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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 07 练 函数的单调性与最值（精练）
1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
3．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·广西·二模）下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.
【详解】对于A， ，其定义域为 ，不符合题意；
对于B， ，在 上为减函数，不符合题意；
对于C， ，在 上单调递减，不符合题意；
对于D， ，在 上单调递增，符合题意；
故选：D.
2．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）.
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用导数判断 的单调性，结合单调性比较大小.
【详解】因为 在 上恒成立，可知 在 上单调递增，
又 ，所以 .
故选：D.
3．（23-24高二下·四川·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】由 ，则 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
令 ，则 是增函数，
又 在 上单调递减，
所以 的单调递减区间是 .
故选：A.
4．（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得.
【详解】因 ，即 ，
又 ，即 ，而 ，即 ，
故 .
故选：A.
5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数 是定义在 上的增函数，则满足 的
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 是定义在 上的增函数，
则由 ，得 ，
解得 ，即 ，
故选：D
6．（23-24 高二下·北京·阶段练习）下列函数 中，满足“任意 ，且 ，都有
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知： 在 内单调递减，结合选项分析判断.
【详解】由题意可知： 在 内单调递减，对于选项A：因为 在 内单调递减，
可知 在 内单调递减，故A正确；
对于选项BCD：此时 在 内单调递增，故BCD错误；
故选：A.
7．（23-24高三上·云南大理·期中）若对 ，使得 （ 且 ）恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分 与 两种情况，对不等式变形后，结合函数单调性求出最值，从而得到实数 的取值
范围.
【详解】若 （ 且 ）对任意的 都成立．
①当 时， ，由 变形得到 ，故 ，
因为指数函数 在 上单调递增，故要使得 对任意 成立，
只需 ，即得 ；
②当 时， 变形为 ，即得 ，
因为指数函数 在 上单调递减，要使得 对任意 成立，
只需 ，即 ，即得 ，
因此，结合题意可知要使得对 ，使得 （ 且 ）恒成立，
取 与 的交集，可知 ，故选：A．
8．（2023·全国·模拟预测）已知点 在直线 上，若 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． 有最大值 ，最小值4 B． 有最大值 ，没有最小值
C． 没有最大值，但有最小值4 D． 没有最大值也没有最小值
【答案】C
【分析】利用指数运算将 化简变形为可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式并结
合“ ”进行求解得到最小值，根据指数函数单调性得到没有最大值.
【详解】若点 在直线 上，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，此时 取得最小值4，
又因为 在 上单调递增，所以 时 ，
此时因为 ，所以 ，而 ，
所以 ，即没有最大值，
故选：C.
9．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得 ， 恒成立，结合给定单调性列式求解即得.
【详解】依题意， ， 恒成立，即 ， 恒成立，则 ，函数 有意义，则 ，解得 或 ，
显然函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增，
从而函数 在 上单调递增，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
二、多选题
10．（23-24高一上·浙江·期末）下列函数的值域为 且在定义域上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合基本初等函数的单调性及值域检验个选项即可判断.
【详解】根据幂函数的性质及函数图象的平移变换可知： 在 上单调递增且值域为 ，故A
符合题意；
根据指数函数的图象和性质可得： 的值域为 ，故B不符合题意；
根据对数函数的图象和性质可得： 在 上单调递增，值域为 ，故C符合题意；
根据反比例函数的图象和性质可知： 在 和 上单调递增，但在定义域 上
不单调，故D不符合题意.
故选：AC
11．（23-24高一下·甘肃定西·开学考试）设函数 （ ，且 ），若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【分析】利用 求得 的解析式，从而得到 的奇偶性与单调性，从而得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 （负值舍去），则 ，
易得 是偶函数，且在 单调递减，在 单调递增，
故 ， ， ，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
12．（23-24高一上·安徽·期末）已知 ， 为实数，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用函数单调性和反例可得答案.
【详解】对于A， ，而 ，故A不正确；
对于B，因为 为减函数， ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 为增函数， ，所以 ，故C正确；
对于D， ，而 ，故D不正确.
故选：BC.
13．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数 的最小值为 ，则 的值为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】求出函数的对称轴，分 、 、 三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出
参数的值.
【详解】函数 开口向上，对称轴为 ，
若 ，即 时 ，解得 或 （舍去），
若 ，即 时，函数在 上单调递减，所以 ，解得 ，
若 ，即 时，函数在 上单调递增，所以 ，解得 （舍去），
综上可得 或 .
故选：BD
三、填空题
14．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知 ,则函数 的最大值与最小值的和为
．
【答案】16
【分析】根据对勾函数的性质求解即可.
