文档内容
押新高考 16 题
立 体 几 何 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第18题
2023年新高考Ⅱ卷第20题
2022年新高考Ⅰ卷第19题 立体几何大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考
查空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离
立体几何 2022年新高考Ⅱ卷第20题 的计算等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
可以预测2024年新高考命题方向将继续以空间平行关系和
综合 2021年新高考Ⅰ卷第20题
空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开
2021年新高考Ⅱ卷第19题 命题．
2020年新高考Ⅰ卷第20题
2020年新高考Ⅱ卷第20题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）根据题意易证 平面 ，从而证得 ；
（2）由题可证 平面 ，所以以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角
坐标系，再求出平面 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据直角
三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的
基本关系计算可得.
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为 ，O是 中点，所以 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 .
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点， 为 轴， 为y轴，垂直 且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标
系 ，
则 ，设 ,所以 ，
设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ．
又点C到平面 的距离为 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作 ，垂足为点G．
作 ，垂足为点F，连结 ，则 ．
因为 平面 ，所以 平面 ，
为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．
由已知得 ，故 ．
又 ，所以 ．
因为 ，．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角 ，记 为 ， 为 ， ，
记二面角 为 ．据题意，得 ．
对 使用三面角的余弦公式，可得 ，
化简可得 ．①
使用三面角的正弦公式，可得 ，化简可得 ．②
将①②两式平方后相加，可得 ，
由此得 ，从而可得 ．
如图可知 ，即有 ，
根据三角形相似知，点G为 的三等分点，即可得 ，
结合 的正切值，
可得 从而可得三棱锥 的体积为 ．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在
于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加
深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、
直观、迅速.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证 平面 ，从而得到面 面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，建如图所示的空间坐标系，求出平面
、平面 的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .1. 空间中的平行关系
（1）线线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
2. 空间中的垂直关系
（1）线线垂直
（2）线面垂直的判定定理
一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
（4）面面垂直的判定定理
一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面
面垂直）
（5）面面垂直的性质定理
两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
3. 异面直线所成角
=
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
4. 直线 与平面所成角， ( 为平面 的法向量).
5. 二面角 的平面角
（ ， 为平面 ， 的法向量）.
6. 点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；
【详解】（1）取 中点 ，由正三棱柱性质得， 互相垂直，以 为原点，分别以 ，
所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 ，则 ，
则 ．
证明： ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）
由（1）可知 为平面 的一个法向量，设 平面 的法向量，
则 ,故 ，
令 ，得面 的一个法向量为 ，
设二面角 的值为 ，
则 ，所以，二面角 的正弦值为 ．
2．（2024·浙江·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 平
面ABCD， ，点E是线段AD的中点， .
(1)证明： //平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2) .【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ,根据条件证明 // 即得；
（2）先证明 平面 ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的
法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）
如图，连接 交 于 ，连接 ,由 是 的中点可得 ，
易得 与 相似，所以 ，
又 ，所以 // ，
又 平面 平面 ，所以 //平面 ；
（2）
因平面 平面 ，且平面 平面 ，由 ，点E是线段AD的中点可
得
又 平面 ，故得 平面 .如图，取 的中点为 ,分别以 为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
则 ， ，，则 ，.
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 ；
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 .
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
3．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ，点 在棱 上，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，
根据 得到证明；
（2）求出平面 的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出 .
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，，建立空间直角坐标系，
设 ，
∵ ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 得 ，故
，故 平面 ；
（2）平面 的一个法向量 ，
，
.
4．（2024·浙江·一模）在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是等边三角形，点 是
线段 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形 是菱形，可得 ；在 中，根据题意可证 ，又
是 的中点，得 ，即可得到结论.
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量，利用线面角公式即可.
【详解】（1）设 与 交点为 ，连接 ．四边形 是菱形， 是 的中点．
在 中， 是等边三角形， ．
在 中， 是 的中点， ．
又 平面 ， 平面 ．
（2）连接 ，
是等边三角形， 是线段 的中点，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ．
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角大小为 ，则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ，
，平面 平面 ， ，点 是 的中点.
(1)证明： .
