第07讲函数的单调性与最值（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第 06 讲 函数的单调性与最值（精讲） ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小） ⑤求函数的最值（值域） 一、必备知识整合 1.函数的单调性 DD I x x x  x （1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数； DD I x x x  x （2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连 接． 2.函数的最值 y  f x （1）最大值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： xI f xM x I f x M ①对于任意的 ，都有 ；②存在 0 ，使得 0 . y  f x 那么，我们称M 是函数 的最大值. y  f x （2）最小值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数 m 满足：xI f xm x I f x m ①对于任意的 ，都有 ；②存在 0 ，使得 0 . y  f x m 那么，我们称 是函数 的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 1.∀x，x∈D(x≠x)， ⇔f(x)在D上是增函数； ⇔f(x)在D上是减函数． 1 2 1 2 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)和(0， ]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝ 的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、考点分类精讲 【题型一 函数单调性的判断与证明】 1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数 ． (1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明； (2)求函数 在区间 上的值城． 一、单选题 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数 ， .若 成立，则下列论断中正确的 是（ ） A．函数 在 上一定是增函数； B．函数 在 上一定不是增函数； C．函数 在 上可能是减函数； D．函数 在 上不可能是减函数. 2．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、解答题 3．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数 ， (1)求该函数的定义域； (2)证明该函数在 上单调递减； (3)求该函数在 上的最大值和最小值. 4．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 过点 ． (1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 在 上的最大值和最小值． 5．（2024高三·全国·专题练习）对于函数 . (1)探索函数 的单调性； (2)是否存在实数 使函数 为奇函数？ 6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数 . (1)求实数m的值； (2)判断并证明 在区间 上的单调性； (3)设 ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取 值范围. 【题型二 求函数的单调区间】【典例1】（单选题）（2023·海南海口·模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． 和 C． D． 和 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的单调递减区间为（ ） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 2．（22-23高三上·甘肃兰州·开学考试）函数 的单调增区间是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数 在区间A上是减函数，那么区间A是 . 5．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数 的单调递减区间为 . 【题型三 复合函数的单调性】求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 【典例1】（单选题）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． 和 D． 2．（2023高三上·全国·专题练习）函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东湛江·开学考试）已知函数 ，则 的增区间为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数 的单调递减区间是（ ）A． B． C． D． 5．（23-24高三上·辽宁锦州·阶段练习）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ） A． B． C． D．y＝|x－ | 6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实数a的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型四 函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小）】 1．比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同 一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉 “f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间 比较求参数． (2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 【典例1】（单选题）（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（单选题）（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（单选题）（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 是 上的偶函数，且 在 上单调递增，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 一、单选题1．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 （ ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，在区间 上单调递减，则正实数 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则使得 成立的正实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知 在 上单调递减，且 ，则下列结论中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知 为 上的减函数，则（ ） A． B． C． D． 8．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的 取值范围是 10．（22-23高三上·江西·期中）已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是 . 11．（23-24高三上·上海静安·期末）不等式 的解集为 . 12．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ． 【题型五 求函数的最值（值域）】 求函数最值的五种常用方法【典例1】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 过点 ． (1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 在 上的最大值和最小值． 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数 在 上是增函数且最小值5，那么 在区间 上是 （ ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 在区间 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D．4．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数 ， 不存在最小值，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 . 6．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）函数 ， 的值域为 7．（2024·湖北黄石·三模）设 ， ，若 ，则 的最小值为 ，此时 的值为 . 三、解答题 8．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 (1)若 为偶函数，求 在 上的值域； (2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围.