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2024～2025 学年度第二学期期中重点校联考高一数学
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1． 为虚数单位，若 ，则
A．1 B． C．2 D．
2．在ΔABC 中， a,b 是角 A,B 的对边， a=2,b=√6,A=45° ，则角B的值为
A．
60°
B．
150°
C．
30°或 150°
D．
60°或 120°
3．设 x,y∈R ，向量 ⃗a=(x,1) ， ⃗b=(1,y) ， ⃗c=(2,−4) ，且 ⃗a⊥⃗c ， ⃗b//⃗c ，则x+y=
A．0 B．1 C．2 D．3
4．一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为
45°，腰和上底长均为1的等腰梯形
则该四边形原来的面积为
√2+2
A．
2+√2
B．
8
3√2 √2+1
2 2
C． D．
5．若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍
A．9 B．27 C．81 D．7296．已知甲船位于灯塔A的北偏东 70°方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏西
50°方向，若两船相距
√19
海里，则乙船与灯塔A之间的距离为
2√3
A． B．2 C． D．5
7．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2的半圆面，其内接正四棱柱的高为 ，则此正
四棱柱的体积是
A． B． C． D．
8．四边形 ABCD 是边长为1的正方形，延长 CD 至E，使得 C⃗D= ⃗DE ，若点F为线段AE上
的动点，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
ΔABC a,b,c A,B,C
9．在 中， 分别是角 的对边，下列四个命题中正确的个数为
①若bcosC+ccosB=b，则ΔABC
是等腰三角形；
②若acosA=bcosB，则ΔABC是等腰三角形；
③若a2 +b2 −c2 >0，则ΔABC
一定是锐角三角形；
④在ΔABC 中，A=60°， a=√6 ，若ΔABC 有一个解，则b的取值范围是 b=2√2 或0− 且λ≠2
2
12．
13．
． ，
14
三、解答题（本题共5小题，共59分）
15．（本小题满分10分）
{m≠−1且m≠2¿¿¿¿
（1）若z是纯虚数，则
解得 ． ………………………5分
{m＜−1或m＞2¿¿¿¿
2）
（
解得 ． ………………………10分
16．（本小题满分12分）
（1）因为 ，由正弦定理可得 ， ………………………2分
整理得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 ． …………………5分
（2）由正弦定理知 ，∴ ，∴ …………6分
又 ，∴ ，∴ ， ……………………7分
……………………9分
∴ ． ……………………10分
∴
……………………12分
17．（本小题满分12分）
（1）因为 ，
所以， ； ………………………2分
……4分
（2）①因为 ，所以 ， …………6分
所以 ，由 ，可得 ，即BC=3 ………………8分② 方向上的投影向量为
………………10分
…………………12分
18．（本小题满分12分）
（1）设 的高为
1
S = ×√3×2=√3
△ABC 2 …………………2分
V
ABC−A B C 4√6
h= 1 1 1= =4√2
S △ABC √3 …………………4分
V =V
（2）
C−AEF F−ACE
1
= ⋅S ⋅AF
3 △ACE
1 1 1
= ⋅ S ⋅ AA
3 2 △ABC 2 1
…………………6分
1
= V
12 ABC−A B C
1 1 1
1
= ×4√6
12
√6
=
3
…………………8分
（3）设正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，上底面中心为 ，下底面中心为 ，
连接 ，则球 的球心 在 的中点上
球 切棱 于 ，切棱 于
由题意 ，①
因为 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ② …………………10分
联立①②可得 ，所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 …………12分
19．（本小题满分13分）
（1）①cos2A=sin2B+cos2C−sinAsinB
⇒1−sin2A=sin2B+1−sin2C−sinAsinB
1
⇒b2 +a2 −c2 =ab⇒cosC=
2 ………………2分
π
∵0
