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专题 2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 不等关系的建立】......................................................................................................................................1
【题型2 利用作差法比较大小】..............................................................................................................................3
【题型3 利用作商法比较大小】..............................................................................................................................4
【题型4 利用作差法比较大小的应用】..................................................................................................................5
【题型5 利用不等式的性质判断正误】..................................................................................................................8
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】...........................................................................................................10
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】...........................................................................................................12
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再
将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
C．某变量x至少为a可表示为“x>a”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为x≤2000，A错误；
对于B，变量y不超过a可表示为y≤a，B正确；
对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误；
对于D，小明身高xcm，小华身高ycm，小明比小华矮表示为x<y，D错误.
故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其
中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材
学科网（北京）股份有限公司料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要
n(n∈N∗)
条件是（ ）
A．n>800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000
【解题思路】根据题设条件可得关于n的不等式，求解后可得正确的选项.
【解答过程】由0.8n+2000<1.2n，得0.4n>2000，即n>5000，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请
瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是
（ ）
A．5x+4 y<200 B．5x+4 y≥200
C．5x+4 y=200 D．5x+4 y≤200
【解题思路】根据工资预算以及工人工资列出不等式.
【解答过程】依题意，请工人满足的关系式是50x+40y≤2000，
即5x+4 y≤200.
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人
跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到
安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
x x x x
A．4× <100 B．4× ≥100 C．4× ≤100 D．4× >100
0.5 0.5 0.5 0.5
【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可
求得答案.
x
【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为 秒，
0.5
( x ) x
人在此时间内跑的路程为 4× 米，由题意可得4× ≥100．
0.5 0.5
故选：B．
【知识点2 比较大小】
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．
这个基本事实可以表示为：a>b a－b>0，a＝b a－b＝0，a<b a－b<0.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
⇔ ⇔ ⇔
学科网（北京）股份有限公司【题型2 利用作差法比较大小】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝√a+b，N＝√a+√b，则M与N的大小关系为
（ ）
A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定
【解题思路】平方后作差比较大小即可.
【解答过程】 ，
M2−N2=(a+b)−(a+b+2√ab)=−2√ab<0
∴M<N.
故选：B.
【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知x=−a2−2a+3,y=4−3a，则（ ）
A．x<y B．x= y
C．x>y D．x与y的大小无法判断
【解题思路】根据作差法比较大小即可.
【解答过程】因为x=−a2−2a+3,y=4−3a，
所以x−y=−a2+a−1=− ( a− 1) 2 − 3 <0，故x<y.
2 4
故选：A.
【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0<x<1，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A．x2> >x B． >x2>x C．x> >x2 D． >x>x2
x x x x
【解题思路】利用作差法判断即可.
1 1−x2 (1−x)(1+x) 1
【解答过程】因为0<x<1，则1−x>0，所以 −x= = >0，所以 >x，
x x x x
又x−x2=x(1−x)>0，所以x>x2，
1
所以 >x>x2.
x
故选：D.
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，
Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（ ）
A．P>Q B．P≥Q
C．P<Q D．P≤Q
【解题思路】利用作差法判断即可.
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】因为P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)
所以 ，
P−Q=a2+b2+c2+3−2(a+b+c)=(a−1) 2+(b−1) 2+(c−1) 2≥0
当且仅当a=b=c=1时取等号,
∵a，b，c为不全相等的实数，因此等号不成立，即P−Q>0，
∴P>Q．
故选：A.
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝√c+1－√c，y＝√c－√c−1，则x，y之间的大小
关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
x
【解题思路】应用作商法比较 ,1的大小关系即可.
y
x √c+1−√c √c+√c−1
【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又 = = <1，
y √c−√c−1 √c+1+√c
∴x＜y.
故选：C.
【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设
p=(a2+a+1) −1
，
q=a2−a+1
，则（ ）．
A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q
【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.
p=(a2+a+1) −1 = 1 = 1 >0
【解答过程】 a2+a+1 ( 1) 2 3 ，
a+ +
2 4
q=a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0，
2 4
q a2−a+1
则 = =(a2−a+1)(a2+a+1)
p (a2+a+1) −1
.
=(a2+1) 2 −a2=(a2) 2 +a2+1≥1
故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司1
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若0<x<1，则x、 、√x、x2中最小的是 x2 .
x
【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可.
