文档文本内容
专题3-2 函数的单调性与最值
【题型1】单调性的概念与判断....................................................................................................1
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间............................................................4
【题型3】定义法讨论函数的单调性............................................................................................7
【题型4】利用单调性比较大小....................................................................................................9
【题型5】求函数的最值或值域..................................................................................................12
【题型6】利用单调性解不等式..................................................................................................14
【题型7】在某区间上单调求参数范围......................................................................................16
【题型8】分段函数单调性问题..................................................................................................19
【题型9】根据函数的最值或值域求参数..................................................................................21
【题型10】分段函数值域问题....................................................................................................22
【题型11】复合函数单调性.........................................................................................................24
【题型12】不等式恒成立问题....................................................................................................27
【课后作业】.................................................................................................................................30
【题型1】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数
的定义域为
，区间
如果对于
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说
在区
间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说
在区
间
上是减函数．
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
知识点诠释：
（1）属于定义域
内某个区间上；
（2）任意两个自变量
且
；
（3）都有
；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势
下降趋势
二、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们
的单调区间．
三、单调函数的运算性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af ( x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af ( x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
1．已知函数
是
上的增函数，函数
是
上的减函数，则下列函数一定是增函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
是
上的增函数，函数
是
上的减函数，
所以函数
是
上的增函数，
函数
是
上的减函数，
函数
，
的单调性无法判断.
2．（多选）当
时，函数值
随
的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当
时是
增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】
，一次函数，
，函数值
随
的增大而减小，故A 错误；
，一次函数，
，函数值
随
的增大而增大，故B 正确；
，反比例函数，
，在二四象限内，函数值
随
的增大而增大，
将
函数图像向左平移1 个单位长度可得
，
则当
，
的函数值
随
的增大而增大，故C 正确；
，反比例函数，
，在一三象限内，函数值
随
的增大而减小，故D 错误；
故选：BC
【巩固练习1】已知函数
在
上单调递增，则对实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递增，且
，
由增函数的定义可知，当
时，有
，
充分性成立；当
时，若
，由函数定义可知矛盾，
若
，由函数单调性的定义可知矛盾，则
，必要性成立.
即对实数
，“
”是“
”的充要条件.
【巩固练习2】下列四个函数中，在
上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数
的图像可知，其单调递增区间是
，
，所以A 对．
因为抛物线
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以该抛物线在
上不单调，所以B 错；
因为直线
的斜率为-1，所以在上
为减函数，所以C 错；
根据函数
的图像可知其在
上为减函数，所以D 错；故选：A．
【巩固练习3】已知函数
在
上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是减函数
B．
在
上是减函数
C．
在
上是增函数
D．
为实数）在
上是增函数
【答案】A
【分析】
在
上是减函数，故选项
正确；举例说明选项
错误，即得解.
【详解】选项
，
函数
在
上是增函数，
在
上是减函数，故选项
正确；
选项
，函数
在
上是增函数，但
在
上不一定是减函数，
如
在
上是增函数，但
在
上不是减函数，故排除选项
．
选项
，函数
在
上是增函数，但
在
上不一定是减函数，
如
在
上是增函数，但
在
上不是减函数，故排除选项
．
选项
，函数
在
上是增函数，但
为实数）在
上不一定是增函数，
例如
在
上是增函数，但
在
上不是增函数，故排除选项
.
故选：A
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上
具有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3．函数
的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】二次函数
开口向上，对称轴为
，
所以函数的单调递减区间为
.
4．已知
的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
【答案】B
【解析】由图象知：该函数的单调增区间为
和
.故选：B
5．函数
的单调递增区间为
【答案】
和
【详解】
，
所以
的单调递增区间为
和
故答案为：
和
【巩固练习1】函数
，
的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由二次函数的性质可知
的对称轴为
，开口向上，
所以其单调区间为
.
【巩固练习2】函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】
，
由
，得
，
当
时，
单调递减，
单调递增；
当
时，
单调递减，
单调递增，
所以
的单调增区间为
．
【巩固练习3】已知函数
，则函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
和
D．
和
【答案】C
【解析】因为函数
的对称轴为直线
，
由
可得
或
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的单调递增区间为
和
.故选：C.
【题型3】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
（1）取值．设
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1 的大小关系；
（4）得出结论．
6．已知函数
（
，
），用单调性的定义证明
在
上是增函数.
【答案】证明见解析
【解析】当
时，
，
任取
，且
，
则
.
