式5-2】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知xy=1，且02)，可得x−4 y>0，再将 化为
2 x x2+16 y2
1
8 后利用基本不等式求解即可．
(x−4 y)+
x−4 y
1 1 4
【解答过程】解：由xy=1且02)，代入x−4 y=x− >0，
2 x x
x−4 y x−4 y 1 1 √2
= = ≤ =
又x2+16 y2 (x−4 y) 2+8xy (x−4 y)+ 8 2 √ (x−4 y)⋅ 8 8 ，
x−4 y x−4 y
8
当且仅当x−4 y= ，即x−4 y=2√2，
x−4 y
√6−√2
又xy=1，可得x=√2+√6，y= 时，不等式取等，
4
x−4 y √2
即 的最大值为 ，
x2+16 y2 8
√2
故答案为： ．
8
(x+1) 2+(3 y+1) 2
【变式5-3】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知实数x>0，y>0，则 的最大值为 2 .
x2+9 y2+2
【解题思路】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.
(x+1) 2+(3 y+1) 2 x2+2x+1+9 y2+6 y+1 2(x+3 y)
【解答过程】因为 = =1+ ，
x2+9 y2+2 x2+9 y2+2 x2+9 y2+2
√x2+9 y2 x+3 y
又因为x>0，y>0，所以可由平方均值不等式得： ≥ ，
2 2
(x+3 y) 2
取等号条件是x=3 y，即x2+9 y2≥ ，
2
2(x+3 y) 2(x+3 y) 2 2
1+ ≤1+ =1+ ≤1+ =2
所以上式可变为： x2+9 y2+2 (x+3 y) 2
+2
x+3 y
+
2
2
√x+3 y
⋅
2 ，
2 2 x+3 y 2 x+3 y2 x+3 y
取等号条件是： = ，即x+3 y=2，结合x=3 y，
x+3 y 2
1
可得取到最大值的条件是：x=1,y=
.
3
故答案为：2.
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
ab+bc
【例6】（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
a2+2b2+c2
1 1 √2 √3
A． B． C． D．
2 4 2 2
【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【解答过程】因为a，b均为正实数，
ab+bc a+c a+c a+c
= ≤ =
则a2+2b2+c2 a2+c2 √a2+c2 2√2(a2+c2 )
+2b
2 ×2b
b b
1√a2+2ac+c2 1√1 ac 1√1 ac 1
= = + ≤ + = ，
2 2(a2+c2 ) 2 2 a2+c2 2 2 2√a2×c2 2
a2+c2
当且仅当 =2b，且a=c，即a=b=c时取等号，
b
ab+bc 1
则 的最大值为 ．
a2+2b2+c2 2
故选：A．
z 4 1
【变式6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+ =2，则当 + 取得最小值时，
x y z
y+z的值为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.
z
【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+ =2，
x
z √ z
所以xy+ =2≥2 xy× =2√yz⇒yz≤1，当且仅当z= yx2时，yz=1，
x x
4 1 √4 1 √ 4 √4 4 1
所以 + ≥2 × =2 ≥2 =4，当且仅当 = 且yz=1时，等号成立；
y z y z yz 1 y z4 1 4 1
所以当yz=1且 = 时， + 取得最小值4，
y z y z
此时解得¿，
故选：D.
1 2
【变式6-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且 + =c2+d2=2，则
a b
b
a+ 的最小值为（ ）
cd
A．3 B．2√2
3+√2 3+2√2
C． D．
2 2
1 b
【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解 ≥1，从而将a+ 的最小值转化为a+b的最小值，再利
cd cd
用乘“1”法求解不等式最小值.
1 2 c2+d2 1
【解答过程】因为 + =c2+d2=2，所以cd≤ =1，即 ≥1，当且仅当c=d=1时取等号，所以
a b 2 cd
a+
b
的最小值为a+b的最小值，所以
1
(a+b)
(1
+
2)
=
1(
3+
b
+
2a)
≥
1(
3+2
√b
⋅
2a)
=
3+2√2
，
cd 2 a b 2 a b 2 a b 2
b 3+2√2
当且仅当¿时取等号，所以a+ 的最小值为 .
cd 2
故选：D.