(2)点 是 的中点， ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求四棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质和面面垂直的性质可得 平面 ，由线面垂直性质
可得结论；
（2）方法一：取 中点 ，作 ，由线面垂直的性质和判定可证得 平面 ，由线面角
定义可知 ，根据长度关系可构造方程求得 ，代入棱锥体积公式可求得结果；
方法二：取 中点 ，以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可构造方程求得
，代入棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1） 是 中点， ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
（2）方法一：取 中点 ，连接 ，作 ，垂足为 ，连接 ，
分别为 中点， ， ，又 ， ；
由（1）知： 平面 ， 平面 ， ；
平面 ， ， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
直线 与平面 所成角为 ， ，
设 ，
， ，
， ，
又 ，，解得： 或 ，
，
当 时， ；当 时， .
综上所述：四棱锥 的体积为 或 .
方法二：取 中点 ，连接 ，
分别为 中点， ， ，又 ， ；
由（1）知： 平面 ，
以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，过 作 轴 ，可建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，
， ，
， ， ， ， ，
， ， ；
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得： ， ， ；
，解得： 或 ，
，
当 时， ；当 时， .
综上所述：四棱锥 的体积为 或 .
6．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直，E，F分别为
BC，CD的中点，点G在棱AD上， ，直线AB与平面 相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：① ；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求直线BD与平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）选择条件①，利用线面平行的判定性质推理即得；选择条件②，利用平面的基本事实推理
即得.（2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.
【详解】（1）选择条件①，由 , 分别为 , 的中点，得 ，
又 平面 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
选择条件②，在 中， 为 中点，则 与 不平行，
设 ，则 ，又 平面 平面 ，
于是 平面 平面 ，又平面 平面 ，因此 ，
所以 , , 相交于一点.
（2）若第（1）问中选①，由（1）知， 平面 ，
则点 到平面 的距离即为 与平面 的距离，
若第（1）问中选②，由 , 分别为 , 的中点，则 ，
又 平面 平面 ，于是 平面 ，
因此点 到平面 的距离即为 与平面 的距离，
连接 , ，由 均为正三角形， 为 的中点，得 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
于是 平面 ，又 平面 ，则 ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， , ，设平面 的一个法向量为 ,则 ，令 ，得 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 与平面 的距离为 .
7．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，E为
PC的中点，点F在PA上，且 平面 ， ．
(1)若 平面 ，求 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】
（1）取 中点 ，连接 ，即可证明 ，即可得到 ，再由线面平行的性质得到
，即可求出 的值；
（2）取 中点 ，连结 ，取 中点Q，连结 ，即可证明 平面 ，建立空间直角坐标，
利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）
解法一：依题意得， 为正三角形，取 中点 ，
连接 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
又因为 为 的中点，所以 为 中点，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，即 ，
也即 ， ．
解法二：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由 ， 可知 ，
则 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，取 中点 ，连结 ，则 ，
取 中点Q，连结 ，则 ，
又因为 与 相交于平面 ，所以 平面 ，也即 平面 ，
所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空
间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ， ，
因为 平面ABC， 平面 ，
平面 平面 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
， ，
所以 ．
（2）
解法一：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
由 ， 可知 ，
则 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，取 中点 ，连结 ，则 ，
取 中点Q，连结 ，则 ，
又因为 与 相交于平面 ，
所以 平面 ，也即 平面 ，
所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ， ，
即 取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以 ，
记平面 与平面 夹角为 ， ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
解法二： 因为 ，又 平面 ，
则 平面 ，且 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，由 ， 可知 ，
则 为等腰直角三角形， ，
又因为EF与AC相交于平面PAC，所以 平面 ，
为等腰直角三角形， 为斜边 中点，
则 也为等腰直角三角形，即 ，
取 中点 ，则 ，所以 ，且 ，
连结 ， 平面 ，
又 平面 ，则 ， 为二面角 的平面角，
在 中，
则 ．
解法三：设点C在平面PAB的射影为N，则 平面PAB， 平面PAB，
所以 ，
过点N做 ，垂足为H，连结CH，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 为 的平面角，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，由 ， 可知 ，
则 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，取AC中点O，连结PO，则 ，
又因为EF与AC相交于平面PAC，所以 平面 ，
又 平面 ， 所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
因为 ，则 ，又 ，
所以 ，
在 中， ， ，
，
，
所以 ，
在 中， ， ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
8．（2024·河北·模拟预测）如图，正四棱台 有内切球 ，且 .(1)设平面 平面 ，证明 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）先证 //面 ，再根据线面平行的性质证明 // ，再证线面平行即可；
（2）以底面对角线交点为坐标原点建立空间直角坐标系，设出棱台的高为 ，根据 到平面 的
距离为 ，利用向量法求得 ，再求平面 与平面 的法向量，即可求得两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为 是正棱台，故 // ， 面 ， 面 ，
故 //面 ，又 面 ，面 面 ，故 // ，
又 面 ， 面 ，故 //面 .
