文档文本内容
专题2-1 等式性质与不等式性质
模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
【题型5】其它方法比大小
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
模块三 【课后作业】
模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意
，则
（
为正数）、
或
（
为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：
；
②两个同号实数相乘，积是正数
题型·解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
符号语言：
；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0 的平方为0
符号语言：
，
．
【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600 吨，车队有两种货车，A 型货
车载重量30 吨，
型货车载重量24 吨，设派出A 型货车
辆，
型货车
辆，则运输方案应满足
的关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
，
所以有
.
【巩固练习1】下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入
元不高于
元可表示为“
”
B．小明的身高为
，小华的身高为
，则小明比小华矮可表示为“
”
C．变量
不小于
可表示为“
”
D．变量
不超过
可表示为“
”
【答案】C
【解析】对于A，某人的月收入
元不高于
元可表示为“
”，A 错；
对于B，小明的身高为
，小华的身高为
，则小明比小华矮可表示为“
”，B 错；
对于C，变量
不小于
可表示为“
”，C 正确；
对于D，变量
不超过
可表示为“
”，D 错.
【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地
到灭火前线-共
，其中靠近灭火前线
的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．
已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为
，设需摩托车运送的路段平均速度为
，为使物资能在1 小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 小时，即
，
故选：D．
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：
（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
基础知识
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
【例题1】（24-25 高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充
分不必要条件的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求
解.
【详解】对于选项A，若
，
时，推不出
，所以选项A 错误，
对于选项B，由
，得到
，又
，所以
，即
，
所以
可以推出
，由选项A 知
推不出
，所以
是
的充分不必要条件，故
选项B 正确，
对于选项C，易知
可以推出
，取
，显然满足
，
但不满足
，即
推不出
，所以
是
的充分不必要条件，故选项C 正确，对于
选项D，由选项C 知，
推不出
，所以选项D 错误
【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，当
，则
，故A 不正确；
对于B，当
时，由
可得
，故B 不正确；
对于C，当
时，
，故C 不正确；
对于D，因为
恒成立，所以由
可得
，故D 正确.
【巩固练习1】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断.
【详解】对于A，若
，满足
，则
，所以A 错误，
对于B，因为
，
，所以
，即得
，又因为
，
则
，所以B 正确，
对于C，若
，满足
，则
，所以C 错误，
对于D，若
，则
，所以D 错误
【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ）
A．若
，则一定有
B．若
，则a>b
C．若
，则
D．若
，则
【答案】A
【分析】对A 举反例即可判断；对B 和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可
判断.
【详解】对于A，若
，则
，故A 错误.
对于B，由
，可知
，所以
，所以
.故B 正确.
对于C，
，因为
，
所以
，所以
.故C 正确.
对于D，因为
，所以
.又
，所以
.故D 正确.
【巩固练习3】（24-25 高二下·江西·期末）已知
，则下列式子一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过特殊值排除ABD 选项，利用不等式的性质证明C 选项.
【详解】对于A，当
时，不等式不成立，所以A 错误．
对于B，当
时，满足
，但
，所以B 错误．
对于C，因为
，所以
，则
，所以C 正确．
对于D，当
时，
，不符合
，所以D 错误．
【巩固练习4】（多选）若实数
，
，满足
且
，
，则下列不等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，若
，则
，所以A 错误，
对于B，因为
，所以
，因为
，所以
，所以B 正确，
对于C，因为
，
，
，所以
，
，
所以
，
所以
，所以C 正确，
对于D，若
，则
，所以D 错误，故选：BC
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数
、
①
；②
；③
．
对于任意实数
、
，
，
，
三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是
证明不等式与解不等式的主要依据．
【例题1】已知
，则
.（填“
”，“
”，或“
”）
【答案】
【解析】
，故
.
故答案为：
.
【例题2】（24-25 高一上·四川达州·阶段练习）（1）设
，试比较
与
的大小.
基础知识
（2）已知
、
、
、
且
，
，求证：
.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小；
（2）利用作差法，即可证明
．
【详解】（1）
；
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
；
（2）证明：
，
因为
且
，
，
所以
；
又因为
，所以
，则
，
又
，
所以
，即
．
【巩固练习1】比较下列两式大小：
(1)
与
(2)
与
【解析】（1）由
，
所以
.
（2）由
，
所以
．
【巩固练习2】已知
，试比较
与
的大小.
【解析】由
，
因为
，
，可得
，
所以
.
【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)
与
；
(2)
与
.
【解析】（1）
，
.
（2）
，
，
，则
，
.
