文档内容
热点 2-3 函数的最值(值域)及应用
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始
终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程
中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
【题型1 单调性法求函数的最值（值域）】
满分技巧
函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数
的单调性，从而求得值域；
（2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。
（3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性。
【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为 ，
所以该函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ，
所以 ，即函数的值域为 .故选：B.
【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）函数 ， 的值域为【答案】
【解析】因为 和 在 上均为减函数，
所以 在 上为减函数，
所以 ，即 ，所以值域为 .
【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 在 上单调递增，此时， ，
当 时， 在 上单调递减，此时， ，
综上可知， 的最大值为 .故选：B.
【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数 ， ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由“对勾函数”的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，故选：A.
【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数 是 上的单调函数，且
，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为 是 上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ．
因为 为 上的增函数，且 ，
所以 ，所以 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，得 ．故选：D.
【题型2 图象法求函数的最值（值域）】
满分技巧
画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数。
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）画出 的图像，并直接写出 的值域；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）图象见解析，函数 的值域是 ；（2） 或 .
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
的图象如图：
由图可知，函数 的值域是 .
（2）若不等式 恒成立，则 ，
则 ，即 ，解得 或 .【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）对 ，用 表示 ， 中的较大者，记
为 ，若函数 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】当 ，即 ，即 时， ，
当 ， ，即 或 时， ，
所以 ，
函数图象如图所示：
由图可得，函数 在 ， 上递减，在 上递增，
所以 .
【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，当 时， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 满足 ，且当 时，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以在区间 上，可得 ，
作函数 的图象，如图所示，所以当 时， ，故选：B.
【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知 ，若实数 ，则
在区间 上的最大值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数 的图象如图：
因为 ，
因为 ，所以 ，
表示函数 上的点到直线 的距离，
由图可知，当 时， 取得最大值，最大值为 ；
当 时， ，
结合图象可知，在区间 上总有 ，
所以，此时 的最大值为 ；
当 时，由图可知， ，
且 .
综上， 在区间 上的最大值的取值范围为 .故选：C
【题型3 换元法求函数的最值（值域）】
满分技巧换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1） 或 的结构，可用“ ”换元；
（2） （ 均为常数， ），可用“ ”换元；
（3） 型的函数，可用“ ”或“ ”换
元；
【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）函数 的最大值为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 ，
由二次函数的性质知，对称轴为 ，开口向下，
所以函数 在 单调递增，在 上单调递减.
所以当 ，即 时，
取得最大值为 .
【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）函数 的最大值为（
）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由解析式易知 的定义域为 ，
令 （ ），所以 ，则 ，
由 ， 可知， ，所以 ，则 ，
所以 （ ），
则 ，所以 的最大值为 .故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】
【解析】由 ，可令
原函数可整理为：
因为 ，所以 ，则 ，
当 ；当 ，
所以函数 的值域为 .
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，即 ，
设 ，
原函数转化为：
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以
所以函数 的值域为 .
【题型4 分离常数法求函数的最值（值域）】
满分技巧
分离常数法：
（1）形如 的函数，可分离为 ，然后求值域；（2）形如 ，将分子配成分母的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为
；
（3）形如 ，将分母配成分子的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为
【例4】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
其中 的值域为 ，
故函数 的值域为 ，故选D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域．
【答案】
【解析】 ，
当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ， ，
所以 ，由对勾函数的值域可知，当 时， ，
所以 ，
所以 ．
综上所述，函数 的值域为 ．
【变式4-2】（2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若 ，则函数 的值域是
.
【答案】
【解析】∵ .
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号；
故函数的值域为 .
【变式4-3】（2023·全国·高三对口高考）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，
当 时，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 恒成立，故 ，
故 的值域为 ，故选：C【题型5 判别式法求函数的最值（值域）】
满分技巧
形如 或 的函数求值域，可将函数转化
为关于 的方程 ，利用二次项系数不为0，判别式 或二次项系数为0，一次方程有解得
出函数的值域。
【例5】（2023·河南平顶山·高三阶段练习）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设 ， ， ，
时， ，
时，因为 ，所以 ，解得 ，即 且 ，
综上 ，最大值是 ，最小值是 ，和为6．故选：B．
【变式5-1】（2022·陕西·高三校联考阶段练习）函数 的值域是 .
【答案】
【解析】由函数 可知
所以 ，整理得：
当 时， ，符合；
当 时，则关于 的一元二次方程在 有根
所以
整理得： 且 ，解得： ，
综上得： .【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】
【解析】因为 ，所以当 时， ；
当 时，原函数化为 ，
所以 ，整理得 ，解得即 或 ，
∴综上，函数 的值域为 .
【变式5-3】（2023·广东茂名·统考二模）已知实数a，b满足 ，则 的最小值是
.
【答案】
【解析】因为实数a，b满足 ，
所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，
代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，
所以两根同号，只需 解得 .
综上所述： .即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
【题型6 几何法求函数的最值（值域）】
满分技巧
分析代数式的结构，一般情况表示的斜率、截距、距离等几何意义。
【例6】（2023·河北·校联考三模）函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】函数 的几何意义是在直角坐标平面内定点 与动点 连线的斜率，易知动点 在以 为圆心，1为半径的圆除 以外的点上，
易知直线 的斜率存在，设为 ，则直线 为 即 ，
则 ，解得 ，即值域为 .
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为
【答案】
【解析】 表示点 与点 连线的斜率，
的轨迹为圆 ，
表示圆 上的点与点 连线的斜率，
由图象可知：过 作圆 的切线，斜率必然存在，
则设过 的圆 的切线方程为 ，
即 ，
圆心 到切线的距离 ，解得： ，
结合图象可知：圆 上的点与点 连线的斜率的取值范围为 ，
即 的值域为 .
