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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 07 讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精
练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．在下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性确定正确答案.
【详解】A选项， 是常数函数，不符合题意.
B选项， 的开口向上，对称轴为 ，
所以在 上递减，不符合题意.
C选项， ，在 上为增函数，符合题意.
D选项，当 时， ，在 上递减，不符合题意.
故选：C
2．函数 在区间 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设 ，则问题转化为求函数 在区间 上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以
．
故选：B
3．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断出 的单调性，由此化简不等式 ，从而求得 的取值范围.
【详解】画出 的图象如下图所示，结合图象可知 在 上递增，
由 得 ，解得 .
故选：B
4．已知 ，则“ ”是“函数 在 内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】求得“函数 在 内单调递减”时 的取值范围，根据充分、必要条件的知
识求得正确答案.
【详解】若函数 在 内单调递减，
当 时， 在 内单调递减，符合题意.
当 时， 的开口向上，对称轴为 ，
则 ，解得 .
当 时， 的开口向下，对称轴为 ，
则 ，解得 .
综上所述，若函数 在 内单调递减，则 .
所以“ ”是“函数 在 内单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
5．若对任意的 ， 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将原不等式参数分离，转化为基本不等式即可求解.
【详解】 ，
即m大于函数 的最大值， ，
∴ 的最大值为-2， ；
故选：C.
6．已知函数 的最小值为a，则函数 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得 ，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】因为函数 与函数 在 上为增函数，
所以函数 为增函数，
所以 ，
∴ ，
∴当 ，即 时，函数 有最小值 .
故选：B.
7．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.
【详解】根据题意，函数 在 时为单调递增，即 ，解得 ；
易知，二次函数 是开口向上且关于 对称的抛物线，所以 为单调递增；
若满足函数 在 上单调递增，
则分段端点处的函数值需满足 ，如下图所示：所以 ，解得 ；
综上可得 .
故选：A
8．若偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可.
【详解】因为 是偶函数，所以由 ，
当 时，由 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，或 ，
而 ，所以 ；
当 时，由 ，
因为 在 上单调递增，
所以 或 ，
而 ，所以 ，
故选：A二、多选题
9．已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是 ，值域是
B．f(x)的单调减区间是(1，3)
C．f(x)的定义域是 ，值域是
D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)
【答案】AB
【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数 定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并
判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.
【详解】已知函数 ，
对于A、C，令 ，则 ，解得 ，定义域为 .
，又 ，函数的值域为 ，故A正确，C错误；
对于B、D，函数 定义域为 ，函数 的对称轴为 ，所以 在区间 单调递
增，在区间 上单调递减，故B正确，D错误；
故选：AB.
10．若二次函数 在区间 上是增函数，则a可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.
【详解】二次函数 对称轴为 ，
因为二次函数 在区间 上是增函数，
所以 ，解得 .故选：AB.
11．已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ， ；②
，当 时， ；③ .则下列选项成立的是（ ）
A．
B．若 ，则 或
C．若 ，则
D． ，使得
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数 在 上单调递减，在 上 单调递增，且
，进而逐项分析各项的正误．
【详解】由① ， ，得 为偶函数，
② ， ，当 时，都有 ，所以 在 上单调递减，
故 ,故A正确；
对于B，由 ,可得 或 ，解得 或 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
若 ，则 或 ，解得 ，故C错误；
对于D，由 为 上的偶函数，在 单调递减，在 单调递增，
又因为函数 的图象是连续不断的，所以 为 的最大值，所以 ， ，使得 ，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
12．函数 在 上的值域为________．
【答案】
【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求值域即可.
【详解】 在 上为增函数，
则 在 上的最小值为 ，最大值为 ，
即 ．
故答案为： .
13．函数 的单调递增区间为__．
【答案】
【分析】求得 的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间
【详解】令 ，解得 或 ，则 的定义域为 ，
由 在 单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出 的
减区间即为 的增区间，再结合 的定义域可知 的单调递增区间为 ，
故答案为：
14．定义在 上的函数 满足 ， ，若 ，则m的取
值范围是______．
【答案】【分析】由题意可得函数在 上单调递减，然后根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为定义在 上的函数 满足 ， ，
所以 在 上单调递减，
所以由 ，得
，解得 ，
即m的取值范围是 ，故答案为：
15．若函数 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性可得答案.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，
故答案为：
四、解答题
16．函数 ，
(1)判断单调性并证明，
(2)求最大值和最小值
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)最大值 ，最小值
【分析】（1）根据定义法判断函数单调性的一般步骤，逐步计算，即可判断出函数单调性；
（2）根据函数单调性，可直接写成最值.【详解】（1）（1）任取 ， 且 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 在 上为增函数．
（2）（2）由（1）知： 在 上为增函数，
所以 ， ．
17．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 ．
(2)求函数 的解析式．
(3)若 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）利用奇函数定义直接可得；
（2）设 ，利用 ，可得解析式；
（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为 为奇函数，则
（2）因为 为奇函数， ，
设 ，则 ，
则 ,因为 为奇函数，则
则 ．
（3）当 时， 为单调递增函数，由奇函数可知 是定义在[﹣3，3]
上的增函数，
又∵ ，∴ ，
故有： ，则有 ，解得
所以实数a取值范围是：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．若1≤x≤2时，不等式 恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．【答案】B
【分析】根据二次函数 在区间 上恒成立，列出满足的条件求解即可.