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1 的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式
、
，可以作商
后比较
与1 的关系，进一步比较
与
的大小．
①
；②
；③
．
【例题1】设
，
，则
（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
基础知识
【解析】∵
，即
.
又
，
.
故答案为：>.
【例题2】已知
，
，试比较
与
的大小；
【答案】
（当且仅当
时取等号）
【解析】由题意
，由立方和公式
，
可得分子
，
将其代入原式得
，
进一步对其分子利用基本不等式可得
，且等号成立当且仅当
，
将其代入原式得
，
综上所述
（当且仅当
时取等号）.
【巩固练习1】设
，比较
与
的大小
【答案】
【解析】
，
，
，
.
【巩固练习2】
，则
的大小关系为 ．
【答案】≥
【解析】因为
，
则
由
所以
【巩固练习3】已知
，试比较
和
的大小.
【解析】（方法1）因为
，所以
.
所以
.
因为
，所以
，即
；
（方法2）所以
，
又
，
所以
, 所以
.
【题型5】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b 是介于a 与c 之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
【例题1】比大小：
_____
．
【答案】>
【分析】对
，
两边平方，再做差比较大小可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
基础知识
所以
.
【例题2】若
，
，则a、b 的大小关系是 ．
【答案】
【解析】
，
，
因为
，所以
，
.
故答案为：
.
【巩固练习1】比较大小：√7+√5_____2√6．（用>，<或=填空）
【答案】<
【详解】此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大.
【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为（ ）
A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M，N 大小关系不确定
【答案】B
【分析】平方后作差比较大小即可.
【详解】
，
∴M<N.
【巩固练习3】设
，
，则m n（填入“<”或“>”）
【答案】
【解析】依题意，
，
，而
，因此
，
所以
.
故答案为：
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言
大于、高于、超过
小于、低于、少于
大于或等于、
至少、不低于
小于或等于、至多、
不多于、不超过
符号语言
基础知识
【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、
技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过
1500 元的资金购买单价分别为120 元的篮球和140 元的足球．已知该校至少要购买8 个篮球，且至
少购买2 个足球，则不同的选购方式有（ ）
A．6 种
B．7 种
C．8 种
D．5 种
【答案】D
【解析】设购买的篮球个数为
，足球个数为
，且
，
根据题意可得
，
解得符合题意的有序实数对
可以是
，
共5 种不同的购买方式.
【例题2】（24-25 高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物
，乙种货物
.现计划用
，
两种型号的货厢共50 节运送这批货物.已知
甲种货物和
乙种货物可装
满一节
型货厢，
甲种货物和
乙种货物可装满一节
型货厢.
(1)据此安排
，
两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节
型货厢的运费是
万元，每节
型货厢的运费是
万元，哪种方案的运费较少？
【答案】(1)答案见详解
(2)安排
型货厢30 节，
型货厢20 节时运费最少
【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出
型货厢的节数，可分为三种方案；
（2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.
【详解】（1）设安排
两种货厢分别为
节，
节，
则可列不等式组
，
利用不等式即可解得
，
，或
，或
.
共有三种方案：
方案一，安排
型货厢28 节，
型货厢22 节；
方案二，安排
型货厢29 节，
型货厢21 节；
方案三，安排
型货厢30 节，
型货厢20 节.
（2）共有三种方案，运费分别为：
安排
两种货厢分别为28 节，22 节，运费为
万元
安排
两种货厢分别为29 节，21 节，运费为
万元.
安排
两种货厢分别为30 节，20 节，运费为
万元.
易知安排
型货厢30 节，
型货厢20 节时，运费最少，为31 万元.
【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型
号的货箱共50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨
甲种货物和35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不
满足：（ ）
A．A 货箱28 节，B 货箱22 节
B．A 货箱29 节，B 货箱21 节
C．A 货箱31 节，B 货箱19 节
D．A 货箱30 节，B 货箱20 节
【答案】C
【解析】设A、B 货箱分别有x，y 节，则
，
A：共50 节且
，
，满足；
B：共50 节且
，
，满足；
C：共50 节且
，
，不满足；
D：共50 节且
，
，满足；
【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型
号的货箱共50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨
甲种货物和35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不
满足：（ ）
A．A 货箱28 节，B 货箱22 节
B．A 货箱29 节，B 货箱21 节
C．A 货箱31 节，B 货箱19 节
D．A 货箱30 节，B 货箱20 节
【答案】C
【解析】设A、B 货箱分别有x，y 节，则
，
A：共50 节且
，
，满足；
B：共50 节且
，
，满足；
C：共50 节且
，
，不满足；
D：共50 节且
，
，满足；故选：C.
