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专题 14.3 整式乘法之十四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 计算单项式乘单项式】....................................................................................................................1
【考点二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】........................................................................................2
【考点三 计算单项式乘多项式】....................................................................................................................3
【考点四 利用单项式乘多项式求字母的值】................................................................................................4
【考点五 单项式乘多项式的应用】................................................................................................................5
【考点六 计算多项式乘多项式】....................................................................................................................8
【考点七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】...........................................................................................................10
【考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】......................................................................................12
【考点九 多项式乘多项式与图形面积】......................................................................................................14
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】......................................................................................................17
【考点十一 同底数幂的除法】......................................................................................................................20
【考点十二 多项式除以单项式】..................................................................................................................21
【考点十三 整式的四则运算】......................................................................................................................22
【考点十四 整式运算中的化解求值】..........................................................................................................24
【过关检测】...........................................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算： ．
【答案】【分析】根据积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，进行运算，即可求得结果．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关
键．
【变式训练】
1．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
2．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）计算： ．
【答案】 /
【分析】根据单项式的乘法法则计算即可．
【详解】原式= ，
故答案为：
【点睛】本题考查单项式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）已知单项式 与 的积为 ，那么 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B【分析】按照单项式乘单项式计算单项式 与 的积，再根据单项式 与 的积为 ，即
可求得答案．
【详解】解：∵ ，单项式 与 的积为 ，
∴ ， ，
故选：B
【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）若 ，则 的值分别为（ ）
A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为 ，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．
【详解】解：∵ ，
∴7n=14，2+k=5，
∴n=2，k=3，
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若单项式 和3xy的积为 ，则ab的值为（ ）
A．30 B．20 C．﹣15 D．15
【答案】B
【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可．
【详解】解： ×3xy＝ ＝ ，
∴a+1＝5，b+1＝6，
解得a＝4，b＝5，
∴ab＝4×5＝20，
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．【考点三 计算单项式乘多项式】
例题：（2023春·广东河源·七年级统考期末）计算： ．
【答案】 /
【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单
项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据单项式乘以多项式的法则，将单项式与多项式的每一项相乘，即可得解．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的
运算法则．
2．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】将多项式拆开，化成最简形式，式子从最高幂到最低幂，计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，化成最简形式求出结果是解题的关键．
【考点四 利用单项式乘多项式求字母的值】例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 中不含x的二次项，则 ．
【答案】
【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出 的系数为0，进而求出答案．
【详解】解：∵ 中不含x的二次项，
∴ 中， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）若 的结果中不含 项，则 ．
【答案】0
【分析】先利用单项式乘以多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值．
【详解】解： ，
由结果中不含x4项，得到-5a=0，即a=0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意当要求多项式中不含有
哪一项时，应让这一项的系数为0．
2．（2023春·七年级课时练习）若 恒成立，则 ．
【答案】-4
【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案．
【详解】解： ，
恒成立，
， ， ，
， ， ，
所以 ．
故答案为：-4．【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键．
【考点五 单项式乘多项式的应用】
例题：（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）如图，大小两个正方形边长分别为 、 ．
(1)用含 、 的代数式阴影部分的面积；
(2)若 ，求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用面积作差即可求解；
（2）利用非负数的性质先求出 ， 的值，再将其代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查列代数式、非负数的性质，单项式乘以多项式，根据图形正确表示出阴影部分的面
积是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·七年级假期作业）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位： ）．他打算将卧室
铺上木地板，其他地方铺地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？
(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米 元，那么王老师需要花多少钱？
【答案】(1)木地板需要 平方米，地砖需要 平方米
(2)王老师需要花 元
【分析】（1）根据长方形面积公式分别求出卧室的面积，厨房、卫生间和客厅的面积之和即可得到答案；
（2）根据花费 单价 面积进行求解即可．
【详解】（1）解：卧室的面积是： （平方米），
厨房、卫生间和客厅的面积之和为 （平方米）
∴木地板需要 平方米，地砖需要 平方米；
（2）解： （元）
∴王老师需要花 元．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式和单项式乘以单项式的实际应用，正确计算是解题的关键．
2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）如图，将边长为 的小正方形和边长为 的大
正方形放在同一平面上 ．
(1)用 、 表示阴影部分的面积______．（写最简结果）
(2)计算当 ， 时，阴影部分面积．
(3)试着说明：白色部分面积与 的大小无关．
【答案】(1)
(2)(3)见解析
【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案；
（2）把 、 的值代入，即可求得答案．