【详解】根据题意，令 ，若不等式 在 上恒成立，则有
或 或
解得 ，所以实数 的最小值为: ，
故选:B
2．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．[2，＋∞）
C． D．
【答案】C
【分析】利用“同增异减”可求函数的单调增区间.
【详解】令 ，则 ，
故函数的定义域为 ，设 ， ，
则当 时， 为增函数，此时 ；
当 时， 为减函数，此时 .
而 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，此时 .而 在 上为减函数，
故 在 上为减函数，在 上为增函数.
故选：C.
3．定义在R上的奇函数 ，满足 ，且在 上单调递减，则不等式 的解
集为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】由已知化简不等式可得 .然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解 以及 时，不
等式的解集，即可得出答案.
【详解】由已知可得 .
当 时，有 .
由 ，且在 上单调递减，可知 ；
当 时，有 .
根据奇函数的性质，可推得 ，且在 上单调递减，
所以 .
综上所述，不等式 的解集为 或 .故选：B.
4．函数 ， ，对 ， ，使 成立，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理解题意，将“对 ， ，使得 成立”转化为两函数值域的包含
关系，先分别求解两函数在 上的值域，再由包含关系求出a的取值范围.
【详解】 ，
当 时， ， ，
即 值域为 .
又 ，则 为增函数，
当 时， 值域为 .
要使对 ， ，使得 成立，
则 ，
，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
二、多选题
5．设 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， ，则（ ）
A． 在 上单调递减B．
C．不等式 的解集为
D． 的图象与 轴只有2个交点
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可进一步求解.
【详解】根据 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减可知 在 上单调递减，
故选项A正确；
在 上单调递减， ，故选项B正确；
不等式 的解集为 ，故选项C正确；
是定义在 上的奇函数，所以 ， 的图象与 轴有3个交点，分别是 .故
选项D错误.
故选：ABC.
6．已知函数 ，以下结论正确的是（ ）
A． 为奇函数
B．对任意的 都有
C．对任意的 都有
D． 的值域是
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性定义可知A正确；取 可知B错误；当 时， ，结合反比例函数的性质可确定 在 上单调递增，结合奇偶性可知 在 上单调递增，知C正确；分离常
数后可得 在 上的值域，结合对称性可得 的值域，知D正确.
【详解】对于A， 定义域为 ， ，
为定义在 上的奇函数，A正确；
对于B，由A知： 为定义在 上的奇函数， ；
取 ，则 ， ，
，B错误；
对于C，当 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增；
又 为 上的奇函数， 在 上单调递增，
在 上单调递增，则 ，C正确；
对于D，当 时， ， ，
又 图象关于原点对称， 当 时， ；
综上所述： 的值域为 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性、单调性综合应用问题，解题关键是能够采用分类讨论的方式，
通过对 在 上的单调性和值域的求解，结合奇偶性确定其在 上的单调性和值域.
三、填空题7．因函数 的图像形状像对勾，我们称形如“ ”的函数为“对勾函
数”．该函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数，若对勾函数 对
于任意的 ，都有 ，则实数t的最大值为__________．
【答案】
【分析】由 ，移项后代入 ，构造新的关系式，对 分类讨论，转化为
恒成立问题即可解决.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，即
当 ，即 时，因为 ，则 ， .
当 即 时， 恒成立，所以 .
综上 ,
所以实数 的最大值为 .
故答案为：
8．已知函数 在区间 上是严格增函数，则实数 的范围是____________．
【答案】
【分析】先求解 的根，判断两根的大小以及严格递增区间，再判断m的范围.
【详解】令 ，解得 或 ，∴当 时， 在 上是严格增函数；
若 时，函数在 上单调递增，
又函数在区间 上是单调递增，故 ；
若 时，函数在 上单调递增，则函数在区间 上是单调递增恒成立，
综上m的范围是 ．
故答案为：
四、解答题
9．已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的奇偶性：
(2)若函数在区间 上是严格增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况讨论函数的奇偶性；
（2）根据条件转化为当 时， ，参变分离后，转化为求 的范围，即可
求参数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以 是偶函数；
当 时， ，所以 ，
所以 是非奇非偶函数；
（2）由题意得任取 且 ，则 恒成立，
即 ，即 ， ，
因为 ，所以 ， ，所以 恒成立，
又 ，所以 ，则 ，
所以 .