【巩固练习3】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每
人在
、
、
、
四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下
的两个容器给乙，已知容器
、
的底面积均为
，高分别为
，
，容器
，
底面积均为
，
高分别为
，
（其中
）．
(1)写出
，
，
，
四个长方体容器的体积
、
、
、
；
(2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取
再取
与先取
再取
视
为相同的取法）；
(3)在未能确定
与
大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以
获胜），并说明此方案必胜的理由．
【答案】(1)
，
，
，
(2)
，
，
，
，
，
(3)甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析
【分析】（1）直接利用长方体体积公式求解即可；
（2）直接写出各种可能情况即可；
（3）按照
，
的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可．
【详解】（1）
，
，
，
的体积分别为
，
，
，
，
因为容器
、
的底面积均为
，高分别为
，
，容器
，
底面积均为
，
则
，
，
，
．
（2）甲从
，
，
，
中任选2 个，有
，
，
，
，
，
，共6 种可能．
（3）当
时，则
，即
．
则
，
，即甲取
，
均不能够稳操胜券；
当
时，则
，
即
，
则
，
，
即甲取
，
均不能稳操胜券；
若甲先取
，则：
，
即
，
即甲先取
能够稳操胜券，选
不能够稳操胜券，
综上所述：甲必胜的方案：甲选AD．
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
基础知识
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若
（代表原有糖水浓度
，且
)（代表加入的糖量），则必有：
含义解释：
（1）左边不等号
：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度
一定比原来的浓度
更甜（更大）.
（2）右边不等号
：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）.
关键点：
前提：原分数是真分数（
），且加入的量m 是正数.
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1.
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了
“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【答案】(1)
(其中a，b，m 为正实数，且
)（答案形式不唯一）
(2)
(其中
)（答案形式不唯一）
【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立.
【详解】（1）设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为
，加入m 克糖，
即证明不等式
(其中a，b，m 为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝
.
∵a，b，m 为正实数，且
，
，
∴
，即
.
（2）设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为
；另一份糖水d 克，含糖c 克，
糖水浓度为
，且
，求证：
(其中
).
证明：
，且
，
，
，即
，
，
即
，
，
即
.
【例题2】（24-25 高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b 克糖水中有a 克糖
，往糖水中
加入m 克糖
，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较
的大小；
(3)证明命题：设
，证明：
．
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到不等式
，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简
，利用上述结论，即可求解；
（3 ）由（1 ）中的结论，得到
，证得
，
再
由
，
进
而
证
得
，即可得证.
【详解】（1）由题意，可得不等式
.
证明：由
，
因为
，可得
，
所以
，即
.
（2）由
，
由（1）中的结论，可得
，即
.
（3）证明：因为
，
由（1）中的结论，可得
，
所以
①，
又由
，同理可得
，
则
，
由上述结论，可得
，所以
②，
综合①②，得
.
【巩固练习1】（24-25 高二下·浙江宁波·期中）已知
，则“
”是“
”的
（ ）
巩固练习
题型
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
【详解】若
，
，则
，则
，
反之，若
，则
，
又
，所以
，即
，此时
不一定成立，
比如
，此时
，所以“
”是“
”的必要不充分
条件.
【巩固练习2】（24-25 高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中
蕴含着著名的糖水不等式：
．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c 是三角形的三边，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由作差法证明；
（2）由糖水不等式变形证明．
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）因为
是三角形的三边，所以
，
由（1）知
，
同理
，
所以
，
又
，
所以
所以原不等式成立．
【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明.
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小；
（2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系
，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明
；
（3）根据条件建立不等式，再作差证明.
【详解】（1）设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为
，加入m 克糖，
求证：不等式
(其中a，b，m 为正实数，且
)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝
.
∵a，b，m 为正实数，且
，
，
∴
，即
.
（2）设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为
；另一份糖水d 克，含糖c 克，糖水浓度为
，且
，
求证：
(其中
).
证明：
，且
，
，即
，
，
即
，
，
即
（3）设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为
，加入m 克水，
求证：
(其中
，
).
证明：
，
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式
、
，可以作差
后比较
与0 的关系，进一步比较
与
的
大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式
、
，可以作商
后比较
与1 的关系，进一步比较
与
的大小．
3、中间量法：若
且
，则
（实质是不等式的传递性）．一般选择0 或1 为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
【例题1】（23-24 高一上·河北保定·月考）设
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，证明
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）证明:∵
，
基础知识
∴
.
a，b，c 不同时为，则
，∴
；
（2）
.