a2b+a2c
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则 的最大值为
4a4+b2+c2
（ ）
1 √2 √2 √3
A． B． C． D．
2 4 2 4
【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【解答过程】因为a为非零实数，a2>0，b，c均为正实数，
a2b+a2c b+c b+c b+c
= ≤ =
则4a4+b2+c2 4a2+ b2+c2 2 √ 4a2× b2+c2 4√b2+c2
a2 a21 √b2+2bc+c2 1 √ 2bc 1 √ 2bc √2
= = 1+ ≤ 1+ = ，
4 b2+c2 4 b2+c2 4 2bc 4
b2+c2
当且仅当4a2= 且b=c，即√2a2=b=c时取等号，
a2
a2b+a2c √2
则 的最大值为 ．
4a4+b2+c2 4
故选：B．
【题型7 实际应用中的最值问题】
【例7】（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄
金100g，售货员先将50g砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g砝码放在天平
右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（
）
A．小于100g B．等于100g
C．大于100g D．与左右臂的长度有关
【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质
量的取值范围，进而得到选项.
【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则¿，解之得¿，
50x 50 y √50x 50 y
则顾客购得的黄金为a+b= + ≥2 × =100（克），
y x y x
（当且仅当x= y时等号成立），
由题意知，x≠ y，则a+b>100克.
故选：C.
【变式7-1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了
解到下列信息：每月土地占地费y （单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货
1
物费y （单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y =4 y .要使这家公司的两项费用之和
2 2 1
最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2km B．3km C．4km D．5kmk
【解题思路】设y = 1,y =k x,(k >0,k >0)，结合题意求出k =9k ，从而求出两项费用之和的表达
1 x 2 2 1 2 1 2
式，利用基本不等式，即可求得答案.
k
【解答过程】由题意设y = 1,y =k x,(k >0,k >0)，仓库到车站的距离x>0，
1 x 2 2 1 2
4k
由于在距离车站6km处建仓库，则y =4 y ，即6k = 1,∴k =9k ，
2 1 2 6 1 2
9k √9k
两项费用之和为y= y + y = 2+k x≥2 2 ⋅k x=6k ，
1 2 x 2 x 2 2
9k
当且仅当 2=k x，即x=3时等号成立，
x 2
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.
故选：B.
【变式7-2】（24-25高一上·四川泸州·期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩
形花室．
(1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；
(2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值．
【解题思路】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解；
（2）由基本不等式即可得解.
【解答过程】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为a米，与墙体平行的围墙的边长为b米．
因为栅栏的总长为120米，所以3a+2b≤120，
120−2b
其中00)元，若无论左面
x
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.
【解题思路】（1）设甲工程队的总报价为y元，根据题意可得出y关于x的函数关系式，利用基本不等式
可求出y的最小值，利用等号成立的条件求出x的值，即可得出结论；
( 100) 320a(1+x) (x+10) 2
（2）根据题意可得出320 x+ +6400> ，可知，a< 对任意的x∈[6,12]恒成立，
x x x+1
(x+10) 2
利用基本不等式求出 (x∈[6,12])的最小值，即可得出实数a的取值范围.
x+1
【解答过程】（1）解：设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，
100
则长方体前面新建墙体的长度为 米，
x
100
所以y=160×2x×1+320× ×1+6400，
x
( 100) √ 100
即y=320 x+ +6400≥320×2 x⋅ +6400=12800，
x x
100
当且仅当x= 时，即x=10时，等号成立.
x
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.
( 100) 320a(1+x)
（2）解：由题意可知，320 x+ +6400> ，
x x( 100) a(1+x)
即 x+ +20> 对任意的x∈[6,12]恒成立，
x x
(x+10) 2 a(1+x) (x+10) 2 [(x+10) 2]
所以 > ，可得a< ，即a< .
x x x+1 x+1
min
(x+10) 2 81 √ 81
=x+1+ +18≥2 (x+1)⋅ +18=36，
x+1 x+1 x+1
81 (x+10) 2
当且仅当x+1= 时，即x=8时， 取最小值36，
x+1 x+1
则00,y>0
3 4
x 3 y+2 7
所以 + =
3 12 6
(1 1 )(x 3 y+2) 1 3 y+2 x 1
所以 + + = + + +
x 3 y+2 3 12 3 12x 3(3 y+2) 12
5 3 y+2 x √3 y+2 x 5 1 5 3
= + + ≥2 ⋅ + = + = ，
12 12x 3(3 y+2) 12x 3(3 y+2) 12 3 12 4
3 y+2 x
当且仅当 = ，即3 y+2=2x时等号成立，
12x 3(3 y+2)
3
1 1 4 9
所以 + ≥ = .