10．已知定义域为R的函数 是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断 的单调性，并证明；
(3)若关于m的不等式 在 上有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)2
(2)严格减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数性质代入 求出 ，检验 成立；
（2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）利用奇函数性质，单调性以及存在性问题即可求解.
【详解】（1）依题意，
由 ，得 ．
检验： 时， ，
∴ 对 恒成立，即 是奇函数．
（2）判断：严格减函数．
证明：设 且 ，
则
，∵ ，即 ．
又 ，∴ ，
∴ ，即 ．
∴ 在R上是严格减函数．
（3）∵ 是奇函数，
∴不等式 ，
即
∵ 在R上是严格减函数，
∴ 在 上有解，
即 在 上有解，
∴ 在 上有解，
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 .
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断与应用，以及不等式存在性问题，利用定义法和参数
分离法是解决本题的关键.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知函数 是定义在 上的偶函数，若 ， ，且 ，都有 成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数 ，求出函数 的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令 ，由题意知 在 上为减函数，
又 为 上的偶函数，所以 为 上的奇函数，
又 在 上为减函数， ，
所以 在 上为减函数，
①当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 .所以 或 .
故选：D.
2．已知奇函数 在 上单调递增，对 ，关于 的不等式 在
上有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】A【分析】根据函数 的单调和奇偶性，将不等式转化为当 时， 在 成
立， 上有解，结合主元变更求实数 的取值范围，同样当 时， 在
成立， 上有解，结合主元变更求实数 的取值范围即可.
【详解】解：①当 时， 可以转换为 ，
因为奇函数 在 上单调递增，
，则 ，
∴ 在 成立，则 ，
由于 ，∴ 在 递减，则 ，
又在 上有解，则 ，∴ ；
②当 时，由单调性和奇偶性可转换为： ，
∴ ，在 成立，则 ，
当 时，在 ， 递增，则 ，
又在 有解，则 ，∴ ，
当 时，在 ， 递减，则 ，
又在 有解，则 ，∴ ，综合得 .
综上， 或 .
故选：A.
3．函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若对任意 ，均有
，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．3【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得 ，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，
则由 得 ，
又因为 在 上是增函数，所以 ，
两边平方化简得 在 恒成立，
令 ，则 ，
又因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 单调递增，
则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的最大值为 .故选：B.
二、多选题
4．已知 是定义在区间 上的奇函数，且 ，若 时，有 ．
若 对所有 恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】先根据题目给出的条件，判断 是定义在区间 上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可.
【详解】不妨令
，
对任意 都有 在 上单调递增，
对所有 恒成立，
对所有 恒成立，
对所有 恒成立，令
故只需 解之：
故选：AD
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从
表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性
解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技
巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常
用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题
5．若函数 在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是______.
【答案】 ．
【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴
进行分类讨论可得．
【详解】因为 ，当 时， 时， 单调递增，不合题意；
当 时， 时， ，函数 在区间 上是严格减函数，
则 ，即 ；
当 时， 时， ，函数 在区间 上是严格减函数，
则 ，即 ；
当 时， ，
，因此 在 是单调递增，不合题意；
综上， 的范围是 ．
故答案为： ．
6．已知 ，若 对 恒成立，则实数 ___________.
【答案】
【分析】分情况讨论当 时，可得 ，当 时，可得 ，即求.
【详解】当 ，即 时， ，
又 ，故 ，则 恒成立，
所以 ，解得 ；
当 ，即 时， ，故 ，即 恒成立，
∴ ，解得 ；
综上，实数 .
故答案为： .7．已知 ，函数 ，使得 ，则a的取值范围
________.
【答案】
【解析】由已知得出函数的单调性，再得出 时，a的值，从而分 两种情况，
分别由 解得可得a的取值范围.
【详解】因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，解得 （ 舍去），
（1）当 ，解得 ；
（2）当 ，不符题意.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况： 有解⇔ ，
有解⇔ .
四、解答题
8．已知 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且 .
(1)判断函数 的单调性，并证明；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)函数 在R上单调递减，证明见解析.
(2)【分析】（1）由 ，根据函数奇偶性列方程组求函数解析式，用定义法判断并证明函数
的单调性；
（2）原不等式在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，利用基本不等式求
的最小值，即可得实数 的取值范围.
【详解】（1）由 ，可得
为 上的奇函数， 为 上的偶函数，可得 ， ，所以
，
由 ，解得 ， ，
函数 定义域为R，是R上的减函数，证明如下：
任取 ，有 ， ，
则 ，即 ，
函数 在R上单调递减.
（2）由 ，不等式 即 ，得
，
当 时， ， ，不等式 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
，
当且仅当 即 时等号成立，得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：此题的不等式恒成立问题，通过分离常数，转化为求新函数最值问题，可使用函数单
调性或基本不等式等方法求函数最值.