1
【解答过程】因为0<x<1，所以 >1，0<√x<1，0<x2<1
x
x x2
因为 =√x<1， =x<1，所以x<√x，x2<x
√x x
1
即x2<x<√x<
x
故答案为：x2.
1
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q= ,(a∈R)，则P,Q的大小关系为
a2−a+1
≥ ．
【解题思路】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.
【解答过程】因为P=a2+a+1= ( a+ 1) 2 + 3 >0，a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0 则Q>0
2 4 2 4
由 P =(a2+a+1)(a2−a+1)=(a2+1) 2 −a2=a4+a2+1≥1
Q
所以P≥Q，
故答案为：≥.
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全
票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车
公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
【解题思路】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x元，再用x及n表示出选甲、乙车需花的总费用，
然后作差比较即可得解.
【解答过程】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x(x>0)元，坐甲车需花y 元，坐乙车需花y 元，
1 2
3 1 3 4
则y =x+ x⋅(n−1)= x+ xn，y = nx，
1 4 4 4 2 5
1 3 4 1 1 1 ( n)
因为y −y = x+ xn− nx= x− nx= x 1− ，
1 2 4 4 5 4 20 4 5
因为x>0，
所以当n=5时，y = y ；当n>5时，y <y ；当n<5时，y >y ．
1 2 1 2 1 2
因此，当单位去参观的人数为5人时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于
学科网（北京）股份有限公司5人时，选乙租车公司更优惠．
【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：
元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票
2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？
【解题思路】根据平均价格的计算公式，分别计算出甲和乙所买股票的平均每股价格，再用作差法进行比
较即可求得答案.
20000 2ab
x = =
【解答过程】甲所买股票的平均每股价格： 1 10000 10000 a+b，
+
a b
2000a+2000b a+b
乙所买股票的平均每股价格：x = = ，
2 4000 2
作差得，a+b 2ab (a+b) 2−4ab (a−b) 2 ，
− = = >0(a≠b)
2 a+b 2(a+b) 2(a+b)
即x >x ，故甲买入的方式比较合算.
2 1
【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面
积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积
分别为am2，bm2．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．
【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则¿，化简得a≥20即得解；
a+n a
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较 和
b+n b
的大小即得解.
【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则¿，
a
所以b≤ =10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20.
10%
所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相
同），由题意得：0<a<b,n>0，
a+n a ab+bn−ab−an n(b−a)
则 − = = .
b+n b b(b+n) b(b+n)
因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0.
学科网（北京）股份有限公司又因为a<b，所以n(b−a)>0.
a+n a a+n a
因此 − >0，即 > .
b+n b b+n b
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.
a a+m a
【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克糖，即证明不等式 > (其中
b b+m b
a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
a+m a b(a+m)−a(b+m) m(b−a)
− = ＝ .
b+m b b(b+m) b(b+m)
∵a，b，m为正实数，且a<b，∴b+m>0,b−a>0，
m(b−a) a+m a
∴ >0，即 > .
b(b+m) b+m b
a c a c
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为 ，且 < ，求
b d b d
a a+c c
证： < < (其中b>a>0,d>c>0).
b b+d d
a c
证明：∵ < ，且b＞a＞0，d＞c＞0，
b d
∴ad<bc，即bc−ad>0，
a a+c ab+ad−ab−bc ad−bc
− = = <0，
b b+d b(b+d) b(b+d)
学科网（北京）股份有限公司a a+c
即 < ，
b b+d
c a+c cb+cd−ad−cd cb−ad
− = = >0，
d b+d d(b+d) d(b+d)
a+c c a a+c c
即 < ∴ < < .
b+d d b b+d d
a a a
（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克水，求证： > (其中b＞a＞0，m＞0).
b b b+m
a a ab+am−ab am
证明： − = = >0，
b b+m b(b+m) b(b+m)
a a
∴ > .
b b+m
【知识点3 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b b<a.
(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
⇔
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
⇒
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+c<2+c B．a2<c2 C．ac<2c D．a<0
【解题思路】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD.
【解答过程】对于A，a<2，由不等式的性质可得a+c<2+c，故A正确；
1
对于B，a<2，取a=1,c= ，所以a2>c2，故B不正确；
2
对于C，a<2，若c=0，则ac=2c，故C不正确；
对于D，a<2，取a=1>0，故D不正确.
