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专练 03（选择题-压轴）
1．已知 ， ， ， ，则下列关系正确的
是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意， ，由于 ，函数 为减函数，故
.故选C.
2．（2020·全国高一月考）对于函数 ，给出下列选项其中正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上单调递增D．函数 有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】
由两角和的正弦公式化简 ，根据正弦型函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由 ,当 时， ，所以 不是对称中心，A错误；
函数 的最小正周期为 ,所以B错误；
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
， 函数 有最大值，有最小值，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，最值，对称中心，属于中档题.
3．设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【详解】
令2x=3y=5z=m，分别可求得2x= = ，3y= = ，5z= = ，分别对
分母乘以30可得，30log =log 215，30log =log 310，30log =log 56，
m m m m m m
故而可得 ⇒log
m
310>log
m
215>log
m
56⇒3y<2x<5z.4．已知函数 ，如果方程 有三个不相等的实数解 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出函数 的图像，转化为 与 有三个交点，求出 的范围以及 的关系，不妨设
，将 转化为关于 的函数，即可求出结论.
【详解】
作出函数 图像，如下图所示：
方程 有三个不相等的实数解 ，
不妨设 ， 与 有三个交点，所以 时，且
，
，令 是减函数，所以 ，即 的取值范围是 .
故选:D.
【点睛】
本题考查函数零点有关的取值范围，注意函数图像的应用，确定参数范围转化为函数的值域，属于中档题.
5．（2019·湖北高三月考（理））函数 的图象是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据
此分段函数的性质来确定符合题意的答案．
【详解】
解：由 ,即
由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线 的一部分,
考察四个选项,只有A选项符合题意.故选:A.
【点睛】
本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而
指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题.
6．（2020·黑山县黑山中学高二月考）已知函数 在定义域 上是减函数，且
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解.
【详解】
已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，
故选：B
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.
7．（2020·江苏宝应中学高三开学考试）已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求得函数 在 上的解析式，进而可判断出函数 在 上单调递增，由
，可得出不等式 对任意的实数 恒成立，可得出关于实数 的
不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
由于函数 为 上的奇函数，则 .
当 时， ，则 .
所以，对任意的 ， ，则函数 为 上的增函数.
由 可得 ，即 ，
由题意可知，不等式 对任意的实数 恒成立.
①当 时，则有 ，在 不恒成立；
②当 时，则 .综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：A．
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.
8．已知函数 ，对任意的 ， 恒成立，则x的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据函数的解析式判断出函数的单调性和奇偶性，即可将不等式 变形得到关于
的不等式 ，构造函数 ，即可列出不等式组解出 的取值范围．
【详解】
因为函数 ， ，易知函数 为 上单调递增的奇函数，所以
，即 对任意的 恒成立，设
，只需 即可．
解不等式组 ，解得 ．故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及更换主元法的应用，意在考查学生的转化能力，属
于中档题．
9．（2019·山东寿光现代中学高二月考）正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据均值不等值，把已知条件转化成关于 的不等式，解不等式即可
【详解】
解：因为 是正数，所以 ，
即 ，当 ，即 时取等号，所以 ，
即 ，解得： （舍去）或 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查均值不等式及解一元二次不等式，要注意均值不等式的条件（一正、二定、三相等）.
10．血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（ ）
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
根据图象，结合题意，逐个判断即可．
【详解】
解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作
用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于
2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故选： ．【点睛】
本题考查了函数图象的性质和对新定义函数的理解．难点是充分理解题意，根据图象解决实际问题．
11．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
令 ，则 ，易证 为奇函数，由 求出
，再利用奇函数的性质即可求得 .
【详解】
令 ，则 ，
由 知函数 为奇函数，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，对数换底公式的推论，属于中档题.
12．（2020·黑龙江大庆实验中学高一开学考试）在 上定义运算 ， 时，不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
转化条件得 在 上有解，利用基本不等式求得 在 的最大值即可得解.