x 3 y+2 7 14
6
故选：C.
x2 y2
【变式8-1】（2020·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C: − =1(a>0,b>0)的两
a2 b2
条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
x2 y2 b
【解题思路】因为C: − =1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=± x，与直线x=a联立方
a2 b2 a
程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结
合均值不等式，即可求得答案.x2 y2
【解答过程】∵ C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
b
∴双曲线的渐近线方程是y=± x
a
x2 y2
∵直线x=a与双曲线C: − =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
a2 b2
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
x=a
x=a
联立{ b ，解得{
y= x y=b
a
故D(a,b)
x=a
x=a
联立{ b ，解得{
y=− x y=−b
a
故E(a,−b)
∴ |ED|=2b
1
∴ △ODE面积为：S = a×2b=ab=8
△ODE 2
x2 y2
∵双曲线C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8
当且仅当a=b=2√2取等号
∴ C的焦距的最小值：8
故选：B.
【变式8-2】（23-24高三·全国·阶段练习）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
(acosC+ccosA)tan A=√3b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=√3，求bc的最大值．
【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式即可求出tan A，结合角A的取值范围即
可求解；
（2）由（1）知，结合余弦定理得到关于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.【解答过程】（1）因为(acosC+ccosA)tan A=√3b，
利用正弦定理可得，(sin AcosC+sinCcosA)tan A=√3sinB，
即sin(A+C)tan A=√3sinB，因为A+C=π−B，
所以sin(π−B)tan A=√3sinB，即sinBtan A=√3sinB，
因为00,b>0)就是最简单的平均值不等式.一般地，假
2
a +a +⋅⋅⋅+a 1 n
设a ,a ,⋅⋅⋅,a 为n个非负实数，它们的算术平均值记为A = 1 1 n= ∑a（注：
1 2 n n n n i
i=1
n 1 n 1
( )
∑a =a +a +⋅⋅⋅+a ），几何平均值记为G =(a a ⋅⋅⋅⋅⋅a )n= Πa n亦（注：
i 1 1 n n 1 2 n i
i=1 i=1
n
Πa =a a ⋅⋅⋅⋅⋅a ），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：
i 1 1 n
i=1
a +a +⋅⋅⋅+a
1 1 n≥√n a a ⋅⋅⋅⋅⋅a ，即A ≥G ，当且仅当a =a =⋅⋅⋅=a 时等号成立，上述不等式
n 1 1 n n n 1 2 n
称为平均值不等式，或简称为均值不等式.
8
(1)已知x>y>0，求x+ 的最小值；
y(x−y)
(2)已知正项数列{a }，前n项和为S .
n n
n n
（i）当S =1时，求证：Π(1−a2)≥(n2−1) n Πa2；
n i i
i=1 i=1n n Si
（ii）求证：Π(1+a )≥∑ n.
i i!
i=1 i=0
【解题思路】（1）凑配成三个数的均值不等式；
（2）（i）对1+a =a +a +⋯+a +a,1−a =a +a +⋯+a −a应用均值不等式后相乘可证；（ii）首
i 1 2 n i i 1 2 n i
先应用均值不等式，然后由二项式定理展开，再结合不等式n!=(n−i)!(n−i+1)⋅⋯⋅n≤(n−i)!ni可证．
8
【解答过程】（1）(x−y)+ y+ ≥3√38=6，
y(x−y)
8
当且仅当x−y= y= ，即x=4,y=2时等号成立，
y(x−y)
8
则x+
的最小值为6．
y(x−y)
（2）（i）证明：因为a +a +⋯+a =1，
1 2 n
1
所以由均值不等式可得1+a i =a 1 +a 2 +⋯+a n +a i ≥ (n+1)(a a ⋅…⋅a a )n+1，
1 2 n i
a 1
( )
1−a =a +a +⋯+a −a ≥(n−1) a a ⋯⋯⋅ n n−1 ．取i=1,2,⋯,n，再将之分别累积后得
i 1 2 n i 1 2 a
i
n n
∏❑(1−a2)≥(n2−1) n ∏❑a2．
i i
i=1 i=1
（ii）证明：因为G ≤A ，
n n
(n+a +a +⋯+a ) n ( S ) n
所以(1+a )(1+a )⋅⋯⋅(1+a ) ≤ 1 2 n = 1+ n
1 2 n n n
S (S ) 2 (S ) i (S ) n
=1+C1× n+C2 n +⋯+Ci n +⋯+Cn n ，
n n n n n n n n
因为n!=(n−i)!(n−i+1)⋅⋯⋅n≤(n−i)!ni，
(S ) i n! 1 Si
所以Ci n = ⋅ Si ≤ n，
n n i!(n−i)! ni n i!
