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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 07 讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精
讲）
题型目录一览
①函数单调性的判断与证明
②求函数的单调区间
③复合函数的单调性
④函数单调性的应用
⑤函数的最值（值域）
★【文末附录-函数的单调性与最值思维导图】
一、知识点梳理
1.函数的单调性
DD I
x x x x
（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有
f x f x f x
1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数；
DD I
x x x x
I 1 2 1 2
（2）减函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有
f x f x f x
1 2 D
，那么就说函数 在区间 上是减函数.
（3）【特别提醒】
①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连
接．
2.函数的最值
y f x
I M
（1）最大值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
xI f xM x I f x M
0 0
①对于任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 .
y f x
M
那么，我们称 是函数 的最大值.y f x
I m
（2）最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
xI f xm x I f x m
0 0
①对于任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 .
y f x
m
那么，我们称 是函数 的最小值.
（3）函数最值存在的两个结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【常用结论】
1.∀x，x∈D(x≠x)， ⇔f(x)在D上是增函数； ⇔f(x)在D上是减函数．
1 2 1 2
2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)和(0， ]．
3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝ 的单调性相反．
6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
二、题型分类精讲
题型 一 函数单调性的判断与证明
策略方法 1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法
(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3.证明函数单调性的两种方法
(1)定义法；(2)导数法．
【典例1】设函数 ，指出 在 上的单调性，并证明你的结论．
【答案】 在 上单调递增，证明见解析
【分析】设定义域内 ，再计算 的正负判断即可.
【详解】 在 上单调递增，证明如下：
，取 ，则
.
因为 ，则 ， ，得
，所以， 在 上单调递增.
【题型训练】
一、单选题
1．设函数 满足：对任意的 都有 ，则 与 大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.
【详解】因为 ，当 时 ；当 时 ；所以函数在实数 上单调递增，又 ，所以 .
故选：A
2．设函数 的定义域为 ，已知 为 上的减函数， ， ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.
【详解】若函数 是R上的单调递减函数，则 ，反之不成立，所以 是 的的充
分不必要条件．
故选：A
二、填空题
3．若 ，则函数在 上的值域是______________．
【答案】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在 上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】 ，
任取 ， ，且 ，
则 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
则 ， ，所以函数在 上的值域是 .
故答案为： .
4．对于函数 定义域内的任意 且 ，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：__．
【答案】（2）（3）（4）
【分析】举反例否定（1）；利用幂的运算性质判断（2）；利用幂函数单调性判断（3）；利用求差法比
较二者的大小判断（4）.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，故错误；
（2） ，故正确；
（3）函数 为增函数，则 ，故正确；
（4）由 可得 ，
又 则则 ，故正确
故（2）（3）（4）正确．
故答案为:（2）（3）（4）
三、解答题
5．根据定义证明函数 在区间 上单调递增.
【答案】证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可.
【详解】 ， ，且 ，有
.
由 ， ，得 ， ，所以 ， ，
又由 ，得 ，于是 ，即 .
所以，函数 在区间 上单调递增.
6．已知函数 .
(1)求 的解析式;
(2)判断并证明函数 在 上的单调性.
【答案】(1)
(2)单调递增,证明见解析
【分析】(1)根据 代入即可求得 的解析式;(2)先判断 的单调性,再利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）解:由题意得 ,
解得 ,
;
（2） 在 上单调递增,证明如下:
设任意 ,
则
由 ,
得 ,
,
即 ,
故 在 上单调递增.
7．设 对任意的 有 ，且当 时， .
(1)求证 是 上的减函数；(2)若 ，求 在 上的最大值与最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由递推关系得 、 ，利用单调性定义证明结论即可；
（2）由（1）知 在 上单调递减，结合递推关系和奇偶性求最值即可.
【详解】（1）令 ，则有 ，
令 ，则 ，
设 且 ，则 ，
因为 时 ，所以 ，
所以 是 上的减函数.
（2）由（1）： 是 上的减函数，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 .
题型二 求函数的单调区间
策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域(定义域先行)．
(2)求简单函数的单调区间．
(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
【典例1】已知函数
(1)画出函数图象
(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.【答案】(1)图象见解析；
(2)增区间为 和 ，减区间为 .
