文档内容
押新高考 17 题
导 数 综 合 应 用（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第19题
2023年新高考Ⅱ卷第22题
2022年新高考Ⅰ卷第22题 导数大题难度中等或较难，纵观近几年的新高考试题，主要
求极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、
2022年新高考Ⅱ卷第22题
不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高
导数综合
2021年新高考Ⅰ卷第22题 考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题
方向将继续以导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证
2021年新高考Ⅱ卷第22题
明问题为背景展开命题，难度会降低．
2020年新高考Ⅰ卷第21题
2020年新高考Ⅱ卷第22题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
1. 导函数与原函数的关系
单调递增， 单调递减
2. 极值
（1）极值的定义
在 处先↗后↘， 在 处取得极大值
在 处先↘后↗， 在 处取得极小值
3. 两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
⇔(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
4. 常用函数不等式：
① ，其加强不等式 ；
② ，其加强不等式 .
③ ， ，
放缩
，
5. 利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）转化为证不等式 （或 ），进而转化为证明 （ ），因此只需在所给区间内判断 的符号，从而得到函数 的单调性，并求出函数 的最小值即可.
6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.1．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 处的切线为 轴．
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间．
3．（2024·广东韶关·二模）已知函数 在点 处的切线平行于 轴．
(1)求实数 ；
(2)求 的单调区间和极值．
4．（2024·广东·一模）已知 ，函数 .
(1)求 的单调区间.
(2)讨论方程 的根的个数.
5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值．
6．（2024·江苏徐州·一模）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：(2)若直线 与 的图象相切，求a的值．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
8．（2024·辽宁·一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线 的方程；
(2)讨论 的极值.
9．（2024·辽宁·二模）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间和极值.
10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求证： 的极大值恒为正数．
11．（2024·广东广州·一模）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间和极小值；
(2)证明：当 时， .
12．（2024·湖南·二模）已函数 ，其图象的对称中心为 .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的零点个数.
13．（2024·湖南邵阳·二模）设函数 .(1)求 的极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的最大值.
14．（2024·山东济南·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)讨论 极值点的个数.
15．（2024·山东青岛·一模）已知函数 ．
(1)若 ，曲线 在点 处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论 的单调性．
16．（2024·福建漳州·一模）已知函数 ， 且 ．
(1)证明：曲线 在点 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 的单调性．
17．（2024·江苏南通·二模）设函数 .已知 的图象的两条相邻对称轴
间的距离为 ，且 .
(1)若 在区间 上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线 在 处的切线，证明：l与曲线 有唯一的公共点.
18．（2024·重庆·一模）（1）已知函数 ，（ 为自然对数的底数），记 的最
小值为 ，求证： ；
（2）若对 恒成立，求 的取值范围．19．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ， ，
(1)求曲线 在点 处的切线方程：
(2)当 时，求 的值域．
20．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
21．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 是其定义域上的增函数；
(3)若 ，其中 且 ，求实数 的值．
23．（2024·山东枣庄·一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
24．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ．(1)讨论 的单调性；
(2)求证： ；
(3)若 且 ，求证： ．
25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
26．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)如果1和 是 的两个极值点，且 的极大值为3，求 的极小值；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)当 时，且函数 在区间 上最大值为2，最小值为 ．求 的值．
27．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值；
(2)若过原点可以作两条直线与曲线 相切，求 的取值范围．
28．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
(1)函数 ，求 的最小值 ；
(2)若 为函数 的两个零点，证明： ．
29．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求证： ；(2)函数 有两个极值点 ， ，其中 ，求证： ．
30．（2024·福建莆田·二模）已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)若函数 有两个零点 ．
①求 的取值范围；
②证明： ．