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
.
所以
在
上是增函数.
7．已知函数
,若
在
是增函数，求实数
的范围.
【答案】
.
【详解】设
，
，
要使函数
在
上为增函数，必须
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范围是
．
【巩固练习1】已知函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)用定义证明函数
在
上是增函数.
【解析】（1）
，
；
（2）设
，
，
，即
则函数
在
上是增函数
【巩固练习2】已知函数
，图象经过点
，且
.
(1)求
的值；
(2)判断并用定义证明函数
在区间
上的单调性.
【答案】(1)
(2)
在区间
上单调递增，理由见解析
【分析】（1）待定系数法得到方程组，求出答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
（2）
在区间
上单调递增，理由如下：
任取
，且
，
故
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
故
，
故
，
在区间
上单调递增.
【巩固练习3】已知
.
(1)若
，试证明
在
内单调递增；
(2)若
且
在
内单调递减，求a 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可；
（2）作差通分，根据已知可将问题转化为
恒成立问题，分析即可得a 取值范围.
【详解】（1）证明：设
，
则
.
∵
，∴
，
，
∴
，即
，
∴
在
内单调递增.
（2）设
，则
.
∵
，
，
∴
，
∴要使
，只需
恒成立，
若
，则当
时，
，
当
时，
，
∴
.
综上所述，a 的取值范围为
.
【题型4】利用单调性比较大小
单调性定义的等价形式
（1）函数
在区间
上是增函数：
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
．
（2）函数
在区间
上是减函数：
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
．
8．已知
在
上单调递减，且
，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得，
，结合
在
上单调递减，
则必有
，显然B 正确，A 错误，
而当
时
，不在定义域内，故无法比较，C,D 错误.
9．函数
为定义在
上的减函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是定义在
上的减函数，
与
的大小关系不能确定，从而
关系不确定，故A 错误；
，
时，
；
时，
，故
的关系不确定，故B 错误；
，
，
，故C 正确．
，
时，
；
时，
，故
关系不确定，D 错误
【巩固练习1】函数
为定义在
上的单调增函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
为定义在
上的单调增函数，
当
时，
，故
错误；
当
时，
，故
错误；
当
时，
，故
正确；
当
时，
，故
错误
【巩固练习2】已知函数
.
(1)利用函数的单调性定义证明
在
上单调递增；
(2)若
，试比较
，
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题目条件得：
，
任取
，
则
.
因为
，
所以
，
，
则
，即
.
故
在
上单调递增.
（2）解：因为
，
所以
.
又因为
，当且仅当
时，等号成立，而
.
所以
.
因为
在
上单调递增，
所以
.
【题型5】求函数的最值或值域
利用函数的单调性求最值的常用结论
（1）如果函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，那么函数
，
在
处有最大值
；
（2）如果函数
在区间
上单调递递减，在区间
上单调递增，那么函数
，
在
处有最小值
.
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的
最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。
10．已知函数
，则函数的最大值为（ ）
A．15
B．10
C．0
D．
【答案】A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数
在
上单调递增，则
，
所以函数
的最大值为15.
11．当
时，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令
，因为
，所以
，
当
时，函数
单调递减，故
，
当
时，即
，所以
，
所以函数的值域为：
.
【巩固练习1】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因为
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故
在
上的值域为
.故选：D
【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋1
x 在[−2,−1
3 ]上的最大值是（ ）
A． 3
2
B．－8
3
C．－2
D．2
【解题思路】由题可知f(x)在[−2,−1
3 ]上是减函数，从而可求出其最大值
【解答过程】解：因为函数y =−x和y = 1
x 在[−2,−1
3 ]上均为减函数，
所以f(x)在[−2,−1
3 ]上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－1
2＝3
2.
【巩固练习3】函数
在区间
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，易得函数在
上单调递减，在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
；
所以函数的值域为
.故选：D.
【题型6】利用单调性解不等式
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
（1）若
为增函数，则
（2）若
为减函数，则
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
12．（2024·高一·青海西宁·期末）若函数
在
上是减函数，且
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数
在
上是减函数，因为
，可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
13．已知函数
是定义在区间
上的函数，且在该区间上单调递增，则满足
的x 的取值范围是________
【答案】
【分析】由已知有
，即可求取值范围.
【详解】因为函数
是定义在区间
上的增函数，满足
，
所以
，解得
.