【分析】（1）根据绝对值的性质，结合二次函数的性质作出图象即可；
（2）利用数形结合思想，结合函数单调区间的定义进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以该函数的图象如下图所示：
（2）由（1）中的函数图象可知，该函数的增区间为 和 ，
减区间为 .
【题型训练】
一、单选题
1．函数 ， 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数 对称轴为 ，开口向上，
所以函数 ， 的单调减区间为 .
故选：D
2．函数 的单调增区间是（ ）A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】由 可得 ，即 为偶函数，则当 时，可得 的单调
区间，进而得到 时， 的单调区间，即可得到答案
【详解】解：由 ，
则 为偶函数， 的图像关于 轴对称.
当 时， ，对称轴为 ，所以 在 上递增，在 递减；
则当 时， 在 递增，在 递减，
则有 的递增区间为 .
故选：C
3．如果函数 在区间 上是减函数，且函数 在区间 上是增函数，那么称函数 是
区间 上的“可变函数”，区间 叫做“可变区间”.若函数 是区间 上的“可变函数”，
则“可变区间” 为（ ）A． 和 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案.
【详解】因为 的单调递减区间为 ，
在 和 上为增函数，
所以 的“可变区间” 为 和 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”,“可变区间”的含义，属
于中档题.
二、填空题
4．函数 的单调减区间为___________.
【答案】 和
【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得 的单调区间，进而可求解.
【详解】 ，由于函数 的单调减区间为 和 .
故函数 的单调减区间为 和 .
故答案为： 和
5．函数 的单调增区间是___________.
【答案】 和
【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.
【详解】当 时， ，此时 开口向上，对称轴为 ，因为 ，
所以在 上单调递增；当 时， ，此时 开口向下，对称轴为，因为 ，所以在 单调递增；
故答案为： 和
三、解答题
6．已知二次函数 的最小值为1，且满足 ， ，点 在幂函数 的图像上．
(1)求 和 的解析式；
(2)定义函数 试画出函数 的图象，并求函数 的定义域、值域和单调区
间．
【答案】(1) ；
(2)作图见解析；定义域为 ， 的单调递增区间为 ，单调减区间是
， 的值域为
【分析】（1）设二次函数 ， ，由待定系数法求解即可；
（2）由（1）结合题意求出 ，画出函数图象求出函数 的定义域、值域和
单调区间.
【详解】（1）设二次函数 ， ．
因为 的最小值为1，所以 ；因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ．所以 ．
将点 代入 ，求得 ，所以， ．
（2）分别画出函数 和 的图象，观察图象可得，因为 所以
所以，函数 的定义域为
作出函数 的图象如下：
由图象得， 的单调递增区间为 ，单调减区间是 ．
的值域为 ．
7．已知函数 ．（其中 ）
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若对任意 ，使得 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 和
(2)
【分析】（1）由题意得： ，由分段函数的性质以及二次函数的单调
性即可求解；
（2）由（1）可以对参数进行分类讨论 ，当 时，需要讨论 与 大小关系，结合二次函数
的图像和性质，分别求出函数的最值，列出关于 的不等式，求解即可得出答案.【详解】（1）
因为
所以函数 为 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数，即其单调增区间为
和 ．
（2）因为 ，
①当 时， ，由（1）可知 在 上为增函数，所以
满足题设，
②当 时，由（1）可知，需要讨论 与 大小关系，
（ⅰ）当 时，函数 为 上为增函数，在 上为减函数，
所以 最大值为 ，最小值在两端点取，
所以 又 ，
所以 ，
（ⅱ）当 时，函数 为 上为增函数，在 上为减函数，
在 上为增函数，
又 ，
所以 最大值为 ，最小值在 或 处取，所以 ，
又 ，
所以 ，
综上所述， ．
8．已知函数 （a为正常数），且函数 与 的图象在y轴上的截距相
等．
(1)求a的值；
(2)求函数 的单调递增区间；
【答案】(1) ； (2) ；
【详解】（1）由 得 ，又 ，所以 ；
（2） ，
时， ，它在 上是增函数，
时， ，它在 上是增函数，
所以函数 的增区间是 ；
题型三 复合函数的单调性
策略方法 集合运算三步骤【典例1】函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.
【详解】 ，函数有意义，则有 ，得 或 ，
设 ，则当 时，u关于x单调递减，当 时，u关于x单调递增，
又因为函数 在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知 的单调递减区间为 ．
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.