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（ ）
a 1 1
A．a2>ab B．a2<b2 C． <1 D． <
b a b
【解题思路】利用不等式的性质，逐项判断作答.
【解答过程】由a<b<0，得a2>ab>0，A正确；
由a<b<0，得−a>−b>0，则a2>b2，B错误；
a
由a<b<0，得 >1，C错误；
b
a b 1 1
由a<b<0，得 < ，即 < ，D错误.
ab ab b a
故选：A.
【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，则a|a|>b|b|
b c
D．若a>b>c>0，则 < ．
a−b a−c
【解题思路】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分a>b>0,a>0>b,0>a>b三种情况讨论即可
判断大小.
【解答过程】A选项，ac2−bc2=(a−b)c2≥0，故A错误；
B选项，a2−b2=(a−b)(a+b)，因不清楚a+b的正负情况，故B错误；
C选项，当a>b>0时，a|a|−b|b|=a2−b2=(a−b)(a+b)>0；
当a>0>b时，a|a|−b|b|=a2+b2>0，
当0>a>b时，a|a|−b|b|=−a2+b2=(b−a)(a+b)>0，
综上a|a|>b|b|，故C正确；
b c a(b−c)
D选项， − = >0，故D错误.
a−b a−c (a−b)(a−c)
故选：C.
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
a b
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c<d，则 >
c d
1 1
C．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若ab>0，a>b，则 <
a b
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.
【解答过程】A选项，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；
a 1 b a b
B选项，当a=1，b=0，c=−2，d=−1时， =− , =0， < ，故B错误；
c 2 d c d
C选项，当a=1，b=0，c=1，d=0时，a−c=b−d，故C错误；
1 1 b−a 1 1
D选项，若ab>0，a>b，则 − = <0，即 < ，故D正确．
a b ab a b
故选：D.
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f −ac<e−bc
√a √b
(2)已知a>b>0,c<d<0，求证：3 <3 ．
d c
【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】（1）证明：∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴−ac<−bc，
又因为e>f，即f <e，
所以f −ac<e−bc.
1 1 1 1
（2）证明：∵c<d<0，∴ < <0，∴− >− >0；
d c d c
a b a b
又a>b>0，∴− >− ，∴ < ；
d c d c
√a √b
∴ 3 <3 .
d c
a a
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a<b<c，且a+b+c=0，证明： < ．
a−c b−c
（2）证明：√a−√a−2<√a−1−√a−3．(a≥3)
【解题思路】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明√a+√a−3 < √a−1+√a−2，对不等式两边同时平方后只需证明√a(a−3) <
√(a−1)(a−2)，再平方即可证明.
【解答过程】证明：（1）由a<b<c，且a+b+c=0，
所以a<0，且a−c<b−c<0,
学科网（北京）股份有限公司a−c b−c
所以(a−c)(b−c)>0，所以 < ，
(a−c)(b−c) (a−c)(b−c)
1 1 a a a a
即 < ；所以 > ，即 < ．
b−c a−c b−c a−c a−c b−c
（2）要证√a−√a−2<√a−1−√a−3，(a≥3)
只需证√a+ √a−3 < √a−1+ √a−2，
即证a+(a−3)+2√a(a−3)<(a−1)+(a−2)+2√(a−1)(a−2)；
即证√a(a−3) < √(a−1)(a−2)，
即证a(a−3)<(a−1)(a−2)；即证0<2，显然成立；
所以√a−√a−2<√a−1−√a−3．
【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
a+b c+d
(1)bc−ad≥0，bd＞0，求证： ≤ ；
b d
b b c
(2)已知a＞b＞c＞0，求证： > > ．
a−b a−c a−c
【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
b b b c
（2）先用作差法证明 > ，然后根据不等式的性质证明 > 即可得到.
a−b a−c a−c a−c
a+b c+d (a+b)d−b(c+d) ad−bc
【解答过程】（1）证明： − = = ，
b d bd bd
因为，bc−ad≥0，所以，ad−bc≤0，
ad−bc
又bd＞0，所以， ≤0，
bd
a+b c+d
即 ≤ .
b d
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，−b<−c，0<a−b<a−c，b−c>0，
b b b(a−c)−b(a−b) b(b−c)
则， − = = >0，
a−b a−c (a−c)(a−b) (a−c)(a−b)
b b
即有， > 成立；
a−b a−c
1
因为，a−c>0，所以， >0，
a−c
b c
又b>c，所以， > 成立.
