文档文本内容
专题3-2 函数的单调性与最值
【题型1】单调性的概念与判断....................................................................................................1
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间............................................................3
【题型3】定义法讨论函数的单调性............................................................................................4
【题型4】利用单调性比较大小....................................................................................................6
【题型5】求函数的最值或值域....................................................................................................8
【题型6】利用单调性解不等式....................................................................................................9
【题型7】在某区间上单调求参数范围......................................................................................10
【题型8】分段函数单调性问题..................................................................................................11
【题型9】根据函数的最值或值域求参数..................................................................................12
【题型10】分段函数值域问题....................................................................................................13
【题型11】复合函数单调性.........................................................................................................14
【题型12】不等式恒成立问题....................................................................................................15
【课后作业】.................................................................................................................................16
【题型1】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数
的定义域为
，区间
如果对于
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说
在区
间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说
在区
间
上是减函数．
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
知识点诠释：
（1）属于定义域
内某个区间上；
（2）任意两个自变量
且
；
（3）都有
；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势
下降趋势
二、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们
的单调区间．
三、单调函数的运算性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af ( x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af ( x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
1．已知函数
是
上的增函数，函数
是
上的减函数，则下列函数一定是增函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）当
时，函数值
随
的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当
时是
增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
在
上单调递增，则对实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【巩固练习2】下列四个函数中，在
上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知函数
在
上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是减函数
B．
在
上是减函数
C．
在
上是增函数
D．
为实数）在
上是增函数
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上
具有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3．函数
的单调递减区间是 .
4．已知
的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
5．函数
的单调递增区间为
【巩固练习1】函数
，
的单调递减区间为 ．
【巩固练习2】函数
的单调递增区间为 .
【巩固练习3】已知函数
，则函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
和
D．
和
【题型3】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
（1）取值．设
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1 的大小关系；
（4）得出结论．
6．已知函数
（
，
），用单调性的定义证明
在
上是增函数.
7．已知函数
,若
在
是增函数，求实数
的范围.
【巩固练习1】已知函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；(2)用定义证明函数
在
上是增函数.
【巩固练习2】已知函数
，图象经过点
，且
.
(1)求
的值；(2)判断并用定义证明函数
在区间
上的单调性.
【巩固练习3】已知
.
(1)若
，试证明
在
内单调递增；
(2)若
且
在
内单调递减，求a 的取值范围.
【题型4】利用单调性比较大小
单调性定义的等价形式
（1）函数
在区间
上是增函数：
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
．
（2）函数
在区间
上是减函数：
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
．
8．已知
在
上单调递减，且
，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
为定义在
上的减函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
为定义在
上的单调增函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
.
(1)利用函数的单调性定义证明
在
上单调递增；
(2)若
，试比较
，
的大小.
【题型5】求函数的最值或值域
利用函数的单调性求最值的常用结论
（1）如果函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，那么函数
，
在
处有最大值
；
（2）如果函数
在区间
上单调递递减，在区间
上单调递增，那么函数
，
在
处有最小值
.
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的
最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。
10．已知函数
，则函数的最大值为（ ）
A．15
B．10
C．0
D．
11．当
时，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋1
x 在[−2,−1
3 ]上的最大值是（ ）
A． 3
2
B．－8
3
C．－2
D．2
【巩固练习3】函数
在区间
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】利用单调性解不等式
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
（1）若
为增函数，则
（2）若
为减函数，则
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
12．（2024·高一·青海西宁·期末）若函数
在
上是减函数，且
，则实数
的取值范围是 .
13．已知函数
是定义在区间
上的函数，且在该区间上单调递增，则满足
的x 的取值范围是________
14．（多选）已知函数
满足：任意给定
，都有
，且任意
，
，
，则下列结论正确的题号是（ ）
A．
B．任意给定
，
C．
D．若
，则
【巩固练习1】已知
是定义在R 上的增函数，且
，则
的取值范围是 ．
【巩固练习2】（多选）已知函数
在
上是减函数，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
是定义在
上的增函数，且
，则
的取值范围是
.
【巩固练习4】已知函数
在
上有定义，且
．若对任意给定的实数
，均
有
恒成立，则不等式
的解集是 ．
【题型7】在某区间上单调求参数范围
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型
及对应方法：
（1）直接法
（2）数形结合
（3）结合单调性定义的等价形式
（4）分段函数单调性问题注意比较端点位置
（5）注意定义域的限制
15．如果函数
在区间
上单调递增.那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是
17．（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为
（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4]∪[12,+∞)
18．已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】若函数
的单调递增区间是
，则实数
的值为
.
【巩固练习2】函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围为 .
【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数
在区间
上是单调递
增的，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型8】分段函数单调性问题
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
19．已知函数
是
上的减函数，则a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知函数
满足对任意
，都有
成立，则a 的范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
是增函数，则实数
的取值范围为 .
【巩固练习2】若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都
有f(x)≤M，那么，我们称M 是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，
记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，
都有f(x)≥M，那么，我们称M 是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，
记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
21．若函数
的定义域是
，值域是
，则
．
【巩固练习1】已知函数
的最小值为8.则实数
的值是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【巩固练习2】已知函数
，
的值域是
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型10】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
22．（23-24 高一上·山东聊城·期中）设函数
，若
是
的最小值，
则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知函数
有最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】设函数
，若
存在最小值，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．-
【巩固练习2】已知
，函数
有最大值，则实数
的取值范围是 ．
【题型11】复合函数单调性
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数
的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数
的单调性
“同增异减”的意思如下图：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
24．函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
25．函数
的单调递增区间是 ．
26．已知
，若
，则
（ ）
A．在区间
内是减函数
B．在区间
内是减函数
C．在区间
内是增函数
D．在区间
内是增函数
【巩固练习1】函数
的单调增区间是 ．
【巩固练习2】已知
，若
，则
（ ）
A．在区间
内递减
B．在区间
内递减
C．在区间
内递增
D．在区间
内递增
【巩固练习3】（多选）已知函数
在R 上单调递增，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则（ ）
A．函数
在R 上单调递增
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
上单调递减
【题型12】不等式恒成立问题
高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；
然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。
27．对于
中的任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
28．函数
，
，若
，
，使得
，求实数
a 的取值范围.
【巩固练习1】已如函数
，若对任意
都有
成立， 求
的取值
范围.
【巩固练习2】已知
，
，若任给
，存在
．
使得
，则实数a 的取值范围是 ．
【课后作业】
1．已知函数
的单调递增区间为 .
2．已知
关于
对称，且
在
上单调递减，则
，
，
的大小顺序
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
在
上是增函数，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知二次函数f（x）=x2-2ax+1 在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a≤2 或a≥3
B．2≤a≤3
C．a≤-3 或a≥2
D．-3≤a≤-2
5．函数
在
上是单调递减函数，则
的单调递增区间是
6．已知函数
是R 上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
在其定义域
上是减函数，且
，则
的取值范围为
.
8．若函数
满足对任意的实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
【课后作业】
模块三
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
（1）若
，函数
的值域为
（2）若
是
上的减函数，则
的范围是
10．已知：函数
，若函数
的值域是
，则
的一个取值为 ；
的最
小值是 .
11．证明：函数
，
是增函数．
12．已知函数
.
(1)判断
在区间
上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值
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