【详解】令 ，解得 的定义域为
在 上递增，在 上递减，函数 在 上为增函数函数 的单调增区间为
故选：D
2．已知 在 上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令 ，则 ，
因为 在 上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数 与 的单调性相反；
又因为 单调递减，
所以 需在 上单调递增.
函数 的对称轴为 ，所以只需要 ，
故选:A.
3．已知函数 则 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意，根据 ，转换后得到 ，根据复合函数的单调性，可
求得 的单调性，进而可得正确选项.
【详解】函数 ，则
根据复合函数的单调性，
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增，只有A符合.
故选：A.
二、填空题
4．函数 的单调递减区间是____________.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性原则即可由 的单调性进行求解.
【详解】令 ，解得 ，
则 的定义域为 ，
记 ，由于 的对称轴为 ，
故其在 上单调递减，而 在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知： 在 单调递减，
故答案为： .
5．已知 在 上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围.
【详解】已知 在 上是严格减函数，
由 ，函数 在 上是严格减函数，所以函数 在定义域内是严格增函数，则有 ，
又函数 在 上最小值 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
6．已知函数 且 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】 或
【分析】先明确 且 可看作由函数 复合而成，分类讨
论 和 ，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围.
【详解】由题意可知 且 可看作由函数 复合而成，
当 时， 为R上的增函数，
若函数 且 在区间 上单调递减，
需满足 在 上单调递减，即 ；
当 时， 为R上的递减函数，
若函数 且 在区间 上单调递减，
需满足 在 上单调递增，即 ，则 ，故实数a的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
三、解答题
7．已知函数 为奇函数．
(1)求常数 的值；
(2)判断函数 在 上的单调性．
【答案】(1)
(2)函数 在 上单调递增
【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意 有 恒成立，由此即可求出答案；
（2）设 ，由函数单调性的定义易知 在 单调递减，利用复合函数的单调性判
断“同增异减”，则说明函数 在 上单调递增.
【详解】（1）∵函数 为奇函数，
∴ 恒成立，即 ，
∴ ，
则 ，则 恒成立，解得 ．
当 时， ，舍去；
当 时， ，满足题意．
故 ．（2）由（1）知 ，
设 ，
任取 ， ，且 ，
．
∵ ，∴ ，
又∵ , ， ，
∴
∴函数 在 上单调递减．
又 函数 在 上单调递减，
∴函数 在 上单调递增．
8．已知函数
(1)若 ，求 的定义域.
(2)若函数在区间 上是减函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意， ，结合 解不等式即可；
（2）分 ， 两种情况讨论，由复合函数单调性以及函数定义域，分析即得解.
【详解】（1）由题意， ，
故函数 的定义域为
（2）当 时， 在 是减函数， 在 是增函数.在 上是减函数，
且
当 时， 在 是增函数， 在 是增函数.
函数 在 是增函数.
在 是减函数， ， 恒成立.
时， 在 是减函数.综上，在 时， 在 上是减函数
题型四 函数单调性 的应用
策略方法 1．比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同
一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
2．求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉
“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间
比较求参数．
(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．
【典例1】已知函数 在 上单调，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】 的对称轴为 ，若 在 上单调递增，则 ，解得 ，
若 在 上单调递减，则 ，解得 ，
所以实数k的取值范围为 .
故选：D.
【典例2】已知函数 ，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由 ，求得 ，再判断其单调性，然后由 ，利用其单调性求解.
【详解】解：因为函数 ，且 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 （舍去），
所以 ，
当 时， 单调递增；
当 时， ，单调递增，且 ，
所以 在R上递增，
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，故选：A【题型训练】
一、单选题
1．“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.
【详解】 在 单调递增，充分性成立，
若 时 在 单调递增，但是不满足 ，所以必要性不成立.
故选：A
2．若函数 在 上单调递增，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得 的取值
范围.
【详解】令 ，则 ，则 ，对称轴为 ，则函数的单调递减
区间为 ，因为 为减函数，且 在 上单调递增，所以 ，
则 解得 .
所以实数 的范围为 .
故选：A
3．已知函数 在 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据单调区间是定义域的子集可知： 在 上恒成立，然后再将原函数看成一个对数和
一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案.