【详解】解：由对勾函数的性质可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以 .
故答案为：
15．（2024高一·全国·专题练习）函数 的单调区间为
【答案】增区间为 和 ，无单调递减区间，
【分析】分离常数，即可求解.
【详解】 ，所以 的单调递增区间为 和
故答案为：单调递增区间为 和 ，无单调递减区间，
16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数 ，则当 时； 的最大值为 ．
【答案】9
【分析】将函数 分离常数可得 ，再由反比例函数性质可得当 时， 取最
大值9.
【详解】易知 ，
所以 ，
由反比例函数性质可知当 时， 取最大值， ；
故答案为：9
17．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）已知函数 在区间 上具有单调性，则实数a的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】分类讨论求得 的单调区间，由已知可得 或 ，求解即可.【详解】当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
由函数 在区间 上具有单调性，
可得 或 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
18．（23-24高二下·上海金山·期中）已知函数 ，则不等式 的解集为
.
【答案】
【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.
【详解】当 时， 为增函数，且 ，
当 时， 为增函数，且 ，
则 在 上 为增函数，
则不等式 等价为 ，
即 ，解得： ，
即不等式的解集为 .
故答案为： .
19．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性求出 在 上单调递减，再由 在 上单调递减，得到，进而求得a的取值范围.
【详解】令 ，则 .
因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在R上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 在 上单调递减，
所以有 ，解得 .
故答案为：
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 ，若 为假命题，则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据全称命题的真假可知 为真命题，由此构造函数
，结合单调性求得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知命题 为假命题，
则 为真命题，
设 ，则 ，
由于 在R上单调递增，故 在 上单调递减，
则 ，故 ，
故答案为：21．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知 ， ， ，则 的取值范围为
.
【答案】
【详解】换元令 ， ，整理得 ，结合二次函数分析求解.
【分析】令 ， ，则 ， ，
可得 ，即 ，解得 ，
则 ，
因为 开口向下，对称轴为 ，
可知 在 上单调递增，且 ，
可知 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
22．（2024高一·全国·专题练习）已知二次函数 的图象过点 ，且不等式 的解集
为 .
(1)求 的解析式；
(2)设 ，若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】
（1）设 ，代入点的坐标求出 的值，即可求出函数解析式；
（2）首先表示出 ，从而确定其对称轴，依题意得到 或 ，解得即可.
【详解】（1）
因为不等式 的解集为 ，
所以 和 为关于 的方程 的两根，且二次函数 的开口向上，
则可设 ， ，
即 ，
由 的图象过点 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 .
（2）
因为 ，对称轴 ，
因为 在 上是单调函数，所以 或 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围 .
23．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知偶函数 的定义域为
， .
(1)求实数 的值；
(2)判断 的单调性，并给出证明.【答案】(1)
(2) 在R上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数为偶函数，得到 ，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数
的值；
（2）利用定义法求解函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）偶函数 的定义域为 ，
有 ，解得 ，
且 ，即 ，
故 ，解得 ；
（2） 单调递增，证明如下：
由（1）知， ，定义域为R，
设 ，
则
，
易得 ， ， ，则 ，
即 ，所以 在R上单调递增.
24．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值和最小值；(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)最大值为170，最小值为
(2)
【分析】（1）换元后得到 ， ，求出最值；
（2）转化为 ，只需 ，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到
，求出答案.
【详解】（1）令 ，
故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又 ， ，
故 的最大值为170，最小值为 ；
（2） ，即 ，
令 ，故 在 上有解，
，只需 ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，故 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象经过点 得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.
【详解】由题意知 ，解得 ，所以 ，其在 上单调递增，
又因为 ，所以函数 为奇函数， ，
所以不等式 可化为 ，
于是 ，即 ，解得 或 .
故选：C．
2．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A【分析】根据等式关系构造函数 ，由其单调性可得 ，于是结合基本不等式可得
的最大值.
【详解】由题 ，构造函数 ，则 ，
显然 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ， 时等号成立.
所以 的最大值为0.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某
些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用
函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌
握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解
题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】 ，定义域为 ，又 ，故 为偶函数；
又当 时， 均为单调增函数，故 为 上的单调增函数；
又 ，故当 时， ，则此时 为 上的单调增函数，故 时，为单调减函数；
，即 ，则 ，即 ， ，
也即 ，解得 .
故选：A.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得 成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， .
综上可得函数 的最小值为 .
因为 ，使得 成立，
所以 ，解得： 或 .故选：C.
5．（2024·全国·模拟预测）命题 ，命题 ：函数 在 上单
调，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题 求出 的取值范围，再判断充分性和必要性即可.