【详解】
由题意可得 在 上有解，
所以 即 在 上有解，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 在 的最大值为 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·全国高三月考（文））已知二次不等式 的解集为，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由一元二次不等式的性质可得 ， ，由基本不等式得出 的范围，将 表示为关于
的二次函数即可得解.
【详解】
∵二次不等式 的解集为 ，
∴ ，即 ， ，∴ ，当且 时，等号成立，
∴ ，
∴当 时， 最小，最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：
（1）由一元二次不等式解的特征得出 ；
（2）由基本不等式得出 的范围；（3）将所求结果表示为关于 的二次函数.
14．（2020·重庆南开中学高三月考（理））已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，结合导数和二次函数的性质可判断两函数的单调性，由单调性的性质从而
可求出 的单调性；由奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，从而可得 ，进而可选出正确答
案.
【详解】
解：设 ，由 ，当 时， ，
当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
由二次函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 为偶函数.由 可知，
，即 ，解得 ，
故选：D.【点睛】
本题考查了函数单调性的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了转化的思想，属于中档题.
15．（2020·上海格致中学高一月考）已知关于x的不等式组 仅有一个整数解，
则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出第一个不等式的解，讨论 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个
不等式解的端点的范围，从而得出 的范围．
【详解】
解：解不等式 得 或 ，
解方程 得 ， ．
（1）若 即 时，不等式 的解集是 ，
若不等式组只有1个整数解，则 ，解得： ，
（2）若 即 时，不等式 的解集是 ， ，若不等式组只有1个整数解，则 ，解得： ，
3) (4
综上， 的取值范围是 ， ， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．
16．（2020·湖北荆州中学高一月考）对于任意的实数 表示 中较小的那个数，即
已知函数 设 ，下列说法
正确的是（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 的最大值是2，无最小值
C． D． 的图像关于 轴对称
【答案】B
【分析】
首先弄清楚 的含义，换成 相当于分段函数，再根据函数的性质可逐项
判断排除.
【详解】
由题意得 ，即，其图象如下
A. 的单调递减区间是 ，错误；
B. 的最大值是2，无最小值，正确；
C. ，错误；
D. 的图像不关于 轴对称，错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了对函数新定义的理解，考查了函数的性质.
17．（2019·江苏高一期中）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】
由题意得出 在 上恒成立，可得出 ，由此可解出实数 的取值范围.【详解】
函数 的定义域为 ， ，得 恒成立，
得 恒成立，即判别式 ，则 ，得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用函数的定义域求参数，同时也涉及了指数不等式以及二次不等式恒成立问题，考查运算求解
能力，属于中等题.
18．（2020·全国高一单元测试）已知函数 的定义域是 ,且满足 ,
,如果对于 ,都有 ,那么不等式 的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算得到 ，不等式化简为 ，根据函数定义域和单调性解得答案.
【详解】
令 ，得 ，即 ;
令 ， ，得 ，即 ;
令 ，得 .由 ，可得 ，
又因为函数 的定义域是 ，且对于 ，都有 ，函数单调递减.
所以 ，即 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .
故选：
【点睛】
本题考查了利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
19．（2019·河北新乐市第一中学高三月考）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先判断函数为偶函数，再分段讨论函数值的情况，即可判断.
【详解】
解：函数的定义域为 ，
因为 ，所以 为偶函数，所以 的图像关于 轴对称，
当 时， 所以 ，
当 时， 所以 ，当 时，
故选：C
【点睛】
此题考查了函数图像的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于中档题.
20．奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先利用奇函数定义与 得出 与 同号，然后由奇函数定义求出 （1）
，最后结合 的单调性解出答案．
【详解】
由奇函数 可知 ，即 与 同号，
而 （1） ，则 （1） ，不合题意，又 在 上为增函数，则奇函数 在 上也为增函数，
当 时， （1） ，得 ，不满足；
当 时， （1） ，得 ，满足，
当 时， ，得 ，不满足；
当 时， ，得 ，满足；
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
【点睛】
本题综合考查奇函数定义与利用单调性解不等式，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．
21．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用换元法，将根式转化 ，原函数即可转化成关于t的二次函数，注意t的取值范围，可求解
值域.【详解】
令 ，且 ，则 ，函数转化为
由 ，则 ，即值域为
故选：A.
