专题2.1等式性质与不等式性质七大题型（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年7月试卷

专题 2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 不等关系的建立】......................................................................................................................................1 【题型2 利用作差法比较大小】..............................................................................................................................2 【题型3 利用作商法比较大小】..............................................................................................................................2 【题型4 利用作差法比较大小的应用】..................................................................................................................3 【题型5 利用不等式的性质判断正误】..................................................................................................................4 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】..............................................................................................................5 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】..............................................................................................................6 【知识点1 不等关系】 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再 将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 不等关系的建立】 【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其 中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材 料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要 n(n∈N∗) 条件是（ ） A．n>800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000 【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请 瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 学科网（北京）股份有限公司（ ） A．5x+4 y<200 B．5x+4 y≥200 C．5x+4 y=200 D．5x+4 y≤200 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人 跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到 安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ） x x x x A．4× <100 B．4× ≥100 C．4× ≤100 D．4× >100 0.5 0.5 0.5 0.5 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a0，b>0，M＝√a+b，N＝√a+√b，则M与N的大小关系为 （ ） A．M>N B．My D．x与y的大小无法判断 【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0 >x B． >x2>x C．x> >x2 D． >x>x2 x x x x 【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3， Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（ ） A．P>Q B．P≥Q C．Pq B．pb，那么bb.即a>b bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c. ⇔ (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. ⇒ (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（ ） A．a+c<2+c B．a2ab B．a2b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，则a|a|>b|b| b c D．若a>b>c>0，则 < ． a−b a−c 【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ） a b A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c c d 1 1 C．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若ab>0，a>b，则 < a b 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式： (1)已知a>b，e>f，c>0，求证f −acb>0,c > ． a−b a−c a−c 学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a0； (2)若a<0，−1