（2）连接 ，设其交点为 ；连接 ，设其交点为 ，连接 ；
因为 是正棱台，故 三点共线，且 两两垂直，
故以 为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：设 ，
则 ，
又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
故 ；
由题可知，点 到平面 的距离为 ，又 ，
则 ，解得 ，故 ；
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
故 ；
则 .故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
9．（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF中，面 面 ， 为等边三角形，四边形
ABCD为正方形， ，且 ，H，G分别为CE，CD的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出 的值（不需要说明理由，保
留作图痕迹）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ，作图见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；
（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用
平面法向量求出面面角的余弦值；
（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.
【详解】（1）在正方形 中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
；
（2） 为等边三角形，设 中点为 ，∴ ，
又平面 平面 ，面 面 面 ，则 面 ，以 为坐标原点，分别以 为 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为 ，则 ，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
则 ，取 得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为
则 ，取 得 ，所以 ，
所以 ，
所以平面与 与平面 成角的余弦值为 ；
（3）如图所示：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 为平行四边形，故 ，
因为H，G分别为CE，CD的中点，所以 ，
故 ，即 共面，故 .
10．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P ABCD中，已知 ， ， ，
是正三角形，点M在侧棱PB上且使得 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若侧面 底面 ， 与底面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得 ，由线面平行的性质得 ，
根据三角形相似可得 ，即
（2）设AB的中点O，首先由已知得 底面ABCD，在 中过点M作 交AB于点F，得
底面ABCD，则 为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作 于点G，则是二面角 的平面角，根据条件求解即可
【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，
在 与 中，∵ ，∴ ，
由 ，得 ，又∵ 平面AMC，
而平面 平面 ， 平面PBD，
∴ ，
∴在 中， ，∴ ；
（2）设AB的中点O，在正 中， ，
而侧面 底面 ，侧面 底面 ，且 平面 ，
∴ 底面ABCD，
在 中过点M作 交AB于点F，
∴ 底面ABCD，
∴ 为CM与底面ABCD所成角，
∴ ，设 ，
则 ，∴ ， ，则在直角梯形ABCD中， ，
而 ，则 ，
在底面ABCD上过点O作 于点G，则 是二面角 的平面角，易得 ， ，
在梯形ABCD中，由 ，得 ，
在 中， ，∴ ．
11．（2024·辽宁·二模）如图，在直三棱柱 中， ，点 是棱
上的一点，且 ，点 是棱 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证．
（2）利用向量的夹角即可求解．
【详解】（1）因为直三棱柱 中, ，故 ,所以
两两垂直，
分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，， ，点 是棱 的中点
所以 ，
所以 ,
所以 ，
设平面 法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的法向量 ．
设平面 法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的法向量 ．
由于 ，故 ，
因此平面 平面 ；
（2）由（1）知平面 的法向量 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．12．（2024·山西·一模）如图，在三棱台 中，平面 平面
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与 距离为3，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，
（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解 即为平面 与平面 所成
角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.
【详解】（1）由于平面 平面 且交线为 ,
又 平面 ，所以 平面
平面 故 ，
又 平面 ,故 平面
（2）由（1）知 平面 平面 故 ，
又 平面 , 平面 ,所以 即为平面 与平面 所成角或其
补角，过 作 于 ,
由于直线 与 距离为3，故 ，
由于 ，故 ,
在直角三角形 中， ,故 ，
故在直角三角形 中， ，
（1）知 平面 ， 平面 故 ，
所以 中，
13．（2024·广东·一模）如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形，点 是圆 上异于点
， 的任意一点.
