第07讲函数的单调性与最值（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第 06 讲 函数的单调性与最值（精讲） ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小） ⑤求函数的最值（值域） 一、必备知识整合 1.函数的单调性 DD I x x x  x （1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数； DD I x x x  x I 1 2 1 2 （2）减函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有 f x  f x  f x 1 2 D ，那么就说函数 在区间 上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连 接． 2.函数的最值 y  f x I M （1）最大值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： xI f xM x I f x M 0 0 ①对于任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 . y  f x M 那么，我们称 是函数 的最大值. y  f x I m （2）最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：xI f xm x I f x m 0 0 ①对于任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 . y  f x m 那么，我们称 是函数 的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 1.∀x，x∈D(x≠x)， ⇔f(x)在D上是增函数； ⇔f(x)在D上是减函数． 1 2 1 2 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)和(0， ]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝ 的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、考点分类精讲 【题型一 函数单调性的判断与证明】 1.定义法证明函数单调性的步骤2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数 ． (1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明； (2)求函数 在区间 上的值城． 【答案】(1)在区间 上单调递增，证明见解析 (2) ． 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可； （2）由函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）易知 ， 设 ，且 ， 则 ， 又由 ，则 ， ， ， 所以 ，即 在区间 上单调递增； （2）由上可知函数 在区间 上单调递增，则 ， 又 ， 故 的值域为 .一、单选题 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数 ， .若 成立，则下列论断中正确的 是（ ） A．函数 在 上一定是增函数； B．函数 在 上一定不是增函数； C．函数 在 上可能是减函数； D．函数 在 上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数 ， 且 成立， 则函数 在 上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如 ，满足 ，但是 在 上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 2．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果 【详解】因为函数 在 上单调递增，且 ，由增函数的定义可知，当 时，有 ， 充分性成立；当 时，若 ，由函数定义可知矛盾， 若 ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 ，必要性成立. 即对实数 ，“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C 二、解答题 3．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数 ， (1)求该函数的定义域； (2)证明该函数在 上单调递减； (3)求该函数在 上的最大值和最小值. 【答案】(1) ． (2)证明见解析 (3)最大值为 ，最小值为 ． 【分析】（1）由解析式中分母不为0即可求出结果； （2）利用单调性的定义直接证明即可； （3）根据函数单调性可直接求解； 【详解】（1）由于 ，所以 ，所以 ， 即函数 的定义域为 ． （2）证明：任取 , , ，且 ， 则 ， 因为 , , ，且 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ， 所以函数 在 , 上单调递减． （3）由（2）知函数 在 , 上单调递减， 所以函数 在 , 上的最大值为 ，最小值为 ． 4．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 过点 ． (1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 在 上的最大值和最小值． 【答案】(1) 在区间 上单调递增，证明见解析 (2)最大值为 ，最小值为 【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性； （2）根据单调性即可得出函数 在 上的最大值和最小值. 【详解】（1）单调递增，由题意证明如下， 由函数 过点 ，有 ， 解得 ，所以 的解析式为： ． 设 ，且 ，有 ． 由 ，得 ． 则 ，即 ． ∴ 在区间 上单调递增．（2）由 在 上是增函数， 所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ． 5．（2024高三·全国·专题练习）对于函数 . (1)探索函数 的单调性； (2)是否存在实数 使函数 为奇函数？ 【答案】(1) 在 上为增函数 (2)存在 使函数 为奇函数 【分析】（1）根据复合函数的单调性判断，再利用单调性的定义证明即可； （2）假设存在实数 使 为奇函数，则 ，即可求出 的值. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 而 在定义域 上单调递增且 ， 又 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增， 证明如下：任取 ，且 ，则 ， 所以 ， ，故 在 上为增函数. （2）假设存在实数 使 为奇函数，则 ， ， 即 ，又 ， ， 故存在实数 ，使函数 为奇函数. 6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数 . (1)求实数m的值； (2)判断并证明 在区间 上的单调性； (3)设 ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取 值范围. 【答案】(1)-1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数为奇函数即可得结果； （2）对a分类讨论，用函数单调性的定义即可证明结果； （3）依题意，分别求出 的最小值，根据条件可得结果. 【详解】（1）因为 为奇函数，所以 ， 即 ， 所以 ，解得 ，即 ，经检验： 时不合题意，舍去，故 . （2）当 时 在区间 上为减函数； 当 时 在区间 上为增函数； 证明如下: 由（1）可知 ，任取 ， ， 因为 ，所以 ，即 ， 当 时 ，即 ， 故 在区间 上为减函数； 当 时 ，即 ， 故 在区间 上为增函数； 综上：当 时 在区间 上为减函数； 当 时 在区间 上为增函数； （3）因为 ， 时为减函数，当 时 ， 由（1）可知，当 时 在区间 上为减函数，当 时 ， 当 时 在区间 上为增函数，当 时 ， 又对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，即 ，所以： 或 ，即 或 ， 解得 或 ， 故实数a的取值范围为 . 【题型二 求函数的单调区间】 【典例1】（单选题）（2023·海南海口·模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． 