∵
，取等号的条件为
，
而
，∴等号无法取得，即
，
又
，∴
，∴
.
【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为
元
斤、
元斤
，王大妈每周购买
元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两
周买白菜的平均价格分别记为
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【解析】由题意可得，
，
，
，
，
，
，
．故选：C．
【例题3】（24-25 高二下·湖北武汉·期末）已知正实数
满足
，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分
和
两种情况讨论，当
时，
，当
时，
；由
此可以直接判断AB 选项，取特殊值排除C 选项，对D 选项，由
得
，再分
和
两种情况证明.
【详解】A 选项，当
时，
，此时
即
，
当
时，
，此时
即
，所以A 错误；
B 选项，当
时，
，
成立，
当
时，
，
，所以B 错误；
C 选项，当
时，取
，此时
，不满足
，
当
时，取
，此时
，不满足
，故C 错误；
D 选项，
等价于
，
当
时，
，
，此时
，
当
时，
，
，此时
，D 正确
【巩固练习1】证明：已知
，且
，求证：
.
【解析】因为
，且
，则
，
则
，则
，则
，
则
，
则
，又
则
.
命题得证.
【巩固练习2】（24-25 高一上·山西·期末）(多选)已知
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】举反例可说明选项A、C 错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B 正确；利
用作差法可得选项D 正确.
【详解】对于A，当
时满足
，但
不成立，故A 不正确；
对于B，
等价于
，
∵
，∴
，故
，故B 正确；
对于C，当
时满足
，但
，故C 不正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：BD.
【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为
，甲
策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则
种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可.
【详解】设甲策略每次买
件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为
元，
则甲策略两次购买物品的平均价格为
，乙策略两次购买物品的平均价格为
，
所以
，即
，
所以乙种购物策略比较经济.
【巩固练习4】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c 满足
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C.
【详解】A：
，又
，
所以
，则
，即
，对；
B：
，且
，而
符号不定，
所以
符号不定，错；
C：由题设
，若
，则
，错；
D：
，则
，对.
【巩固练习5】（1）已知
，证明：
；
（2）若a，b，c 为三角形的三边长，则
．
【解析】（1）
，
由
，得
，而
，
，
，
则
，所以
．
（2）
为
的三边长，则有
，
，
，
由（1）知：
，
，
，
将以上不等式左右两边分别相加得：
，
所以
．
【巩固练习6】（24-25 高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知
，
，求
，
及
的取值范围．
（2）设
、
均为正实数，试比较
和
的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解.
（2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出
；再分类讨论即可得出
结果.
【详解】（1）因为
， 所以
，
又
，两个不等式相加可得
，即
．
因为
，所以
，
又
，两个不等式相加可得
，即
．
因为
，所以
，
当
时，两个不等式相加乘可得：
，即
；
当
时，两个不等式相加乘可得：
，即
，
所以
．
的取值范围为
；
的取值范围为
；
的取值范围为
.
（2）
．
因为
，
均为正实数，所以
．
当
，即
时，
，此时
；
当
，即
时，
，此时
；
当
，即
时，
，此时
．
综上可得：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
例题：已知
，且
，求
和
的取值范围.
第一步：令
，并化简该式
第二步：列方程组，求出m，n 的值．
第三步：分别求出
的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得
的取值范围
第五步：将
和
平方作差即可得出
的取值范围
解析：（1 ）设
，则
解得
由已知得
，则
，
即
.
（2）因为
，所以
，即
，
基础知识
所以
，则
，所以
.
【例题1】已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知
，
，所以
，故选：D
【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，得
，即
，
，所以
，即
，故选：D
【例题3】（24-25 高一上·广东汕尾·期末）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由题意得
，进而求得
即可求解.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，则
，
所以
.
【巩固练习1】已知
，
，则下列代数式的范围错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，则
，则有
，A 正确；
对于B，
，则
，则有
，B 正确；
对于C，
，
，则有
，C 错误；
对于D，
，
，则有
，D 正确；
【巩固练习2】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知
则
的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】把
看成一个整体变量来表示
，再利用同向不等式的可加性求解.
【详解】假设
，则
，解得
，
因为
，所以
；
又因为
，所以
；
由上两同向不等式相加得：
，
整理得：
【巩固练习3】（23-24 高一上·河北张家口·期末）已知
，
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】用
表示
，利用不等式的性质求
的范围.
【详解】由不等式的性质得，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
当且仅当
即
时，
取到最大值
.