(1)若点 到平面 的距离为 ，证明： .
(2)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .【分析】
（1）作 于 ，利用线面垂直的判定及点到平面距离求出 即可推理得解.
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列出函数式，再借助函数值域求解即得.
【详解】（1）
如图，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
由 是圆 的直径，得 ，由 是圆柱侧面的母线，得 平面 ，
而 平面 ，则 ，又 平面 ，因此 平面 ，
而 平面 ，则 ，又 平面 ，
于是 平面 ，则点 到平面 的距离为 ，即 ，
设 ，有 ，由 ，得 ，解得 ，
又 ，则 ，而 是 的中点，
所以 .
（2）
在平面 内，过点 作 交圆 于点 ，连接 ，由 平面 ，得直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设点 ，而点 在圆 上，有 ，且 ，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
显然 ，且 ，则 ，
于是 ， ，
所以 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 .
14．（2024·广东佛山·二模）如图，在直三棱柱形木料 中， 为上底面 上一点．(1)经过点 在上底面 上画一条直线 与 垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若 ， ， ， 为 的中点，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）连结BD，在平面ABC上作 ,由 为直三棱柱，证明 平面 ，进而
得到 ；
（2）分别以 所在直线为 轴建立空向直角坐标系，写出 的坐标，设平面
的法向量 ，求出 到平面 的距离.
【详解】（1）连结 ，在平面 上作 ，
因为 为直三棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．（2）因为 ，所以 ， ， 两两互相垂直，以 为原点，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空向直角坐标系，
， ， ， ，
则 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以 ， ，则 ，取 ，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，则
因此点 到平面 的距离为 ．
15．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， 是等边
三角形， ，点 ， 分别为 和 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）取 中点 ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.
（2）过 作 于点 ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，由 为 中点， 为 中点，得 ，
又 ，则 ，因此四边形 为平行四边形，
于是 ，而 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 于点 ，连接 ，由 ，得 ≌ ，
则 ，即 ，而 ，
因此 ，又 平面 ，则 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（3）由（2）知，直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设 与平面 所成角为 ， ，
所以 与平面 所成角的正弦值是 .
16．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱 中， 分别是棱 的中点，
.
(1)求正四棱柱 的体积；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由正四棱柱的性质可证 为平行四边形，故 ，从而可得 ，再根据相似形可求棱
柱的高，故可得体积；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量后可求锐二面角的余弦值.
【详解】（1）连接 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
所以正四棱柱 的体积 .
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，则 ，
令 ，则 ，
则平面 的法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
，
则 ，
令 ，则 ，
则平面 的法向量为 .
.
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17．（2024·湖南·二模）如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆
心， 为一条母线， 为 的中点，且 .
(1)求证： ；(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证 ，需证 平面 ，即需证 垂直于平面 内的两条相交直线 和
，根据直线 平面 ，可证 ，根据勾股定理的逆定理可证 ，从而原命题得
证.
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角的余弦.
【详解】（1）由 是直径可知 ，则 是等腰直角三角形，故 ，
由圆柱的特征可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，所以
， .
所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
（2）由题意及（1）易知 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则 ， ， ，所以 ， ， ，
由（1）知 平面 ，故平面 的一个法向量是 ，
设 是平面 的一个法向量，
则有 ，取 ，可得
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
则平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（2024·河北·模拟预测）如图所示，五面体 中， ，四边形 为平行四边形，点
在面 内的投影恰为线段 的中点， ．
(1)求五面体 体积；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作 垂足为 ，即可得到 为等边三角形，过点 作 的平行线 ，过点
作 的平行线交 于点 ，则 为三棱柱，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得；
（2）由（1）知 平面 ，在平面 内过点 作 交 于点 ，建立空间直角坐标系，
利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为点 在面 内的投影恰为线段 的中点，作 垂足为 ，则 平面
，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
又 ，所以 ，
过点 作 的平行线 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
又四边形 为平行四边形，所以 为三棱柱，
则 ，
又三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 ，
所以五面体 的体积是三棱柱 的体积的 ，
所以五面体 的体积 .