和 C． D． 和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】 ， 则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ； 当 ， 的单调递减区间为 ， 故 的单调递减区间是 和 . 故选：B 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的单调递减区间为（ ） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【解析】略 2．（22-23高三上·甘肃兰州·开学考试）函数 的单调增区间是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】由 可得 ，即 为偶函数，则当 时，可得 的单调 区间，进而得到 时， 的单调区间，即可得到答案 【详解】解：由 ， 则 为偶函数， 的图像关于 轴对称. 当 时， ，对称轴为 ，所以 在 上递增，在 递减； 则当 时， 在 递增，在 递减， 则有 的递增区间为 . 故选：C3．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数化简，然后由解析式可求出函数的增区间. 【详解】因为 ， 所以 的增区间为 ， 故选：D. 二、填空题 4．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数 在区间A上是减函数，那么区间A是 . 【答案】 ， (答案不唯一） 【分析】化简函数 为 ，作出其图象，数形结合，即可得答案. 【详解】由题意得 ， 作出其图像如图： 由图像可知函数在区间 ， 上是减函数，故区间A是 ， ，或其子集 故答案为： ， 5．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数 的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】作出 的图像，根据图像即可求出结果. 【详解】由 ，得到 或 ， 函数 的图像如图所示， 由图知，函数 的单调递减区间为 ， 故答案为： . 【题型三 复合函数的单调性】 求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．【典例1】（单选题）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由 ， ，解得 或 ， 所以函数 的定义域为 ， 令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 而函数 在 上为增函数， 由复合函数单调性可得 的单调递减区间为 . 故选：C. 一、单选题 1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． 和 D． 【答案】C 【分析】令 ，根据二次函数的性质求出 的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的 单调增区间. 【详解】设 ，则有 且 ， ，则 ，所以函数 的定义域为： 且 ， 由二次函数的性质可知 的单调递增区间为： ；单调递减区间为： 和 ； 又因为 在区间 和 上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数 的单调增区间为： 和 . 故选：C. 2．（2023高三上·全国·专题练习）函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】令 ，易知该函数在 上单调递减，在 上单调递增， 根据函数 在其 内单调递增，结合复合函数的单调性， 可得 ，化简可得 ，解得 ． 故选：D． 3．（23-24高三上·广东湛江·开学考试）已知函数 ，则 的增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】函数 定义域为 ， 令 ，又 在 上单调递增， 的增区间为 ，所以 的增区间为 . 故选：A. 4．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案. 【详解】 ， 由题意 单调递减，且 ， 则 ，解得 ， ， 所以 的单调递减区间是 . 故选：D. 5．（23-24高三上·辽宁锦州·阶段练习）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ） A． B． C． D．y＝|x－ | 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数、复合函数、分段函数的单调性逐一判断. 【详解】对于A， ，因为 ，所以指数函数 在 单调递减，故A选项错误； 对于B， ，因为 ，所以对数函数 在 单调递减，故B选项错误； 对于C， ，因为二次函数 在 上单调递增，所以函数 在 单调递增，故C选项正确； 对于D，由 ，可得函数 在 内上单调递减，在 内单调递增， 故D选项错误. 故选：C. 6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得 的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 在 上单调 递减，则 ，解得 . 故选：A 7．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实数a的 取值范围是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得 在区间 上单调递减，且 在区间 上恒为正数，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意得函数 在 上单调递减，且在 上 恒成立， 所以 ，解得 ， 故a的取值范围是 . 故选；B. 【题型四 函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小）】 1．比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同 一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉 “f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间 比较求参数． (2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 【典例1】（单选题）（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取 值范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数 的图象对称轴为 ，依题意， ，得 ， 所以 的取值范围为 . 故选：C 【典例2】（单选题）（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由 ，故 在 上单调递增， 由 ，有 ，即 . 故选：A. 【典例3】（单选题）（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 是 上的偶函数，且 在 上单调递增，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数 是 上的偶函数，且 在 上单调递增， 所以 ，即 . 故选：B. 一、单选题 1．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得 ，再由 ，进而求得 的取值范 围. 【详解】由函数 的对称轴是 ， 因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ， 又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 . 故选：A． 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，在区间 上单调递减，则正实数 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】利用复合函数的单调性，结合指数函数和一次函数的单调性即可得解. 【分析】根据题意，函数 ，令 ， 由正实数 知，函数 单调递减， 因为 在区间 上单调递减， 则 单调递增且 ， 所以 ，解得： ， 故 的取值范围是 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析 的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 又函数 在区间 上不单调，所以 ， 故选：B． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】判断函数 的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】 ，易知 在 单调递减， 在 单调递减，且 在 处连续，故 在R上单调递减， 由 ，则 ，解得 , 故不等式 的解集为 . 故选：A 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 成立的正实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性定义判断出 为偶函数，再根据 上的单调性得到参数 的取值范围. 【详解】由题意可知 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数． 当 时，函数 ， 单调递减． 若 成立，则 ，解得 或 ． 又 ，所以正实数 的取值范围是 ． 故选：A． 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知 在 上单调递减，且 ，则下列结论中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用函数的单调性判断即可. 【详解】由 得， ，结合 在 上单调递减， 则必有 ，显然B正确，A错误， 而当 时 ，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知 为 上的减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性得到 与0.5的大小，再利用 为 上的减函数判断. 【详解】因为 ， 所以 ， 又因为 为 上的减函数， 所以 ， 故选：B8．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由 ，故 ，故 ， 由对勾函数性质可得 ， ，且 ， 综上所述，有 . 故选：C. 二、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的 取值范围是 【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞） 【解析】略 10．（22-23高三上·江西·期中）已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式函数的单调性求解即可. 【详解】 ，故若函数 在 上单调递减，则 ， 即 . 故答案为：11．（23-24高三上·上海静安·期末）不等式 的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数 ，利用函数的单调性及 的函数值即可解决问题. 【详解】令 ，易知 在区间 上单调递增， 又 ，所以 的解集为 ， 故答案为： . 12．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】因为 ， 所以 ， 所以函数 在区间 上单调递增， 即 在 上恒成立， 显然 ，所以问题转化为 在 上恒成立， 设 ， 所以 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，故 ， 所以 的最小值为： . 故答案为： . 【题型五 求函数的最值（值域）】 求函数最值的五种常用方法 【典例1】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 过点 ． (1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 在 上的最大值和最小值． 【答案】(1) 在区间 上单调递增，证明见解析 (2)最大值为 ，最小值为 【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数 在 上的最大值和最小值. 【详解】（1）单调递增，由题意证明如下， 由函数 过点 ，有 ， 解得 ，所以 的解析式为： ． 设 ，且 ，有 ． 由 ，得 ． 则 ，即 ． ∴ 在区间 上单调递增． （2）由 在 上是增函数， 所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ． 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数 在 上是增函数且最小值5，那么 在区间 上是 （ ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值. 【详解】因为 是奇函数，所以 在区间 上的单调性与 在 上的单调性相同，也是增函数， 在 上的最小值5，即 ， 所以 在区间 上的最大值为 . 故选： . 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需 的最小值小于 即可. 【详解】 ， ，只需 的最小值小于 即可， 由于 的最小值为 ，故 . 故选：D 3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 在区间 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 在区间 恒成立，只需要 即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可 得解. 【详解】由解析式易知： 单调递增， 当 时， 恒成立，则 ，得 ． 故选：B． 4．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数 ， 不存在最小值，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】分别在 条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数 的取值规律，由条 件列不等式求 的范围，可得结论. 【详解】（1）当 时，若 ，则 ， 因为函数 在 上单调递增，所以 ， 若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 因为 不存在最小值， 所以 ，所以 ， （2）当 时，若 ，则 ， 因为函数 在 上单调递增，所以 ， 若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 因为 不存在最小值， 所以 ，所以 ， 所以实数 的取值范围是 ， 故选：C. 二、填空题 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 . 【答案】16 【分析】求出 的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由 ，而 ，因为 单调递增，所以 ，则 的最大值是16. 故答案为：16 6．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）函数 ， 的值域为 【答案】 【分析】由初等函数的单调性判断函数单调性，进而求值域. 【详解】因为 和 在 上均为减函数， 所以 在 上为减函数， 所以 ，即 ， 所以值域为 . 故答案为： 7．（2024·湖北黄石·三模）设 ， ，若 ，则 的最小值为 ，此时 的值为 . 【答案】 2 【分析】利用基本不等式求出 的取值范围，再变形所求式，借助单调求出最小值. 【详解】由 ， ， ，得 ，当且仅当 时取等号， 因此 ， ， 令 ，函数 在 上单调递减，当 时， ， 所以当 ，即 时， 取得最小值 .故答案为： ；2 三、解答题 8．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 (1)若 为偶函数，求 在 上的值域； (2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出 ，再利用二次函数求出值域即可得； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解. 【详解】（1） 函数 定义域为R，由 是偶函数，得 ， 即 ， 整理得 ，而 不恒为0， 因此 ，函数 ， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 于是 ，又 ， ，则 ， 所以 在 上的值域是 ； （2） 不等式 ，依题意， ， ，而对勾函数 在 上单调递减， 当 时， ， 即当 时， ，则 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是 .