14．（多选）已知函数
满足：任意给定
，都有
，且任意
，
，
，则下列结论正确的题号是（ ）
A．
B．任意给定
，
C．
D．若
，则
【答案】ABD
【详解】任意给定
，都有
，则函数
关于
对称，
又任意
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
在
处取最大值，B 正确；
，C 错误；
，所以
，A 正确；
若
，则
，解得
，D 正确，
故选：ABD.
【巩固练习1】已知
是定义在R 上的增函数，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因
是定义在R 上的增函数，故由
可得
，即
，解得
.
【巩固练习2】（多选）已知函数
在
上是减函数，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案.
【详解】由
，则
，
因为函数
在
上是减函数，所以
，
则
，
.
【巩固练习3】已知
是定义在
上的增函数，且
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到
满足的条件，从而得到结果.
【详解】由题意可得，
，解得
.
所以
的取值范围是
.
【巩固练习4】已知函数
在
上有定义，且
．若对任意给定的实数
，均
有
恒成立，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】因为对任意给定的实数
，均有
恒成立，
所以函数
在
上单调递减，又
，
又不等式
，
所以当
，即
时 ，
，
则
，解得
，故
；
当
，即
时 ，
，
则
，解得
，故
；
综上，不等式
的解集为
.
【题型7】在某区间上单调求参数范围
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型
及对应方法：
（1）直接法
（2）数形结合
（3）结合单调性定义的等价形式
（4）分段函数单调性问题注意比较端点位置
（5）注意定义域的限制
15．如果函数
在区间
上单调递增.那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】
开口向上，对称轴为
，
要想函数在区间
上单调递增，则需
，解得
，
故实数
的取值范围是
16．已知函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是
【答案】
【详解】依题意，函数
的对称轴为
，
又在区间
上是单调函数，故
或
，解得
或
.
故答案为：
17．（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为
（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4]∪[12,+∞)
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数f (x)=−x
2+ax +1的图象对称轴为x = a
2，依题意，2< a
2 <6，得4<a<12，
所以a的取值范围为(4,12).
18．已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数定义可得
在
上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得
，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得
.
【详解】由题意可知：
在
上恒成立，
整理得
在
上恒成立，
因为
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
且
，可得
，
又因为
在定义域内单调递增，且函数
在
上单调递减，
可得
在
上单调递减，则
，可得
，
综上所述：a 的取值范围是
.
【巩固练习1】若函数
的单调递增区间是
，则实数
的值为
.
【答案】－4
【解析】由已知
，对称轴为直线
，
又
单调递增区间是
，所以
，
．
【巩固练习2】函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得
的取值范围.
【详解】依题意，
在区间
上单调递减，
所以
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数
在区间
上是单调递
增的，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
在区间
上为单调递增函数，
当
时，
在
上为单调递增函数，符合题意；
当
时，则满足
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
【题型8】分段函数单调性问题
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
19．已知函数
是
上的减函数，则a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分段函数是
上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于
右边一段的最高，据此列不等式求解即可.
【详解】函数
是
上的减函数,
则
，解得
20．已知函数
满足对任意
，都有
成立，则a 的范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
【详解】因为对任意
都有
，
所以函数在定义域
上单调递增，
所以
， 解得
，
所以a 的范围是
【巩固练习1】已知函数
是增函数，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
为增函数，
所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
【巩固练习2】若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】要使
在
上单调递增，
故
在
上递增，
在
上递增，且
，
所以
.
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都
有f(x)≤M，那么，我们称M 是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，
记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，
都有f(x)≥M，那么，我们称M 是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，
记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
21．若函数
的定义域是
，值域是
，则
．
【答案】或
【解析】由题设
，则
在定义域上单调，
所以
或
，可得
或
，
所以
或
.
故答案为：或
【巩固练习1】已知函数
的最小值为8.则实数
的值是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由
，
而函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，
又其在
上的最小值为8，
所以
，解得
.故选：C.
【巩固练习2】已知函数
，
的值域是
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出函数
的图象，如下图所示：
易知
，
；
若
时的值域是
，由图可知
.故选：C
【题型10】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
22．（23-24 高一上·山东聊城·期中）设函数
，若
是
的最小值，
则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可.
【详解】
，当
时，
，
当且仅当
即
时，等号成立；
当
时，
，要使
是
的最小值，
只需
在
上递减，且
，
即
，解得
.
23．已知函数
有最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解.