【详解】设 ，则 可化为 ．
充分性：当 时，函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所
以 在 上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所以
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 在 上恒
成立，所以 ，则 ，此时函数 在 上单调递减．
综上可知，当函数 在 上单调时， 或 ，因此必要性不
成立．所以 是 的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，
体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题 为真命题时，参数 的取值范围，对
参数 进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点.二、多选题
6．（2023·云南昆明·模拟预测）设偶函数 在 上单调递增，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用函数的单调性、奇偶性分析运算即可得解.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ；
又因为偶函数 在 上单调递增，则 ，
所以 ， ，
且由函数 为偶函数知 在 上单调递减，故
对于选项A和B，∵ ， 在 上单调递减，
∴ ，故A错误，B正确；
对于选项C和D，∵ ， ，函数 为偶函数，
在 上单调递减，
∴ ，故C正确，D错误.
故选：BC.
7．（23-24高三上·贵州·开学考试）已知函数 ， ，若对任意 ．及对任
意 ，都有 ，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】CD【分析】因为对任意 及对任意 ，都有 ，所以 ，根据 以
及 解析式的结构分别求出最小值和最大值即可.
【详解】当对任意 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以在
上 ；
又 ，
当 ，即 时，在 上 ，由 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 时，在 上 ，由 ，解得 ，所以 ；
综上可知，实数a的取值范围是 ；
故选：CD．
8．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数 且 在区间 上单调递减，
则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得 的单调性，由此可得 的大致图象；分别在 和
的情况下，根据复合函数单调性可确定 的单调性，结合 的图象可构造不等
式组求得 的范围.
【详解】令 ， ，
，当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得： 或 ，
的大致图象如下图所示，
当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
，解得： ；
当 时，若 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
或 ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 ， 可能的取值为 和 .
故选：AC.
三、填空题
9．（2022高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，确定 由 复合而成，判断
这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 ，令 ，则 ，
则 即由 复合而成，
由于 在 上单调递减，
故要求函数 的单调递减区间，
即求 的单调递增区间，
而 的对称轴为 ，
则 的单调递增区间为 ，
则函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
10．（2024高三·上海·专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集是
【答案】
【分析】
首先根据函数 的图象判断函数的单调性，根据单调性求解不等式.
【详解】
作出函数 的图像如图所示，由图可知，函数 在R上单调递增，因为 ，
所以 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故答案为：
11．（2024·全国·模拟预测）设 ，则函数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】平方后，设 ，得到 ， ，根据函数单调性得到最值，得到答
案.
【详解】设 ， ，两边平方得 ．
设 ，两边平方得 ，
则 ，
由于 ， ，则 ， ，
又由于 在区间 上单调递增，
所以当 时, 的最大值为 ，
则 在区间 上的最大值为 ．
故答案为：
12．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数①若 ，则 的最小值为 .
②若 有最小值，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得
存在最小值则最小值一定在 段，结合二次函数的性质即可得.
【详解】①当 时， ，
则当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ；
②由 ，则当 时， ，
由 有最小值，故当 时， 的最小值小于等于 ，
则当 且 时，有 ，符合要求；
当 时， ，故不符合要求，故舍去.
综上所述， .
故答案为： ； .
四、解答题
13．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知 且 ，函数 ， ．
对任意 ， 恒成立，且 ．
(1)求实数b，c的值．(2)若 在 上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 可知 的对称轴为 ，结合 列式求解即可；
（2）根据对数的定义可知 在 上恒成立，可得 ，且 ，再结合复合函数单
调性分析求解.
【详解】（1）因为 ，可知 的对称轴为 ，
且 ，则 ，解得 .
（2）由（1）可知： ，则 ，
由题意可知： 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
可得 ，且 ，
可知 开口向上，对称轴为 ，
即 在 上是严格增函数，
若 在 上是严格增函数，则
所以实数a的取值范围 .
14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，记 是 在区间 上的最
大值．
(1)当 且 时，求 的值；(2)若 ，证明 ．
【答案】(1) 或 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由 在 上的最大值在 的端点处或对称轴处取得，分类讨论求出 的值并检验即
可；
（2） ，由 ，求出 的取值范围即可证明结论.
【详解】（1） 时， ，易知， 在 上的最大值在 的端点处或对称轴处取得．
而 ，所以 或
若 ，解得 或 ，此时， 或 ，
当 ， 在 上单调递增，最大值为 ；
当 时， 在 上单调递增，最大值为 ；
若 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，最大值为 ；
当 时， ， 在 上单调递增，最大值为 ，
综上， 或 ．
（2）由 ，得 ，即 ，
所以 ，且 ，所以 ，
而 ，所以 ，即 .15．（23-24高三上·上海松江·期中）设函数 且 .
