专题2.1等式性质与不等式性质七大题型（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年7月试卷

专题 2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 不等关系的建立】......................................................................................................................................1 【题型2 利用作差法比较大小】..............................................................................................................................3 【题型3 利用作商法比较大小】..............................................................................................................................4 【题型4 利用作差法比较大小的应用】..................................................................................................................5 【题型5 利用不等式的性质判断正误】..................................................................................................................8 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】...........................................................................................................10 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】...........................................................................................................12 【知识点1 不等关系】 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再 将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 不等关系的建立】 【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为x≤2000，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为y≤a，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误； 对于D，小明身高xcm，小华身高ycm，小明比小华矮表示为x800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000 【解题思路】根据题设条件可得关于n的不等式，求解后可得正确的选项. 【解答过程】由0.8n+2000<1.2n，得0.4n>2000，即n>5000， 故选：B． 【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请 瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 （ ） A．5x+4 y<200 B．5x+4 y≥200 C．5x+4 y=200 D．5x+4 y≤200 【解题思路】根据工资预算以及工人工资列出不等式. 【解答过程】依题意，请工人满足的关系式是50x+40y≤2000， 即5x+4 y≤200. 故选：D. 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人 跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到 安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ） x x x x A．4× <100 B．4× ≥100 C．4× ≤100 D．4× >100 0.5 0.5 0.5 0.5 【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可 求得答案. x 【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为 秒， 0.5 ( x ) x 人在此时间内跑的路程为 4× 米，由题意可得4× ≥100． 0.5 0.5 故选：B． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a0，b>0，M＝√a+b，N＝√a+√b，则M与N的大小关系为 （ ） A．M>N B．My D．x与y的大小无法判断 【解题思路】根据作差法比较大小即可. 【解答过程】因为x=−a2−2a+3,y=4−3a， 所以x−y=−a2+a−1=− ( a− 1) 2 − 3 <0，故x >x B． >x2>x C．x> >x2 D． >x>x2 x x x x 【解题思路】利用作差法判断即可. 1 1−x2 (1−x)(1+x) 1 【解答过程】因为00，所以 −x= = >0，所以 >x， x x x x 又x−x2=x(1−x)>0，所以x>x2， 1 所以 >x>x2. x 故选：D. 【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3， Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（ ） A．P>Q B．P≥Q C．P0， ∴P>Q． 故选：A. 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝√c+1－√c，y＝√c－√c−1，则x，y之间的大小 关系是（ ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 x 【解题思路】应用作商法比较 ,1的大小关系即可. y x √c+1−√c √c+√c−1 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又 = = <1， y √c−√c−1 √c+1+√c ∴x＜y. 故选：C. 【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设 p=(a2+a+1) −1 ， q=a2−a+1 ，则（ ）． A．p>q B．p0 【解答过程】 a2+a+1 ( 1) 2 3 ， a+ + 2 4 q=a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0， 2 4 q a2−a+1 则 = =(a2−a+1)(a2+a+1) p (a2+a+1) −1 . =(a2+1) 2 −a2=(a2) 2 +a2+1≥1 故p≤q，当且仅当a=0时，取等号， 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司1 【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若01，0<√x<1，00，a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0 则Q>0 2 4 2 4 由 P =(a2+a+1)(a2−a+1)=(a2+1) 2 −a2=a4+a2+1≥1 Q 所以P≥Q， 故答案为：≥. 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全 票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车 公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司． 【解题思路】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x元，再用x及n表示出选甲、乙车需花的总费用， 然后作差比较即可得解. 【解答过程】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x(x>0)元，坐甲车需花y 元，坐乙车需花y 元， 1 2 3 1 3 4 则y =x+ x⋅(n−1)= x+ xn，y = nx， 1 4 4 4 2 5 1 3 4 1 1 1 ( n) 因为y −y = x+ xn− nx= x− nx= x 1− ， 1 2 4 4 5 4 20 4 5 因为x>0， 所以当n=5时，y = y ；当n>5时，y y ． 1 2 1 2 1 2 因此，当单位去参观的人数为5人时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于 学科网（北京）股份有限公司5人时，选乙租车公司更优惠． 【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位： 元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票 2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？ 