（3）根据题意表示出白色部分的面积即可求解．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积：
．
（2）解：当 ， 时，阴影部分的面积为：
（3）解：白色部分的面积为
．
∴白色部分面积与 的大小无关．
【点睛】本题考查了求代数式的值和列代数式，整式的加减，能正确表示出阴影部分的面积是解此题的关
键．
【考点六 计算多项式乘多项式】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）计算： ．
【答案】 ．
【分析】根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则即可求解．
【详解】解：原式
．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则，解题的关键是掌握法则，正确计算．
【变式训练】
1．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用多项式的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并
同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
（2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
（3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
（4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键．
【考点七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（4）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）探索题：
(1)计算：
＝ ，
＝ ，
＝ ；
(2)发现： ＝ ；并证明你的发现．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算．
（2）利用（1）中的计算结果得出结论，再利用多项式乘多项式的运算法则进行证明．
【详解】（1）解： ．
．
．
故答案分别为： ．
（2）解： ．证明如下：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，还考查了整式乘法的计算规律问题的处理能力，解题的
关键是能准确利用整式乘法法则进行计算和归纳．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定
会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空： _________；
_________；
_________；
(2)归纳猜想后填空： ______ ______
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果： ______．
【答案】(1) ； ；
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据 得出即可．
【详解】（1）
故答案为： ； ； ．
（2）故答案为： ， ．
（3）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
【考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若 去括号后不含 的一次项，则 的值为
．
【答案】
【分析】根据去括号后不含x的一次项，可知去括号、合并同类项后，含x的一次项的系数为0，据此即可
求得m的值．
【详解】解： ，
去括号后不含x的一次项，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘法结果中不含某项问题，熟练掌握和运用不含某项求参数的方法是解决本题
的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式 的结果中不含字母x的一次项，则a的值
是 ．
【答案】 /0.5【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算原式，再根据结果中不含字母 x 的一次项可得关于m的方
程，解方程即得答案．
【详解】解： ，因为计算结果中不含字母 x 的一次项，
所以 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的法则是
解题关键．
2．（2023春·浙江·七年级期末）已知 的展开式中不含 项和 项，那么 ，
．
【答案】 3 7
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令含 和 的项的系数之和为0，从而列方程求
解．
【详解】解：原式 ，
原式的展开式中不含 和 的项，
， ，
解得： ， ，
故答案为：3，7．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则，理解展开式中不含 和 的项，即
含 和 的项的系数之和为0是解题关键．
【考点九 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用
平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．
(1)请写出图②所表示的代数恒等式．
(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析．
【分析】（1）根据数据表示出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每
一小部分的长方形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．
【详解】（1）解：由题意得 ；
（2）解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长 米，宽 米的长方
形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长 米，宽 米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休
息区．（结果需要化简）(1)求长方形游泳池的面积；
(2)求休息区的面积；
(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？
【答案】(1) 平方米
(2) 平方米
(3) 平方米
【分析】（1）根据长方形的面积公式和单项式乘以多项式的法则解答即可；
（2）用大长方形的面积减去小长方形的面积求解即可；
（3）由（2）求得的结果与（1）求得的结果作差求解即可．
【详解】（1）长方形游泳池的面积 平方米；
（2）
；
即休息区的面积是 平方米；
（3）
；
即休息区比游泳池的面积大 平方米．
【点睛】本题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意、熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键．
2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 ，宽为 的长方形
空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
(3)当 ， 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可；
（2）根据“长为 ，宽为 的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道”
列式计算即可；
（3）把 ， 代入（2）中得到结果计算即可．
【详解】（1）解： ，
答：该长方形空地的面积为 ．
（2） ．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
（3）当 ， 时，这两个长方形喷泉池的总面积为
．
即这两个长方形喷泉池的总面积为 ．
【点睛】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式是解题
的关键．
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．…
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 ______；（其中 为正整数）
(2)计算： ．（结果保留幂的形式）
(3)计算： ．（结果保留幂的形式）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边 的指数比等号左边 的最高指数大 ，然后写出即可；
（2）根据所给式子的规律，把x换为3即可，
（3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；
【详解】（1）解：观察已知可得 ，故答案为： ；
（2）解：根据（1）可知， ；
（3）解：原式变形为：
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律题，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子
的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．【变式训练】
1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律可得： ________．
(2)根据上面各式的规律可得： ________．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）分析数据的规律直接求解即可．
（2）分析数据的规律直接求解即可．
（3）分析数据的规律直接求解即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解： ；
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查多项式乘法中的规律性问题，解题关键是将推论出来的规律用来直接求解．
2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ___________；
第2个： ___________；
第3个： ___________；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ___________．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ___________．
（4）扩展与应用： ___________．
【答案】（1） ； ； ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算即可得；
（2）利用（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，即可得；
（3）将原式变为 ，即可得；
（4）将原式变形为 ，在根据所得规律进行计算即可得．
【详解】解：（1）第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
故答案为： ； ； ；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，则 ，故答案为： ；
（3）
，
故答案为： ；
（4）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律．
【考点十一 同底数幂的除法】
例题：（2023·天津河东·统考二模）计算 的结果是 .