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由题设 ，
所以所求值域化为求 轴上点 到 与 距离差的范围，如下图示，
由图知： ，即 ，当 三点共线且 在 之间时，左侧等号成立；
当 三点共线且 在 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 ，即 ，
所以函数值域为 .
【变式6-3】（2023·陕西铜川·校考一模）若 ，则函数 的值域是
．
【答案】
【解析】 ，
设 ， ，则 .
由于 ，则 ，且 .
设 ，由该式的几何意义得下面图形， ，
其中直线 为圆的切线，由图知 .
由图知 ，
在 中，有 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以， ，故所求值域为 ．
【题型7 导数法求函数的最值（值域）】
满分技巧
对可导函数 求导，令 ，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的最小值为 ．
【答案】【解析】因为 ，可得 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 ，令 ，得 ，
所以函数 ，即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，则 ．
【变式7-1】（2023·上海虹口·高三校考期中）函数 在区间 上的最大值是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
【变式7-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由函数 的定义域为 ，
1.若 ，函数 ，此时 在 上单调递减，
此时函数的最小值为 ；
2.若 ，函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以此时 的最小值为 ；
又由 ，即 ，
所以函数的最小值为 .【变式7-3】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为正实数x，y满足 ，
所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，由 得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，记 ，
则 ，所以 ，记 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
所以在 上， ， ， 单调递增，
在 上， ， ， 单调递减，
所以 ，当 时， ，即 的最大值为 .故选：B
【题型8 已知函数的最值（值域）求参数】
满分技巧
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值
（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
【例8】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 的值域为 ，则 要取遍所有的正数．所以 或 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .故选：A．
【变式8-1】（2023·上海青浦·统考一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，此时 ，
当 且 时， ，
此时 ，且 ，所以不满足；
当 且 时， ，
由对勾函数单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ，
若要满足 的值域为 ，只需要 ，解得 ；
当 且 时，因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 时， ， 时， ，
所以此时 ，此时显然能满足 的值域为 ；
综上可知， 的取值范围是 .
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .故选：B
【变式8-3】（2022·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知 的最小值为2，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
又因为 的最小值为2，
所以需要当 时， 恒成立，所以 在 恒成立，
所以 在 恒成立，即 在 恒成立，
令 ，则 ，
原式转化为 在 恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ，
所以在 上 最大值为 ，所以 ，故选：D.
（建议用时：80分钟）1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ∴原式
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
又∵ ， ， ，
∴当 时， ，
∴当 ， 的取值范围是 .故选：D.
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数 ，若
的最小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
所以函数 定义域为 ，
因为
由外层函数 和内层函数 复合而成，
当 时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以 单调递减，
当 时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以 单调递增，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．【答案】D
【解析】因为 ， ，令 ．
所以 ，
因为函数 在 上单调递增，
故 ，即 的最大值为 ，故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝3 －4 的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－10 D．10
【答案】A
【解析】由 解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，2].
因为 ，故可设 ，
则 ，（其中有
）.
因为 ，所以 .
所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10× ＝－8.故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 且 ，
所以 ，解得 或 ，综上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增，
在 上单调递增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以函数在 取得最小值，所以 ；故选：A
8．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）设函数 ，若 表示不超过 的最大整数，
则 的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为 ，则 ，所以函数 的值域是 ，
则 的范围是 ，于是 的函数值可能是 或 ，故选： .
8．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）（多选）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意 ，
都存在正数M使得 总成立，则称函数 是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有
界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A： 的定义域为 , ，令 ，则 ，
， ，
不存在正数 ，使得 总成立， 不是有界函数；
对于B： 的定义域为 ，
，所以 ，
存在 ，使得 ， 是有界函数；
对于C： ， ，
存在 ，使得 ， 是有界函数；对于D： ，
由于 时， 单调递增，此时 ，
故不存在正数 ，使得 总成立， 不是有界函数；故选：BC．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为
【答案】
【解析】 为开口方向向上，对称轴为 的抛物线，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
的值域为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为 ．
【答案】
【解析】 在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增， .
10．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
11．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ，
令 ，则 ，令 ， ，因为函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，最小值是 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
综上所述， 的最小值为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，
当 时等式不成立，∴ ，则有 ，
∵ ，∴ ， ， 或 ，
∴函数 的值域是
14．（2021·全国·模拟预测）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由题可得， ，令 ，则 ，
即 ，当 ，即 时， ；
当 ，即 时，要使方程有解，则需 ，得 .
综上，
15．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）若对任意实数a，b规定 ，则函数
的最大值为 .
【答案】2
【解析】 ，
若 ，即 时，
，
若 ，即 或 时，
，
当 时， 单调递减，故 ，
当 时， 单调递增，故 ，
故 或 时， ，
综上，函数 的最大值为2.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】分别作 ， 的图象，
分别取点 ， ，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设 为 与 的交点， ，即 .
当且仅当 时，取等号.
故得的最小值为 .
18．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若 ，求函数 的最小值.【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ，则 ，
因为 是定义域为 的偶函数，则 ，
即 对任意 恒成立，则 ；
（2）由（1）知，
则 ，
令 ，由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
则原函数化为： ， ，
①当 即 时， 在 上单调递增，
则 ，即 ，；
②当 ，即 时，
在 单调递减，在 单调递增，
则 ；即 ，
综上所述， .
18．（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数 （ 且 ， 为常数）的图象经过点
， .
（1）求 的值；
（2）设函数 ，求 在 上的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 的图象经过点 ， ，
所以 ，两式相减得 ，
又 且 ，解得 或 （舍去），则 .
（2）由（1）得 ，因为函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
则 ，
，
故 在 上的值域为 .