【解题思路】根据平均价格的计算公式，分别计算出甲和乙所买股票的平均每股价格，再用作差法进行比 较即可求得答案. 20000 2ab x = = 【解答过程】甲所买股票的平均每股价格： 1 10000 10000 a+b， + a b 2000a+2000b a+b 乙所买股票的平均每股价格：x = = ， 2 4000 2 作差得，a+b 2ab (a+b) 2−4ab (a−b) 2 ， − = = >0(a≠b) 2 a+b 2(a+b) 2(a+b) 即x >x ，故甲买入的方式比较合算. 2 1 【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面 积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积 分别为am2，bm2． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则¿，化简得a≥20即得解； a+n a （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较 和 b+n b 的大小即得解. 【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则¿， a 所以b≤ =10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20. 10% 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相 同），由题意得：00， a+n a ab+bn−ab−an n(b−a) 则 − = = . b+n b b(b+n) b(b+n) 因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0. 学科网（北京）股份有限公司又因为a0. a+n a a+n a 因此 − >0，即 > . b+n b b+n b 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证. a a+m a 【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克糖，即证明不等式 > (其中 b b+m b a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： a+m a b(a+m)−a(b+m) m(b−a) − = ＝ . b+m b b(b+m) b(b+m) ∵a，b，m为正实数，且a0,b−a>0， m(b−a) a+m a ∴ >0，即 > . b(b+m) b+m b a c a c （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为 ，且 < ，求 b d b d a a+c c 证： < < (其中b>a>0,d>c>0). b b+d d a c 证明：∵ < ，且b＞a＞0，d＞c＞0， b d ∴ad0， a a+c ab+ad−ab−bc ad−bc − = = <0， b b+d b(b+d) b(b+d) 学科网（北京）股份有限公司a a+c 即 < ， b b+d c a+c cb+cd−ad−cd cb−ad − = = >0， d b+d d(b+d) d(b+d) a+c c a a+c c 即 < ∴ < < . b+d d b b+d d a a a （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为 ，加入m克水，求证： > (其中b＞a＞0，m＞0). b b b+m a a ab+am−ab am 证明： − = = >0， b b+m b(b+m) b(b+m) a a ∴ > . b b+m 【知识点3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1 如果a＝b，那么b＝a； 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么bb.即a>b bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c. ⇔ (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. ⇒ (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（ ） A．a+c<2+c B．a2c2，故B不正确； 2 对于C，a<2，若c=0，则ac=2c，故C不正确； 对于D，a<2，取a=1>0，故D不正确. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果aab B．a2ab>0，A正确； 由a−b>0，则a2>b2，B错误； a 由a1，C错误； b a b 1 1 由ab，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，则a|a|>b|b| b c D．若a>b>c>0，则 < ． a−b a−c 【解题思路】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分a>b>0,a>0>b,0>a>b三种情况讨论即可 判断大小. 【解答过程】A选项，ac2−bc2=(a−b)c2≥0，故A错误； B选项，a2−b2=(a−b)(a+b)，因不清楚a+b的正负情况，故B错误； C选项，当a>b>0时，a|a|−b|b|=a2−b2=(a−b)(a+b)>0； 当a>0>b时，a|a|−b|b|=a2+b2>0， 当0>a>b时，a|a|−b|b|=−a2+b2=(b−a)(a+b)>0， 综上a|a|>b|b|，故C正确； b c a(b−c) D选项， − = >0，故D错误. a−b a−c (a−b)(a−c) 故选：C. 【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ） a b A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c c d 1 1 C．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若ab>0，a>b，则 < a b 学科网（北京）股份有限公司【解题思路】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【解答过程】A选项，当c=0时，ac2=bc2，故A错误； a 1 b a b B选项，当a=1，b=0，c=−2，d=−1时， =− , =0， < ，故B错误； c 2 d c d C选项，当a=1，b=0，c=1，d=0时，a−c=b−d，故C错误； 1 1 b−a 1 1 D选项，若ab>0，a>b，则 − = <0，即 < ，故D正确． a b ab a b 故选：D. 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式： (1)已知a>b，e>f，c>0，求证f −acb>0,cb，c>0， ∴ac>bc，∴−ac<−bc， 又因为e>f，即f − >0； d c d c a b a b 又a>b>0，∴− >− ，∴ < ； d c d c √a √b ∴ 3 <3 . d c a a 【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a0，所以 < ， (a−c)(b−c) (a−c)(b−c) 1 1 a a a a 即 < ；所以 > ，即 < ． b−c a−c b−c a−c a−c b−c （2）要证√a−√a−2<√a−1−√a−3，(a≥3) 只需证√a+ √a−3 < √a−1+ √a−2， 即证a+(a−3)+2√a(a−3)<(a−1)+(a−2)+2√(a−1)(a−2)； 即证√a(a−3) < √(a−1)(a−2)， 即证a(a−3)<(a−1)(a−2)；即证0<2，显然成立； 所以√a−√a−2<√a−1−√a−3． 【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式． a+b c+d (1)bc−ad≥0，bd＞0，求证： ≤ ； b d b b c (2)已知a＞b＞c＞0，求证： > > ． a−b a−c a−c 【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明； b b b c （2）先用作差法证明 > ，然后根据不等式的性质证明 > 即可得到. a−b a−c a−c a−c a+b c+d (a+b)d−b(c+d) ad−bc 【解答过程】（1）证明： − = = ， b d bd bd 因为，bc−ad≥0，所以，ad−bc≤0， ad−bc 又bd＞0，所以， ≤0， bd a+b c+d 即 ≤ . b d （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，−b<−c，00， b b b(a−c)−b(a−b) b(b−c) 则， − = = >0， a−b a−c (a−c)(a−b) (a−c)(a−b) b b 即有， > 成立； a−b a−c 1 因为，a−c>0，所以， >0， a−c b c 又b>c，所以， > 成立. a−c a−c 学科网（北京）股份有限公司b b c 所以，有 > > . a−b a−c a−c 【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a0； (2)若a<0，−10，而c<0，即可得证； （2）可知1>b2>0>b>−1，而a<0，即可得证； 【解答过程】（1）证明： ∵a>b， ∴a−b>0， 又c<0， ∴(a−b)c<0； （2）证明：∵−1b2>0>b>−1， 又a<0， ∴a