【详解】依题意 在 上恒成立且 ，
又 可看成 的复合函数， 单调递减，欲使 是减函数，只需
递增， .
故选：B
4．已知函数 满足对任意 ，当 时都有 成立，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用增函数的定义求解即可.
【详解】对任意 ，当 时都有 成立，
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：C5．已知函数 是定义域为 的减函数，若 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和单调性得到 ，解得答案.
【详解】函数 是定义域为 的减函数，因 ，
故 ，解得 ，
故选：C
6．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足 的实数x的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，可得函数 是偶函数，且在区间 上是增函数，然后将问题转化为含绝对值的
一次不等式来求解即可.
【详解】函数 的图象关于y轴对称， 为偶函数， ，
∴不等式 可变为 ，
偶函数 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，
∴ ，解得 .
故选：B.
7．已知偶函数 的定义域为 ，且对于任意 均有 成立，若，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 在 单调递减，又函数 为偶函数，故 在 单调递增，所以
不等式 等价于 ，即 解出即可.
【详解】因为 的定义域为 ，且对于任意
均有 成立，
可得 在 单调递减，
又函数 为偶函数，
所以 在 单调递增，
所以 等价于 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
解得： ，
所以实数 的取值范围是： ，
故选：C.8．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断 的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.
【详解】 为偶函数，且在 上递减.
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ 且 ，∴ .
故选：B
9．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质和函数单调性的性质化简不等式求不等式 的解集.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，
所以当 时， ，
所以不等式 可化为 ，又 在 上单调递增，
所以 ，且 ，
解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
二、填空题
10．已知函数 与 在区间 上都是减函数，那么 __________.
【答案】 .
【分析】二次函数在区间 单减，则区间 在二次函数的减区间范围内，从而求得 的范围；反比例
型函数在区间 单调递减，得 ，取交集即可.
【详解】根据二次函数的表达式可知， 的对称轴为 ，开口向下，若 在区间
上是减函数，则 ，
是反比例型函数，若 在区间 是减函数，则 ，所以 .
所以 与 在区间 上都是减函数，a的取值范围为 .
故答案为: .
11．已知函数 ,在 为单调函数，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】由 ，得 为单调递增函数，从而得 在 为单调递增函数，列出不等式组求解即
可.【详解】解：因为当 时， ，单调递增，
又因为 在 为单调函数，
所以 在 为单调递增函数，
所以 ，
解得 .
所以实数a的取值范围为：
故答案为：
12．已知函数 ，则不等式 的解集是_________．
【答案】
【分析】由解析式可判断得 在 上单调递减，然后结合题意和单调性定义列出不等式组求解即可.
【详解】当 时， ，单调递减，且 ；
当 时， ，单调递减，且 ；
故可知 在 上单调递减，
因此 ．
故答案为： .
13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先利用奇函数的性质，不等式变形为 ，再结合函数的单调性，列不等式，即可求解.
【详解】f(x)为奇函数，f(2a－1)>－f(a－1)，
∴f(2a－1)>f(1－a)， ，解得 .
故答案为：
三、解答题
14．已知函数 ，其中 为常数.
(1)该函数在 严格单调，求 的取值范围；
(2)若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求出结果；
（2）分离参数转化为求函数的最大值，即可求出结果；
【详解】（1）由题意知 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
（2）任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立
因办 在 上单调递增，
所以 ，
令 ，由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
15．设 ，其中 ．
(1)若函数 是奇函数，求 的值；
(2)若函数 在 上是严格减函数，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数定义可知 ，由此可构造方程求得结果；
（2）根据单调性定义可知对任意 ， 恒成立，由此可整理得到 ，根据
可求得 的取值范围.
【详解】（1） 为奇函数， ，
又 ， ，解得： .
（2）设 ，
在 上为严格减函数， 恒成立，
即 ，
， ，即 ，
， ， ，即 的取值范围为 .
16．已知函数 ，且 为奇函数．
(1)判断函数 的单调性并证明；(2)解不等式： ．
【答案】(1)函数单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得参数a的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数的单调
性；
（2）利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.