（2）由（1）知 平面 ，在平面 内过点 作 交 于点 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
又平面 的法向量可以为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 .
19．（2024·湖南·二模）在直角梯形 中， ，点 为 中点，
沿 将 折起，使 ，
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值，【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用平面几何的知识证得 ，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的法向量，再利用空间向量法即可得
解.
【详解】（1）在梯形 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
又 平面 ，故 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，由于 ，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 分别为 轴、 轴建立如图空间直角坐标坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
又 ，，令 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，
所以 ，
故二面角 的余弦值为 .
20．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，
， ， ，点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，通过证明 平面 ，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ,
由 ，易知 为等腰直角三角形，
此时 ，又 ，所以 .因为 ,所以 ，
由 ，即 ，所以 ，
此时， ,有 四点共面， ,
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）由 且 ,所以 平面 .
由 ，得 为等边三角形，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过 且与平面 垂直的直线为 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
,
设平面 的法向量
由 ,即 ，取 ， ，
又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21．（2024·湖北·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，点 在 上，点 为 的中点，且 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）连接 交 与点 ，根据题意证得 且 ，得到四边形 为平行四边形，得
出 ，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）取 的中点 ，证得 平面 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面
和平面 的法向量 和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）
证明：连接 交 与点 ，连接 ，可得平面 与平面 的交线为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 为 的中点，所以点 为 的中点，
取 的中点 ，连接 ，可得 且 ，
又因为 为 的中点，可得 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ．
（2）
解：取 的中点 ，连结 ，因为 ，可得 ，且 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
可得 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，可得 ，
则 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
取 ，可得 ，所以 ；
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．22．（2024·湖北·二模）如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三角形，
平面 平面 分别是 的中点， 与 交于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明 平面 ，可得 ，再利用向量法证明
，然后由线面垂直判定定理可证；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解.
【详解】（1）因为 为正三角形， 是 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
，
又 在平面 内且相交，故 平面
（2） 分别为 的中点， ，
又平面 过 且不过 ， 平面 ．
又平面 交平面 于 ，故 ，进而 ，
因为 是 中点，所以 是 的中点．以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设平面 法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
则 ，
因为 ，所以 .
23．（2024·山东潍坊·一模）如图，在四棱台 中，下底面 是平行四边形，
， ， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】
（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出 ，进而证得 ，再利用线面垂直、面面垂直的判定
推理即得.
（2）由已知证得 平面 ，再以 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即
得.
【详解】（1）在 中，由 ，得 ，而 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
则 ，即 ，又 ， ，
平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）
在四棱台 中，由 ，得 ，有 ，
在梯形 中， ，过 作 交 于点 ，
则 ，又 ，显然 ，则 ，即 ，
又 平面 ，于是 平面 ，
以 为坐标原点，以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
而 ，设 与平面 所成角大小为 ，
因此 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
24．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点N在棱 上，求直线AN与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂
直的判定与性质证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）取棱 中点D，连接 ，因为 ，所以
因为三棱柱 ，所以 ，
所以 ，所以
因为 ，所以 ， ；
因为 ， ，所以 ，所以 ，
同理 ，
因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）
取 中点O，连接 ，取 中点P，连接 ，则 ，
由（1）知 平面 ，所以 平面因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ，则
以O为坐标原点， ， ， 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ，
可设点 ， ，
， ， ，
设面 的法向量为 ，得 ，
取 ，则 ， ，所以
设直线 与平面 所成角为 ，
则
若 ，则 ，
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值 .25．（2024·福建厦门·二模）如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， ，
， 为 中点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，继而证明 ，即可证明 平面 ，根据面
面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标，求得相关点坐标，求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的向量求法，
即可求得答案.