【答案】
【分析】根据同底数幂除法运算后直接得出答案．同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握这一运算法则或公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·陕西汉中·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】先算乘方，再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可解答．
【详解】解： ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了同底数幂相除、乘方等知识点，正确运用同底数幂除法法则是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】（1）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】（1）
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ．
（3）
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
【考点十二 多项式除以单项式】
例题：（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用多项式除以单项式及积的乘方运算法则计算后，再合并；
（2）利用多项式除以单项式运算法则就算后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) . (2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（2）先计算乘方，再根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题考查多项式除以单项式．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．
2．（2023秋·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则进行展开，再根据单项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）根据多项式除以单项式法则进行展开，再根据单项式除以单项式法则进行计算即可；
（3）根据多项式除以单项式法则进行展开，再根据单项式除以单项式法则进行计算即可；
（4）根据多项式除以单项式法则进行展开，再根据单项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是牢记多项式除以单项式的法则，即把多项式的每一
项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【考点十三 整式的四则运算】
例题：（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算同底数幂的乘除法，再合并同类项；
（2）先算幂的乘方和积的乘方，再算多项式除以单项式．
【详解】（1）解： ；（2）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）计算
(1) ； (2) ；
(3) ． (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则即可求解；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘（除）单项式的法则即可求解；
（3）利用完全平方公式和多项式乘多项式的法则即可求解；
（4）利用多项式除以单项式的法则即可求．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算及有理数的混合运算．掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（3）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的除法法则计算即可；
（4）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；
（5）先根据多项式与多项式的乘法法则和多项式与单项式的除法法则计算，再合并同类项即可；
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及运算法则是解答本题的关键．
【考点十四 整式运算中的化解求值】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中 ， ．
【答案】 ，2
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
【变式训练】
1．（2023春·宁夏中卫·七年级统考开学考试）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】原式 ， ；
【分析】先根据整式乘除法法则化简式子，再代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式 ，
当 ， 时，
原式 ；
【点睛】本题考查整式的化简求值题，解题的关键是熟练掌握整式乘除法法则．
2．（2023秋·七年级课时练习）先化简，再求值：
(1) ．已知 ．
(2) ．其中 ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简整式，然后代值计算即可．
（2）先对整式进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）原式 ，
当 时，原式 ；
（2）
，
当 时，原式
【点睛】本题考查了整式的化简及代值计算，解题的关键是正确运用运算法则进行精确的计算．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法直接运算解题即可．
【详解】 ，
故选C．【点睛】本题考查同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·山西阳泉·八年级校联考阶段练习）下列整式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据单项式乘以单项式可判断A，根据单项式乘以多项式可判断B，根据多项式乘以多项式可判
断C，根据单项式乘以多项式可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，运算正确，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟记运算法则是解本
题的关键．
3．（2022春·湖南郴州·七年级校考期中）如果 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】C
【分析】根据 得到 ，则 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了多项式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023秋·山西临汾·八年级校考阶段练习）若 的乘积中不含 项，则常数a的值为
（ ）
A．3 B． C． D．－3
【答案】C
【分析】利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令 项的系数为0得到关于a的方程求解即可．
【详解】解：
,
∵多项式 的乘积中不含 项，
∴ ，解得： ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式有关性质、多项式乘多项式等知识点，令 项的系数为0得到关于a的方程
是解题的关键．
5．（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）已知图①是边长为a、b（ ）的小长方形纸片，图②是大长
方形，且边 ，将5张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未
被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角的阴影面积为S，右下角的阴影面积为M， ，若BC的
长度变化时，T始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设 ，左上角阴影部分的长为AE，宽为 ，长 ，分别表示出 ，即
可求解．
【详解】解：如图，设 ，左上角阴影部分的长为AE，宽为 ，长 ，
则 ．
同理可得， ，
∴ ，
由于T保持不变，所以取值与x无关，所以 ．
故选：C
【点睛】本题考查整式的乘法在图形面积中的应用．准确的计算是解题关键．
二、填空题
6．（2022春·湖南郴州·七年级校考期中）计算： ．
【答案】 /
【分析】根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是：正确熟练掌握积的乘方法则、单项式乘以单项式法则．
7．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）已知 与一个整式的积是 ，则这个整式是
【答案】
【分析】用积除以其中的一个因式即可得到另一个因式．
【详解】解：根据题意得： .