a−c a−c
学科网（北京）股份有限公司b b c
所以，有 > > .
a−b a−c a−c
【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a<b，c<0，则(a−b)c>0；
(2)若a<0，−1<b<0，则a<ab2<ab．
【解题思路】（1）可知a−b>0，而c<0，即可得证；
（2）可知1>b2>0>b>−1，而a<0，即可得证；
【解答过程】（1）证明： ∵a>b，
∴a−b>0，
又c<0，
∴(a−b)c<0；
（2）证明：∵−1<b<0，∴0<b2<1
∴1>b2>0>b>−1，
又a<0，
∴a<ab2<ab．
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？
【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.
【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
5 1
则¿，所以¿，即3x+2y= (x+ y)+ (x−y).
2 2
5 5 1 3
又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴− < (x+ y)<10，1< (x−y)< ，
2 2 2 2
3 5 1 23 3 23
∴− < (x+ y)+ (x−y)< ，即− <3x+2y< ，
2 2 2 2 2 2
( 3 23)
∴3x＋2y的取值范围为 − , .
2 2
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足−1≤x+ y≤1，1≤x+2y≤3，则x+3 y的取值
范围是？
【解题思路】根据题意以x+ y,x+2y整体，结合不等式的性质分析运算.
【解答过程】设x+3 y=m(x+ y)+n(x+2y)=(m+n)x+(m+2n)y，
由题意可得¿，解得¿，
所以x+3 y=−(x+ y)+2(x+2y)，
学科网（北京）股份有限公司由¿，可得¿，
所以1≤−(x+ y)+2(x+2y)≤7，即1≤x+3 y≤7，
故x+3 y的取值范围是[1,7].
【变式7-2】（2023·全国·高一假期作业）实数a、b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4.
(1)求实数a、b的取值范围；
(2)求3a−2b的取值范围．
1 1
【解题思路】（1）由a= [(a+b)+(a−b)]，b= [(a+b)−(a−b)]根据不等式的性质计算可得；
2 2
1 5
（2）求出3a−2b= (a+b)+ (a−b)，再利用不等式的性质得解.
2 2
【解答过程】（1）解：由−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4，
1 1
则a= [(a+b)+(a−b)]，所以−4≤(a+b)+(a−b)≤6，所以−2≤ [(a+b)+(a−b)]≤3，即
2 2
−2≤a≤3，
即实数a的取值范围为[−2,3]．
1
因为b= [(a+b)−(a−b)]，
2
由−1≤a−b≤4，
所以−4≤b−a≤1，所以−7≤(a+b)−(a−b)≤3，
7 1 3
所以− ≤ [(a+b)−(a−b)]≤ ，
2 2 2
7 3
∴− ≤b≤ ，
2 2
[ 7 3 ]
即实数b的取值范围为 − , ．
2 2
（2）解：设3a−2b=m(a+b)+n(a−b)=(m+n)a+(m−n)b，
则¿，解得¿，
1 5
∴3a−2b= (a+b)+ (a−b)，
2 2
∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．
3 1 5 5
∴− ≤ (a+b)≤1，− ≤ (a−b)≤10，
2 2 2 2
∴−4≤3 a−2b≤11，
即3a−2b的取值范围为[−4,11]．
学科网（北京）股份有限公司【变式7-3】（2023·高一课时练习）已知实数x,y分别满足，1<x<5，2<y<7.
（1）分别求2x+3 y与4x−5 y的取值范围；
x
（2）若x<y,试分别求x−y及 的取值范围.
y
【解题思路】（1）根据不等式的性质即可求出2x+3 y与4x−5 y的取值范围；
（2）根据不等式的性质结合x<y即可求解.
【解答过程】（1）∵1<x<5，2<y<7,
∴2<2x<10,6<3 y<21,4<4x<20,−35<−5 y<−10,
∴8<2x+3 y<31, −31<4x−5 y<10.
（2）由条件则−6<x−y<3.
又因为x<y⇒x−y<0，
从而可得−6<x−y<0；
1 1 1
由2<y<7 ⇒ < < .
7 y 2
1 x 5
⇒ < < ，
7 y 2
x
又因为x<y⇒ <1，
y
1 x
从而⇒ < <1.
7 y
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