(1)若 ，判断 的奇偶性和单调性；
(2)若 ，求使不等式 恒成立时实数 的取值范围；
(3)若 ， 且 在 上的最小值是 ，求实数 的值.
【答案】(1)奇函数，单调递增；
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的结论即可判断；
（2）由 解得 ，由（1）知 为减函数且为奇函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式
等价于 ，利用二次函数恒成立即可求解；
（3）由 可得 ， ，令 ，则根据其单调性可得
， ，对称轴为 ，分别讨论 和 时， 的最小值即可求解．
【详解】（1） 的定义域为 ，关于原点对称；
又因为 ，所以 是 上的奇函数；
，因为 ，所以 ，
又因为 均为在 上的增函数，则 也为在 上的增函数.
（2） ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由（1）知 在 上单调递增的奇函数，原不等式 等价于 ，
所以 ，即 恒成立，
所以 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是： .
（3） ，即 ，
解得： 或 （舍）
所以 ，
令 ，则 在 单调递增，
所以 ，
，对称轴为 ，
当 时， ，解得： 或 （舍）
当 时， ，
解得： 不符合题意，
综上所述： ．
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·安徽淮北·二模）当实数 变化时，函数 最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D【分析】先对内函数 对应的方程的根的情况分类讨论，得出 时，结果为16，对于 时，求
出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【详解】若 ，即 时， ，其对称轴为 ， ，
此时，因 ，故 的最小值为16；
若 ，由 可得 ，
（Ⅰ）如图1，当 时，即 时， 在 上递减，
在 上递增，
在 上递减，在 上递增，又 ，
① 当 时， ，故 ，而 在 上单调递
减，则此时， ；
② 当 时， ，故 ，而 在 上单调
递增，则此时， .（Ⅱ）如图2，当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则此时 ，而 在 上单调递减，则 .
综上，函数 最大值的最小值为8.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.
解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用
函数的单调性，即可求其最值.
2．（2024·云南·二模）已知函数 的定义域为 ，且 若
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当 时，判断函数单调性，由单调性可知 ；当 时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知 单调递增，可得 ，然后将原不等式转化为 即可得
解.
【详解】当 时， ，
由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
所以 ；
当 时， ，
因为 在 上单调递增， 为增函数，
所以 在 上单调递增，
又 在 上为增函数，所以 在 单调递增，
所以 .
综上， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号.
所以不等式 ，
解得 且 且 ，即原不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可.
二、多选题
3．（2024·浙江·模拟预测）已知a，b为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【分析】对于A选项，配成完全平方后验证取等条件即可判断A选项正误；
对于B选项，根据均值定理中的“1”的妙用即可判断B选项正误；
对于C选项，将 代入，整理成二次函数，借助二次函数值域即可判断C选项的正误；
对于D选项，将 代入，整理成分式函数，借助分式函数值域即可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项， ，当且仅当 时等号成立，
当 时，由于 ，得 ，与 为正数矛盾，故 ，
即得 ，故A选项正确；
对于B选项， ， .又
，
当且仅当 ，即 时等号成立；故B选项不正确；
对于C选项， ， ， .
，
，当且仅当 时等号成立，
，故C选项正确；
对于D选项， ， ， .
，
当 时， ，
，得 ，即 ，故D选项正确.
故选：ACD三、填空题
4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数 ，若关于x的不等式 的解
集为 ，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得函数 在 上单调递增，利用单调性可得 恒成立当且
仅当 恒成立，故只需 ，进一步利用二次函数最值即可得解.
【详解】由题意当 时， 单调递增，且 时， ，当 时，
单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由题意 在 上恒成立，
所以当且仅当 ，即 恒成立，故只需 ，
而 的最小值为 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：关键是利用单调性、分离参数法将原问题等价转换为 ，由此即可顺利得
解.5．（2024·吉林长春·模拟预测）记表 示 在区间 上的最大值，则
取得最小值时， .
【答案】 /0.125
【分析】根据题意， 取得最小值，即为 在区间 上的最大值取得最
小值，先用分段函数表示 在区间 上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可.
【详解】 取得最小值，
即为 在区间 上的最大值取得最小值，
因为 的对称轴 ，且 ，
所以 的最大值为 或 ，
当 时，即 ，
所以 ，
当 时， 取最小值，最小值为 .
故答案为： .【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意， 取得最小值，
即为 在 的最大值取得最小值，所以先要将 的最大值表示出来，再用分段函数的
性质即可.