从而证明成立．一、单选题
1 1
1．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且 + =1，则4x+ y的最小值为（ ）
x−1 y
15+5√5
A．13 B． C．14 D．9+√65
2
( 1 1)
【解题思路】由4x+ y=4(x−1)+ y+4=[4(x−1)+ y] + +4，利用基本不等式即可求.
x−1 y
1 1
【解答过程】∵x>1，∴x−1>0，又y>0，且 + =1，
x−1 y
( 1 1) y 4(x−1)
∴4x+ y=4(x−1)+ y+4=[4(x−1)+ y] + +4=9+ +
x−1 y x−1 y
√ y 4(x−1)
≥9+2 ⋅ =13，
x−1 y
当且仅当¿，解得¿时等号成立，故4x+ y的最小值为13.
故选：A.
2．（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+ y=xy−3，则xy的最小值为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．9
【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.
【解答过程】x+ y=xy−3≥2√xy，
(√xy) 2 −2√xy−3=(√xy−3)(√xy+1)≥0，
√xy−3≥0,xy≥9，
当且仅当x= y=3时等号成立，
所以xy的最小值为9.
故选：D.
3 6
3．（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则 + 的最小值为（ ）
a b
A．9 B．18 C．24 D．27
【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.
3 6 1 (3 6) 1( 6a 6b ) 1( √6a 6b)
【解答过程】根据题意可得 + = (a+2b) + = 3+ + +12 ≥ 15+2 ⋅ =9；
a b 3 a b 3 b a 3 b a
6a 6b
当且仅当 = ，即a=1,b=1时，等号成立；
b a3 6
此时 + 的最小值为9.
a b
故选：A.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
1 1
A．若正实数a,b满足a+b=1，则 + 有最小值4
a b
B．若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥2√2
C．y=√x2+3+ 1
的最小值为
4√3
√x2+3 3
D．若a>b>1，则ab+1b>1，但ab+1=3⋅2+1=7>5=3+2=a+b，故D错误.
故选：D.
a3+b3
5．（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤ ，则实数λ的最大值为（ ）
a−b
A．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2a3+b3 a 2
−a2 1+( )
a−b b2+a2 b
【解题思路】由不等式可得λ≤ = = ，求出右边的最小值，进而可得λ的最大值．
b2 ab−b2 a
−1
b
a3+b3 a 2
−a2 1+( )
a3+b3 a−b b2+a2 b
【解答过程】因为a>b>0，若a2+λb2≤ ，可得λ≤ = = ，
a−b b2 ab−b2 a
−1
b
a
设t= >1，只需要λ小于等于右边的最小值即可，
b
a 2
1+( )
b 1+t2
则 = ，
a t−1
−1
b
令s=t−1>0，可得t=s+1，
1+(s+1) 2 2 √ 2 2
所以 =s+ +2≥2 s⋅ +2=2√2+2，当且仅当s= ，即s=√2时取等号，
s s s s
所以λ≤2+2√2，
即λ的最大值为2+2√2．
故选：A．
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世
纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观
《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为
正数）.则(a+b) 2=4ab+(b−a) 2，(a+b) 2=2c2−(b−a) 2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好
奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），
请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>0,b>0，结合基本不等式即可得a2+b2的最小值.
【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0，
则a+b≥2√ab，即6≥2√ab，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立
又“赵爽弦图”的面积为a2+b2=(a+b) 2−2ab=36−2ab≥36−2×9=18，
所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.
故选：B.
y
7．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+ y=2xy，且不等式x+ 2}
C．{m∣−21}
y y
【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得x+ 的最小值，把不等式x+ 2，即可求解.
1 4
【解答过程】由两个正实数x,y满足4x+ y=2xy，得 + =2，
x y
y 1(1 4)( y) 1( 4x y ) 1( √4x y )
则x+ = + x+ = 2+ + ≥ 2+2 ⋅ =2，
4 2 x y 4 2 y 4x 2 y 4x
4x y
当且仅当 = ，即y=4x=4时取等号，
y 4x
y
又由不等式x+ 2，解得m<−1或m>2，
4
所以实数m的取值范围为{m∣m<−1或m>2}.