【点睛】
函数解析式中含有根式的，可令根式等于t，进行换元，转化成关于t的二次函数，利用二次函数的性质可
求值域.
22．若函数 是定义在 上的减函数，又 是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得 ，根据正弦函数的单调性，得出
的大小关系，即可求解.
【详解】
是锐角三角形的两个内角， ，在 为增函数， ，
又函数 是定义在 上的减函数， .
故选：D.
【点睛】
本题考查抽象函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解
题的关键，属于中档题.
23．设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 得到 ，讨论 的范围解得答案.
【详解】
函数 ， 得到
当 时： 解得 ，即
当 时： 解得 ，即综上所述：
故答案选D
【点睛】
本题考查了分段函数的计算，分类讨论是一个常用的方法.
24．（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）已知函数 ， 若对任
意 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
问题转化为 ，求出 在 上的最小值，而 为 或 ，解不等式
组 ，即可求解.
【详解】
，当 时最小值为-1
对任意 ，总存在 ，使得 成立，
只需 ，即 ，
而 为 或 ，只需 ，解得 .
故选:A
【点睛】
本题考查不等式存在成立和恒成立问题，转化为函数的最值是解题的关键，属于中档题.
25．（2020·内江市市中区天立学校高一月考）已知函数 ，若对任意 、 、 ，总
有 、 、 为某一个三角形的边长，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据 ，分 和 两种情况求得函数的值域，然后再由
对任意 、 、 ，总有 、 、 为某一个三角形的边长，转化为
，对任意 、 、 恒成立求解.
【详解】
因为 、 、 为某一个三角形的边长，
所以 ，对任意 、 、 恒成立，函数
当 时， 在R上递减，函数的值域为 ，
所以 且 ，所以 ，又 ，所以 ；
当 时， 在R上递增，函数的值域为 ，
所以 且 ，所以 ，解得 ，所以 ；
综上 的取值范围是 ，故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
26．（2020·湖北高三月考）若 ，设函数 的零点为 的零点
为 ，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象
之间的关系求出 ， 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．【详解】
函数 的零点是函数 与函数 图象交点 的横坐标，
函数 的零点是函数 与函数 图象交点 的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线 对称，直线 与直线 垂直，
故直线 与直线 的交点 即是 ， 的中点，
， ，
当 等号成立，而 ，故 ，故所求的取值范围是 ， ．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结
合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.
27．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数
， 与函数 ， 即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造
“同族函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义
域上的单调性即可.
【详解】
对A： 在定义域 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A选项不正确；
对B： 在 递增，在 递减，在 递减，在 递增，能构造“同族函
数”，故B选项正确；
对C： 在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C选项不正确；
对D： 在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D选项不正确.
故选：B.
【点睛】
本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数
的单调性的知识点，属于基础题.
28．设 ，若 是 的最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二次函数的性质，先求出当 时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．
【详解】解：当 时， ，
此时函数的最小值为 ，
若 ，则 ，此时 不是 的最小值，此时不满足条件，
若 ，则要使 是 的最小值，则满足 ，即 ，
解得 ， ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数最值的求解，根据不等式的基本性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．
29．设正实数 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当且仅当 时成立，因此
所以
【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思
想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是 中的是否为定值，本题通过 得以实现.
30．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平.他在著作
《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长 ，求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并大斜
幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把
以上这段文字写成公式，即为 .已知三角形 的三条边长为 ，
其面积为12，且 ，则 周长的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】
根据题意利用面积公式求出 的值,再将三角形 的周长用 表示,利用不等式放缩,可得出三角形周长
的最小值.
【详解】
解：由已知 ,可得 ,
两边平方解得 ,
又 ,可得 ,三角形 周长 ,
取等条件 ，周长的最小值为16,
故选C.
【点睛】
本题考查了利用秦九韶三角形面积公式解三角形的问题,以及不等式在最值中的应用,属于中档题.