【详解】（1）因为函数 ，定义域为R，且 为奇函数，
则 ，得 ，
当 时，
对于任意实数x， ，
∴ ，即当 时， 为奇函数；
为单调递减函数，
证明：设 ，则
，
，即 ， ，
∴ ，即函数 在定义域上单调递减；
（2）因为 在定义域上单调递减且 为奇函数，
由不等式 可得 ，∴ ，
∴ ，即 的解集为 .题型 五 函数的最值（值域）
策略方法 求函数最值的五种常用方法
【典例1】已知二次函数 ， ，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与 轴交点确定 值，函数 和函数 相等，对应系数相等确
定 、 值.
（2）根据区间 上的单调性求出最值，即可得到区间 上的值域.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
即 ．
（2）解：因为 ，所以 是开口向上，对称轴为 的抛物线．
因为 在 递减，在 递增，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
【典例2】函数 在 时有最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出 ，得出函数 的最大值为 ，从而求出 和 的值．
【详解】解：因为 时， ，当且仅当 ，即 时取“ ”，
所以函数 ，解得 ， ，
所以 ．
故选：C．
【典例3】已知 为正的常数，若不等式 对一切非负实数 恒成立，则 的最大值为
________.
【答案】【分析】令 ，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 ① ，令 ， ，则 ，
将 代入①式，则有 ，
对一切 恒成立， 对 恒成立，
即 ，根据二次函数的性质， 在 时单调递增，故 ，
所以 ，又 为正的常数，则 的最大值为 .
故答案为：
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．以上都不对
【答案】B
【分析】令 ，则 ，然后根据对勾函数的单调性可得答案.
【详解】令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时 取得最小值 ，
故选：B
2．已知函数 ，若 在区间 上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先求出 的导函数,即 ， 令 ，可得x的值，讨论函数
的极值及单调性，结合 在区间 上的最大值为28，即可求出k的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 和 时， ， 在 时， ，
所以函数 在 和 上单调递增，函数 在 上单调递减，
则 在 内单调递增，所以在 内， 最大；
在 时单调递减，所以在 内， 最大；
在 时单调递增，所以在 内， 最大；
因为 ，且 在区间 上的最大值为28，
所以 ，即k的取值范围是 ，
故选：A.
3． ， ，若对任意的 ，存在 ，使 ，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出两个函数在 上的值域，然后由条件可得 的值域是 值域的子集，即可建
立不等式求解.
【详解】函数 ，因为 ，所以 在 的值域为 ，
函数 在 的值域为 ，
因为对任意的 ，存在 ，使 ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：A．
二、填空题
4．若 ，则函数在 上的值域是______________．
【答案】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在 上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】 ，
任取 ， ，且 ，
则 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
则 ， ，
所以函数在 上的值域是 .故答案为： .
5．正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出 ，则 ，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题 ，
则 ，
∴ ，
解得: ．
故答案为： .
6．写出使不等式 恒成立的一个实数 的值__________．
【答案】不少于 的任意一个实数
【分析】对不等式 全分离,即 恒成立,只需 ,对二次函数配
方即可求得最大值,进而求得结果.
【详解】解:因为 恒成立,
所以 ,即只需 ,
因为 ,所以 ,
故只需 即可.
故答案为: 不少于 的任意一个实数7．已知 ，对 恒成立，则实数 的取值范围_______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于 ，对 恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析
求解.
【详解】若 ，则 ，
令 ，则 ，
可得 ，整理得 ，
故原题意等价于 ，对 恒成立，
∵ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：
对 ， ，等价于 ；
对 ， ，等价于 .
三、解答题
8．已知二次函数 ，且关于x的不等式 的解集为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；
（2）换元 ，根据恒成立问题利用参变分离可得 对 时恒成立，再结合基
本不等式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：方程 的两根为 ，且
则 ，解得 ，
故 .
（2）由（1）可得 ，
令 ，则 对 时恒成立，
故 对 时恒成立，
∵ ，当且仅当 ，即 时成立，
∴ ，即实数m的取值范围为 .
9．已知函数 ．
(1)若 ，解关于 的方程 .
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)【分析】（1）根据 代入求出 的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得 在 上恒成立，参变分离可得 在 上恒成立，再
利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意 ， ，则 ，
由 可整理得 ，则可得 或 ，
或 ；
（2）若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，整理得 在
上恒成立，
令 ，由 ，则 ，
又令 ， ，所以 是 上的减函数，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