故选：B.
8．（2024·山东淄博·二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则
{2 1 }
max , ,x2+4 y2 的最小值为（ ）
x y
1
A． B．1 C．2 D．4
2
{2 1 } 2 1
【解题思路】设M=max , ,x2+4 y2 ，可得3M≥ + +x2+4 y2 ，利用基本不等式运算求解，注
x y x y
意等号成立的条件.【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，
{2 1 } 2 1
设M=max , ,x2+4 y2 ，则M≥ >0,M≥ >0，M≥x2+4 y2>0，
x y x y
2 1 2 1 2 1
则3M≥ + +x2+4 y2≥ + +2√x2 ⋅4 y2= + +4xy，
x y x y x y
当且仅当x2=4 y2，即x=2y时，等号成立，
2 1 √2 1
又因为 + +4xy≥33 ⋅ ⋅4xy=6，
x y x y
2 1
当且仅当 = =4xy，即x=2y=1时，等号成立，
x y
{2 1 }
可得3M≥6，即M≥2，所以M=max , ,x2+4 y2 的最小值为2.
x y
故选：C.
二、多选题
9．（2024·贵州铜仁·模拟预测）下列不等式正确的有（ ）
A．当0−1时，x+ ≥1
x+1
3
D．函数y=1−2x− (x<0)最小值为1+2√6
x
【解题思路】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可.
【解答过程】对选项A，00，
则√x(10−x)≤
√ (x+10−x) 2
=5，当且仅当x=10−x，即x=5时等号成立，故A正确.
2
1 1
对选项B，取x=1,y=1，满足x+ y=2 ，显然 + <2不成立，故B错误；
x y
对选项C，因为x>−1，x+1>0，
1 1 √ 1
所以x+ =x+1+ −1≥2 (x+1)⋅ −1=1，
x+1 x+1 x+1
1
当且仅当x+1= ，即x=0时，等号成立，故C正确.
x+1对选项D，当x<0时，y=1−2x− 3 ≥2 √ (−2x)⋅ ( − 3) +1=1+2√6，
x x
3 √6
当且仅当−2x=− ，即x=− 时，等号成立，故D正确.
x 2
故选：ACD.
10．（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（ ）
A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36
2 1 2
C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2
a b 3
【解题思路】对于A，根据基本不等式可得ab=a+2b+6≥2√2ab+6，进而求解即可判断；对于B，根
2 1 6
据基本不等式可得a2+b2≥2ab≥36，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得 + =1− ，进而
a b ab
a+6 8
结合ab≥18即可判断；对于D，结合题意可得b= ，a>2，进而得到a+b=a−2+ +3，再根据
a−2 a−2
基本不等式求解即可判断.
【解答过程】对于A，由于ab=a+2b+6≥2√2ab+6，即(√ab−3√2)(√ab+√2)≥0，
则√ab≥3√2，即ab≥18，当且仅当a=2b=6时等号成立，
所以ab的最小值为18，故A正确；
对于B，由a2+b2≥2ab≥36，当且仅当a=b且a=2b时等号成立，
显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；
2 1 a+2b ab−6 6 6 2
对于C，由于ab=a+2b+6，所以有 + = = =1− ≥1− = ，
a b ab ab ab 18 3
当且仅当a=2b=6时等号成立，
2 1 2
即 + 的最小值为 ，故C正确；
a b 3
a+6
对于D，因为a>0，b= >0，所以a>2，
a−2
a+6 8 √ 8
所以a+b=a+ =a−2+ +3≥2 (a−2)⋅ +3=4√2+3，
a−2 a−2 a−2
8
当且仅当a−2= ，即a=2+2√2，b=1+2√2时等号成立，
a−2
则a+b的最小值为3+4√2，故D正确．故选：ACD．
11．（2024·吉林长春·模拟预测）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等
号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等
式的发展影响深远，若a>0,b>0，则下面结论正确的是（ ）
1 1
A．若a>b，则 <
a b
1 4 9
B．若 + =4，则a+b有最小值
a b 4
C．若ab+b2=2，则a+b≥4
D．若a+b=2，则ab有最大值2
【解题思路】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出a+b范围作
答；利用均值不等式计算判断D作答.
a b 1 1
【解答过程】对于A，a>b>0，则 > ，即 < ，A正确；
ab ab a b
1 4 1 1 4 1 b 4a 1 √b 4a 9
对于B，a>0,b>0， + =4，则a+b= ( + )(a+b)= (5+ + )≥ (5+2 ⋅ )= ，
a b 4 a b 4 a b 4 a b 4
b 4a 3
当且仅当 = ，即b=2a= 时取等号，B正确；
a b 2
2 2
对于C，a>0,b>0，由ab+b2=2得：a= −b>0，有0√2，C不正确；
b b
a+b 2
对于D，a>0,b>0，a+b=2，则ab≤( ) =1，当且仅当a=b=1时取等号，D错误.