故答案为 .
【点睛】本题考查了整式的除法，根据题意列出算式是解答本题的关键．
8．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 的结果中不含 项和
项，则 ．
【答案】16
【分析】按照多项式乘以多项式展开合并后，不含 项和 项，则这些项的系数为零解题即可．
【详解】解：
∵结果中不含 项和 项，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查多项式的乘法中不含某些项，掌握不含某些项就是某些项的系数为零是解题的关键．
9．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）试观察下列各式的规律，然后填空：
……
则 .
【答案】【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．
【详解】 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律是解题的关键．
10．（2023秋·山西阳泉·八年级校联考阶段练习）将4个数 排成2行，2列，两边各加一条竖直线
记成 ，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意化简 ，得 ，再化简解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
即 ，
解得 ．
故答案为：3
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本
题的关键．
三、解答题11．（2022秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）计算下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，熟记积的乘方运算法则，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式
的运算法则是解本题的关键．
12．（2022春·福建漳州·七年级校考期中）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算乘法和除法即可；
（2）根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，多项式除以单项式．熟练掌握各运算法则是解题关键．
13．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，合并同类项，即可得；
（2）去括号，合并同类项即可得．
【详解】（1）解：原式=
= ；
（2）解：原式=
= ．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握单项式乘以多项式的法则和多项式乘以多项式的法则．
14．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）化简求值：
(1)先化简，再求值： ，其中 ， ；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式与平方差公式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行化简，最
后将字母的值代入进行计算即可求解；
（2）根据已知条件可得 ，然后将代数式化简，整体代入，即可求解．
【详解】（1）解：原式
当 ， 时，原式
（2）由 得：
即
∴原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握乘法公式以及多项式除以单项式是解题的关键．
15．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数.(1)已知 既不含二次项，也不含一次项，求 的值；
(2)已知关于x的二次三项式 有一个因式 ，且 ，试求m，n的值.
【答案】(1)6
(2)m，n的值分别是6，5．
【分析】（1）将 进行计算得 ，根据题意得 ，进
行计算即可得；
（2）设另一个因式是 ，则 ，进行计算即可得 ，进行计算即可得．
【详解】（1）解：
=
=
∵ 既不含二次项，也不含一次项，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：设另一个因式是 ，则
==
= ，
∴ ， ，
即 ，
解得， ，
∴m，n的值分别是6，5．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则．
16．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）某公园有一块长为 米，宽为 来的长方形地
块，规划部门计划在其内部一块正方形空地上修建一座的雕像，正方形边长为 米，左边修一条宽为
米的长方形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.
(1)用含 ，b的代数式表示绿化的面积(结果要化简)；
(2)当 ， 时，求出绿化的面积.
【答案】(1)
(2) 平方米
【分析】（1）根据图形的面积之差列式即可求解；
（2）将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：依题意，
；
（2）解：当 ， 时，
【点睛】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列出正确
的运算式是解本题的关键．
17．（2023秋·八年级课时练习）观察以下等式：
；
；
；
；
；
；
……
(1)按以上等式的规律，填空：
；
．
(2)根据（1）的规律化简： ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据各个等式所呈现的规律得出答案；（2）利用（1）中的公式进行计算即可．
【详解】（1）由各个等式所呈现的规律得，
， ，
故答案为： ；
（2）
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是解决问题的前提，发现各个等式
所呈现的规律是得出答案的关键．
18．（2023秋·八年级课时练习）（阅读题）阅读下列材料：
因为 ，所以 ，这说明 能被 整除，同时也
说明多项式 有一个因式为 ．另外，当 时，多项式 的值为0．
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式 、多项式能被 整除之间存在着一种什么
样的关系呢？
(2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当 时，M的值为0，那么M与式子 之间有何种
关系？
(3)应用：利用上面的结果求解．已知 能被 整除，求k的值．
【答案】(1)若多项式有因式 ，则此多项式能被 整除．另外，当 时，此多项式的值为0
(2)M能被 整除
(3)
【分析】（1）根据题意和多项式有因式 ，说明多项式能被 整除，当 时，多项式的值为0；
（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当 时，M的值为0，M与代数式 之间的关系；
（3）根据上面得出的结论，当 时， ，再求出k的值即可．
【详解】（1）若多项式有因式 ，则此多项式能被 整除．另外，当 时，此多项式的值为0．
（2）根据（1）可得，M能被 整除．（3）因为 能整除 ，
所以当 时， ，
即 ，解得 ．
【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