【详解】（1）连接 ，在菱形 中， ，故 为正三角形，又M为 中点，故 ，且 ，
又 ，故 ，
， ，则 ，故 ,
而 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 ；
（2）由于 ， ，则 ，故 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
而 平面 ,故 平面 ，
取 中点为O，则 为正三角形，则 ，
作 ，交 于H，故 平面 ， 平面 ，
故 ，则 两两垂直，
分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
，因为 平面 ，故 可作为平面 的法向量，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则可得 ，
故 ，
而平面 与平面 夹角的范围为 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
26．（2024·福建莆田·二模）如图，在四棱柱 中，底面 为直角梯形，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ， 中点 ，连接 ，通过线面平行、面面平行的判定定理首先得平面 平面 ，再利用面面平行的性质即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角余弦的坐标公式结合三角函数平方
关系即可得解.
【详解】（1）如图：
取 中点 ， 中点 ，连接 ，
一方面：因为 ，
所以 ，即四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 ，
所以 ，即四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
从而 ，
又因为 面 ， 面 ，
所以 面 ，
另一方面：又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，又因为 面 ， 面 ，
所以 面 ，
结合以上两方面，且注意到 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）若 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，令 ，解得 ，
即可取平面 的一个法向量为 ，设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，令 ，解得 ，
即可取平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
27．（2024·福建漳州·一模）如图， 为圆锥的顶点， 是底面圆 的一条直径， ， 是底面圆弧
的三等分点， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明：点 在平面 内．
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用圆的性质与中位线定理证得 与 ，从而得到 ，由此得证；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的法向量，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）连接 ，如图，
因为 ， 是底面圆弧 的三等分点，
，
，
均为等边三角形，
，则四边形 为菱形， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点， ，
，故点 在平面 内.
（2）作 ，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
因为 ，则 ，
故 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，所以 ，
易知平面 的一个法向量为
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
28．（2024·河北邯郸·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点，且 ．
(1)求四棱锥 的高；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）过 作 的平行线，与 的延长线交于点 ，连接 ， ，通过证明 ，
来证明 为四棱锥 的高，从而求解；
（2）建立空间直角坐标系求解即可.
【详解】（1）如图，过 作 的平行线，与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
， ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
， ， ， ，四边形 为矩形， ，
为棱 的中点， ，从而 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
为四棱锥 的高，即 ，
四棱锥 的高为 ；
（2）
由（1）知， ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的法向量，
则 可取 ，
设 是平面 的法向量，
则 可取 ，
所以 ，所以二面角 的正弦值为 .
29．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，
平面 ⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1．
【分析】（1）取 的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定
理可得；
（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设
，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可
得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点 坐标 ，进而表示所需向量坐标
求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解 ；法三：一作二证三求，设 ，利用面面垂直
性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.
【详解】（1）证明：取 的中点M，连接MP，MB．
在四棱台 中，四边形 是梯形， ， ，
又点M，P分别是棱 ， 的中点，所以 ，且 ．
在正方形ABCD中， ， ，又 ，所以 ．
从而 且 ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）在平面 中，作 于O．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则 ．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ．
因为四边形 是等腰梯形， ， ，所以 ，又 ，所以 ．
易得 ， ， ， ， ，所以 ， ，
．法1：设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．
又 ，所以 ，
解得 （舍负），因此 ， ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法2：设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．
又 ，所以 ，解得 或6（舍），因此 ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法3：在平面 中，作 ，垂足为H．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
在平面ABCD中，作 ，垂足为G，连接PG．
因为 ， ， ，PH， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
因为 ， ，所以 是二面角 的平面角．
在四棱台 中，四边形 是梯形，
， ， ，点P是棱 的中点，
所以 ， ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，从而 ．
因为二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，
且二面角 的正弦值为 ，所以 ，从而 ．所以在 中， ，解得 或 （舍）．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
30．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理可证；
（2）由等腰直角三角形内心的特点确定点 的位置，以 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，
根据线面角的空间向量公式计算可得出结果.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，所以 ，
因为 与平面 所成的角为 平面 ，
所以 ，且 ，所以 ，
又 为 的中点，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．（2）因为底面 为正方形， 为 的内心，
所以 在对角线 上．
如图，设正方形的对角线的交点为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ．
由题意知 两两垂直，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 ．
所以 ，由（1）知 ，
所以 ，
所以 ．
又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