2
故选：AB.
三、填空题
12．（2024·海南·模拟预测）已知实数a，b满足ab=2，则a2+4b2的最小值为 8 .
【解题思路】利用重要不等式计算可得.
【解答过程】因为ab=2，所以a2+4b2=a2+(2b) 2≥4ab=8，当且仅当a=2b=2时取等号，
即a2+4b2的最小值为8.
故答案为：8.
y 1 5
13．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知x>0,y>0，且x+ y=3，则 + 的最小值为 ．
x+1 y 4
1 4
【解题思路】根据分母特点，将x+ y=3化为(x+1)+ y=4，将 化为 .然后用基本不等式即可.
y 4 y【解答过程】由于x+ y=3，因此(x+1)+ y=4，
y 1 y 4 y (x+1)+ y y x+1 1 √ y x+1 1 5
则 + = + = + = + + ≥2 ⋅ + = ，
x+1 y x+1 4 y x+1 4 y x+1 4 y 4 x+1 4 y 4 4
4 5
当且仅当y= ,x= 时取等号．
3 3
5
故答案为： .
4
1 3
14．（2024·河南郑州·模拟预测）设a>0，b>0，记M为 ，b，a+ 三个数中最大的数，则M的最小
a b
值为
2 ．
1
【解题思路】分类讨论 ,b的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不
a
小于和的一半，即可得出结论.
【解答过程】由a>0，b>0，
1 {1 3} {1 3}
①当 ≥b时，M=max ,b,a+ =max ,a+ ，
a a b a b
3 1 1 √ 1 1 3
而a+ + ≥4a+ ≥2 4a⋅ =4，可得 ,a+ 至少有一个不小于2,
b a a a a b
则M的最小值为2；
1
②当 b+ ≥2 b⋅ =4，可得b,a+ 至少有一个不小于2，
b b b b
M的最小值不小于2.
综上，M的最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题
1 1
15．（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S= + 的最小值．
1+a 1+2b
1
1 S=1−
【解题思路】根据条件，b= 代入消去b，将S的表达式分离常数得 2 ，利用基本不等式求
a a+ +3
a得结果.
【解答过程】∵a,b>0，ab=1，
1 1 1 1
∴S= + = +
1+a 1+2b 1+a 2
1+
a
1 a a2+2a+2 a
= + = =1−
1+a a+2 a2+3a+2 a2+3a+2
1
=1−
2 ，
a+ +3
a
2 √ 2 2
∵a+ ≥2 a⋅ =2√2，当且仅当a= ，即a=√2时等号成立，
a a a
1
所以S≥1− =2√2−2.
2√2+3
故S的最小值为2√2−2.
16．（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=4√3.
(1)求证：a2+b2≥24；
(a2+1)(b2+1)
(2)求 的最小值.
ab
【解题思路】（1）将a+b=4√3两边平方后利用基本不等式证明；
(a2+1)(b2+1)
（2）将 变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
ab
【解答过程】（1）由a+b=4√3得48=(a+b) 2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2)，
当且仅当a=b=2√3时等号成立，
所以a2+b2≥24；
（2）由已知a>0,b>0，则ab>0，
(a2+1)(b2+1) a2b2+a2+b2+1 a2b2+(a+b) 2−2ab+1 a2b2+48−2ab+1
则 = = =
ab ab ab ab
49
=ab+ −2≥2√49−2=12，
ab
当且仅当¿，即a,b一个为2√3+√5，一个为2√3−√5时等号成立.(a2+1)(b2+1)
所以 的最小值12.
ab
17．（2024·宁夏固原·一模）已知函数f (x)=|2x+1|+3|x−1|．
(1)解不等式f (x)≤4；
2 8
(2)记（1）中不等式的解集为M, M中的最大整数值为t，若正实数a,b满足a+b=t，求 + 的最
a+1 b+2
小值．
【解题思路】（1）将函数写成分段函数，分段解不等式f (x)≤4，再求各个解集的并集即得；
（2）由（1）得t=1，运用常值代换法，将a+b=1配凑成(a+1)+(b+2)=4，利用基本不等式即可求得.