【巩固练习4】（多选）若实数
、
满足：
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的范围是
D．
的范围是
【答案】ABC
【解析】因为实数
、
满足：
，由不等式的可加性可得
，解得
，
A 对；
由题意可得
，由不等式的可加性可得
，解得
，B 对；
设
，则
，解得
，
所以，
，
因为
，由不等式的可加性可得
，C 对D 错.
故选：ABC.
模块三 【课后作业】
1．（24-25 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知
，且
，则
的
取值范围是 .
【答案】
【详解】
，则
,
则
.
2．将一根长为
的绳子截成两段，已知其中一段的长度为
m，若两段绳子长度之差不
小于
，则
所满足的不等关系为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为
.
因为两段绳子长度之差不小于
，所以
，化简得：
.故选：D
3．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】BC
【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断．
【详解】解：当
，
时，A 显然错误；
当
时，
，则
，B 正确；
若
，则
，
所以
，
所以
，C 正确；
若
，
，则
，
所以
，D 错误．
4．（24-25 高一上·广东惠州·期中）已知
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质，可得结果.
【详解】因为
，
，
所以
，
，所以
，即
，即
.
5．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】B
【解析】对于A：当
时，
，若
，则
，故A 错误；
对于B：因为
，所以
，即
，所以
，故B 正确；
对于C：当
，
，
，
时，满足
，
，但是
，故C 错误；
对于D：当
时，
，故D 错误.
6．已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】对于A 选项，
，满足
，此时
，不满足
，故A 错误；
对于B 选项，
，满足
，此时
，不满足
，故B 错误；
对于C 选项，
，所以
，故C 正确；
对于D 选项，
，满足
，此时
，不满足
，故D 错误，故选：
7．设
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【解析】因为
，所以
.
8．已知
，则以下错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
对于A，
，
,
,
综上可得
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，故D 错误；故选：D.
9．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
所以
，解得
，即可得
，
因为
，
，
所以
，故选：A．
10．（24-25 高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数
，
满足
，
，则
的
取值范围是 ，
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用不等式的性质可求
的范围，利用待定系数法可求
的范围.
【详解】因为
，
，故
即
，
设
，
故
，所以
，故
，
又
，
，
所以
，故答案为：
.
11．已知
，
，则
的范围是 .
【答案】
【解析】设
，其中
、
，
则
，解得
，所以，
，
因为
，
，则
，
，
由不等式的基本性质可得
，即
.
12．（23-24 高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗
户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180 平方米的民宿需要同时
增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2 倍，且民宿改造后的采光
效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
【答案】
【解析】设改造前的窗户面积为
，窗户增加的面积为
，
，
依题意
，即
，
所以改造前的窗户面积最大为
平方米.
13．（24-25 高一上·宁夏银川·阶段练习）（1）
，
，求证：
；
（2）已知
，求
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可；
（2）令
，整理后求出
，然后利用不等式的性质可求得结果.
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
即
.
（2）令
，
所以
，解得
，
所以
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
故
的取值范围为
.
14．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为
且
，所以
，且
，两边取倒数得
，又
，则
，从而得证．
解
法
2 因
为
且
，
所
以
，
且
，
所
以
，即
．
（2）因为
且
，所以
，
，则
，
，由
，可得
，即
，所以
，即
．综上，
．
15．（24-25 高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设
，
，
，比较
，
的大小；
(2)设
，
均为正实数，
，
，比较
，
的大小；
(3)设
，
，
，比较
，
的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简可得
，
，再通过比较分母的大小即可得解；
（2）借助作差法作差后因式分解即可得；
（3）借助作差法比较即可得.
【详解】（1）
，
，
由
，
，
故
，即有
；
（2）
，
由
，
均为正实数，故
，即
；
（3）
，
由
，故
，
，
，
，
即
，故
.
16．不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知
克糖水中含有
克糖
，再添加m 克糖
(假设全部溶解)，糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：
(2)利用（1）中的结论证明：若
为三角形的三边长，则
.
【答案】(1)
，
，证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】（1）糖水变甜了得出不等式
，
.
证明：
.
.
，
，
.
（2）设
的三边长分别为
，则有
，
由（1）已证不等式可得：
，
，
，
将以上不等式左右两边分别相加得：
，
所以，
17．（高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设
，比较
的大小；
②设
，比较
的大小；
③设
，比较
的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
【答案】①
；
②
；
③
；
【分析】①利用有理根式可得
，再由
即可得
的大小关系；
②用作差法比较即可；
③用作差法或作商法比较即可.
【详解】解：
①
，
因为
，
所以
，
即
；
.
②
，
.
③
方法一（作差法）
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
..
方法二（作商法）因为
，所以
，
所以
，
所以
.
.
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