【详解】当
时，函数
，
若函数当
时，
，
当
时，
，此时函数
的最大值为4，符合要求，
当
时，
在
上单调递减，故
，
若
有最大值，则
，则
，
综上可知
【巩固练习1】设函数
，若
存在最小值，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．-
【答案】A
【分析】当
时，由一次函数单调性可知
无最小值，不合题意；当
时，结合二次函数
性质可知
，满足题意；当
和
时，根据函数存在最小值可确定分段
处的函数值的大小关系，由此解得
的范围；综合所有情况即可得到
的最大值.
【详解】当
时，
在
上单调递增，此时
无最小值，不合题意；
当
时，
，
当
时，
，又
时，
，
存在最小值
，满足题意；
当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
若
存在最小值，则
，解得：
，
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
若
存在最小值，则
，不等式无解；
综上所述：实数
的取值范围为
，则
的最大值为.
【巩固练习2】已知
，函数
有最大值，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对
分类讨论即可.
【详解】当
时，
无最大值，
要使函数存在最大值，则
且
，
即
，
解得
.
【题型11】复合函数单调性
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数
的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数
的单调性
“同增异减”的意思如下图：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
24．函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
【答案】C
【分析】令
，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得
函数的单调增区间.
【详解】设
，则有
且
，
，则
，
所以函数
的定义域为：
且
，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：
；单调递减区间为：
和
；
又因为
在区间
和
上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数
的单调增区间为：
和
.
25．函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
（区间开闭都行）
【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断.
【详解】令
，解得
，即函数
的定义域为
，
令
，其图象开口向下，对称轴为
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
在定义域内单调递增，
可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的单调递增区间为
.
26．已知
，若
，则
（ ）
A．在区间
内是减函数
B．在区间
内是减函数
C．在区间
内是增函数
D．在区间
内是增函数
【答案】A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，根据复合函数的单调性：
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减
【巩固练习1】函数
的单调增区间是 ．
【答案】
【分析】求出函数
的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间.
【详解】由题意可知
，解得
，即函数定义域为
，
易知函数由
复合而成，
且
在
单调递减，
在
单调递增，在
上单调递减；
利用复合函数单调性可得
的单调增区间是
【巩固练习2】已知
，若
，则
（ ）
A．在区间
内递减
B．在区间
内递减
C．在区间
内递增
D．在区间
内递增
【答案】A
【分析】通过令
，则
，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，
求出
的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果.
【详解】令
，则
，因为
，故
，
易知，
在
上单调递减， 在
上单调递增，
又易知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，得到
或
，由
，得到
，
因为
在区间
上单调递增，此时
，且
在区间
上单调递
减，
故由复合函数的单调性知，
在区间
上单调递减，
因为
在区间
上单调递减，此时
，且
在区间
上单调递减，
故由复合函数的单调性知，
在区间
上单调递增，
又因为
在区间
上单调递增，此时
，且
在区间
上单调递增，
故由复合函数的单调性知，
在区间
上单调递增，
因为
在区间
上单调递减，此时
，且
在区间
上单调递增，
故由复合函数的单调性知，
在区间
上单调递减
【巩固练习3】（多选）已知函数
在R 上单调递增，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则（ ）
A．函数
在R 上单调递增
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为
在R 上单调递增，所以
在R 上单调递增，故A 正确；
因为
在R 上单调递增，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，故B 正
确；
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，因为
的值域是否在
上无法判断，
所以
在
上的单调性无法判断，故C 错误；
因为
在R 上单调递减，
在
上单调递减，因
的值域是否在
上无法判断，
所以
在
上的单调性无法判断，故D 错误.
【题型12】不等式恒成立问题
高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；
然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。
27．对于
中的任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【详解】法一：由题意，
恒成立，
等价于
，
当
时，即
，
，则
恒成立，
，
，解得：
，
当
时，即
时，不等式不成立，
当
时，即
，
，则
，
，
，解得：
，
综上所述：
的取值范围是
或
；
法二：由
，即
，
令函数
，
，即
，对于
中的任意
恒成立，
则有
且
，即
，解得
或
，
所以
的取值范围是
或
.
故选：D．
28．函数
，
，若
，
，使得
，求实数
a 的取值范围.
【答案】
【详解】因为
，对称轴为
，
当
时，
，函数
的值域为
，
一次函数
是实数集上的增函数，
当
时，函数
的值域为
，
若
，
，使得
，
所以
，即
，
所以a 的取值范围是
.
【巩固练习1】已如函数
，若对任意
都有
成立， 求
的取值
范围.