【解答过程】（1）由f (x)=|2x+1|+3|x−1|=¿
1 2
当x≤− 时，由f (x)≤4可得−5x+2≤4，则得x≥− ，故x∈∅；
2 5
1
当− 1时，由f (x)≤4可得5x−2≤4，则得x≤ ，故10,b>0，
5
1 2 8 1 2(b+2) 8(a+1) 1 √2(b+2) 8(a+1)
由 [(a+1)+(b+2)]( + ) = [10+ + ] ≥ [10+2 ⋅ ]
4 a+1 b+2 4 a+1 b+2 4 a+1 b+2
9
= ，当且仅当2(a+1)=b+2时取等号，
2
1 2 2 8 9
由¿可得¿，即当a= ，b= 时， + 取得最小值为 .
3 3 a+1 b+2 2
3 2 1
18．（2024·广西河池·模拟预测）已知a，b，c都是正数，且 + + =3，证明：
a b c
(1)若b=c，则ac≥4
b+c a+c b+a
(2) + + ≥ √abc.
2√a 3√b 6√c
【解题思路】（1）把条件代入之后，运用二元形式的基本不等式可得；（2）先对各项的分子用基本不等
式之后进行变形可证.3 2 1 3 3 √3 3
【解答过程】（1）因为b=c>0,a>0，则3= + + = + ≥2 ⋅ ,∴ac≥4.
a c c a c a c
当且仅当a=b=c=2时取等号
得证.
（2）∵a，b，c都是正数，
b+c a+c b+a 2√bc 2√ac 2√ba √abc 2√abc √bac
+ + ≥ + + = + +
2√a 3√b 6√c 2√a 3√b 6√c a 3b 3c
√abc(3 2 1) √abc
= + + = ×3=√abc
3 a b c 3
b+c a+c b+a
故 + + ≥√abc.成立，当且仅当a=b=c=2取等号.
2√a 3√b 6√c
19．（2024·全国·模拟预测）已知x,y,z∈(0,+∞)，且x+ y+z=1．
y z x
(1)求证： + + >1+√z−z；
√x √y √z
(2)求x2+ y2+z2+5xy+4 yz+4xz的最大值．
y z x
【解题思路】（1）通过 +√x≥2√y， +√y≥2√z， +√z≥2√x，三式相加，可得：
√x √y √z
y z x y z x
+√x+ +√y+ +√z≥2√x+2√y+2√z
⇒
+ + ≥√x+√y+√z.
√x √y √z √x √y √z
再根据0x，√y>y，且x+ y=1−z，可得结果.
（2）先用公式(x+ y+z) 2=x2+ y2+z2+2xy+2yz+2zx和x+ y+z=1把原式转化为：
1+3xy+2yz+2xz，再用(x+ y) 2≥4xy和x+ y+z=1进行消元，转化为z的二次三项式，再用配方法可求
最大值.
【解答过程】（1）因为x,y,z∈(0,+∞)，
y z x
所以 +√x≥2√y, +√y≥2√z, +√z≥2√x，
√x √y √z
y z x
以上三式相加得 +√x+ +√y+ +√z≥2√x+2√y+2√z，
√x √y √z
y z x
所以 + + ≥√x+√y+√z，当且仅当x= y=z时取等号．
√x √y √z
因为x,y,z∈(0,+∞)，且x+ y+z=1，所以0x,√y>y，
y z x
所以 + + ≥√x+√y+√z>x+ y+√z=1+√z−z．
√x √y √zy z x
故 + + >1+√z−z.
√x √y √z
（2）x2+ y2+z2+5xy+4 yz+4xz=(x+ y+z) 2+3xy+2yz+2xz=1+3xy+2yz+2xz，
3
3xy+2yz+2xz=3xy+2z(x+ y)≤ (x+ y) 2+2z(x+ y)
4
=
3
(1−z) 2+2z(1−z)=−
5
z2+
1
z+
3
=−
5(
z−
1) 2
+
4
≤
4
，
4 4 2 4 4 5 5 5
2 1
当且仅当x= y= ，z= 时取等号，
5 5
9
x2+ y2+z2+5xy+4 yz+4xz的最大值为 ．
5