【答案】
【详解】函数
开口向上，
故对任意
都有
成立，
只需满足
，
解得
.
【巩固练习2】已知
，
，若任给
，存在
．
使得
，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知可推得
在
上的值域为
在
上的值域的子集.根据分段函数各段
的单调性，得出
.进而分
，
，
三种情况，得出
的范围，列出不等式
组，求解即可得出答案.
【详解】由任给
，存在
．使得
，
可知，
在
上的值域为
在
上的值域的子集.
根据二次函数的性质可知，当
时，
单调递减，
且
，
，
所以，
；
当
时，
.
，且
，
则
.
因为
，且
，
所以
，
，
，
所以，
，
，
所以，
在
上单调递增.
又
，
所以，
.
综上所述，当
时，
.
当
时，
单调递增，所以
.
所以有
，解得
；
当
时，
不满足；
当
时，
单调递减，所以
.
所以有
，解得
.
综上所述，
或
.
故答案为：
.
【课后作业】
1．已知函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令
，解得
，故函数定义域为
，
其中
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
其中
在
上单调递增，
由复合函数单调性可知，
的单调递增区间为
.
2．已知
关于
对称，且
在
上单调递减，则
，
，
的大小顺序
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
，
因为
在
上单调递减，所以
.故选：A.
3．函数
在
上是增函数，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解.
【详解】由于
为开口向下的二次函数，对称轴为
，
所以
4．已知二次函数f（x）=x2-2ax+1 在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a≤2 或a≥3
B．2≤a≤3
C．a≤-3 或a≥2
D．-3≤a≤-2
【答案】A
【课后作业】
模块三
【分析】先确定二次函数f（x）=x2-2ax+1 的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参
数的取值范围
【详解】根据题意：二次函数f（x）=x2-2ax+1，单调递增区间：
;单调减区间
因此：（1）二次函数f（x）=x2-2ax+1 在区间（2，3）内为单调增函数，则a≤2
（2）二次函数f（x）=x2-2ax+1 在区间（2，3）内为单调减函数，则a≥3
故选：A
5．函数
在
上是单调递减函数，则
的单调递增区间是
【答案】
【分析】先确定
的定义域，然后利用
的单调性和
的单调性即可确定
的
单调性.
【详解】函数
的定义域为
，故函数
的定义域为
，即
的定
义域为
.
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，而
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故单调递增区间是
.
6．已知函数
是R 上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于函数
是定义在R 上的减函数，
所以，函数
在区间
上为减函数，
函数
在区间
上为减函数，且有
，
即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.故选：B.
7．已知函数
在其定义域
上是减函数，且
，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用函数单调性可得答案.
【详解】因为函数
在定义域
上是减函数，
需满足
，解得
，
即
的取值范围为
.
8．若函数
满足对任意的实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对任意
，都有
成立可判断
是
上的减函数，通过各段上
的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数
，都有
成立，
是
上的减函数，
，解得
9．已知函数
（1）若
，函数
的值域为
（2）若
是
上的减函数，则
的范围是
【答案】
【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的单调性即可求得
的值域；
（2）分段讨论
的单调性，且在间断点处有
，由此可得
的范围.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，显然
在
上单调递减，故
；
当
时，
，显然
在
上单调递减，且
，故
；
综上：
，即
的值域为
；
（2）因为
是
上的减函数，
所以当
时，
在
上为减函数，故
，且
，
当
时，
，显然
在
上单调递减，且
，
所以
，解得
，
故
，即
的范围为
.
10．已知：函数
，若函数
的值域是
，则
的一个取值为 ；
的最
小值是 .
【答案】 0（答案不唯一，
）
【分析】函数
的值域为
，根据
分类讨论
的值域得到答
案.
【详解】函数
在
上单调递增，值域为
，
若
，函数
的值域为
，
要使函数
的值域为R，则
，解得
，于是
；
若
，函数
的值域为
，
要使函数
的值域为R，则
，解得
，于是
．
所以实数a 的取值范围是
，
的一个取值可以为0，最小值为
.
故答案为：0（答案不唯一，
）；
11．证明：函数
，
是增函数．
【答案】证明见解析
【详解】任取
，
则
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴函数
在
上是严格增函数．
12．已知函数
.
(1)判断
在区间
上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
【解析】（1）因为
，
因为
在
单调递减，
所以
在
单调递增.
定义法证明如下：
任取
，
，则
，
，
所以
，故
在
单调递增.
（2）由（1）得
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
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