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专题 2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 不等关系的建立】......................................................................................................................................1
【题型2 利用作差法比较大小】..............................................................................................................................2
【题型3 利用作商法比较大小】..............................................................................................................................2
【题型4 利用作差法比较大小的应用】..................................................................................................................3
【题型5 利用不等式的性质判断正误】..................................................................................................................4
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】..............................................................................................................5
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】..............................................................................................................6
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再
将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
C．某变量x至少为a可表示为“x>a”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其
中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材
料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要
n(n∈N∗)
条件是（ ）
A．n>800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000
【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请
瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．5x+4 y<200 B．5x+4 y≥200
C．5x+4 y=200 D．5x+4 y≤200
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人
跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到
安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
x x x x
A．4× <100 B．4× ≥100 C．4× ≤100 D．4× >100
0.5 0.5 0.5 0.5
【知识点2 比较大小】
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．
这个基本事实可以表示为：a>b a－b>0，a＝b a－b＝0，a<b a－b<0.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
⇔ ⇔ ⇔
【题型2 利用作差法比较大小】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝√a+b，N＝√a+√b，则M与N的大小关系为
（ ）
A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定
【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知x=−a2−2a+3,y=4−3a，则（ ）
A．x<y B．x= y
C．x>y D．x与y的大小无法判断
【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0<x<1，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A．x2> >x B． >x2>x C．x> >x2 D． >x>x2
x x x x
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，
Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（ ）
A．P>Q B．P≥Q
C．P<Q D．P≤Q
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝√c+1－√c，y＝√c－√c−1，则x，y之间的大小
关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
学科网（北京）股份有限公司【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设
p=(a2+a+1) −1
，
q=a2−a+1
，则（ ）．
A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q
1
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若0<x<1，则x、 、√x、x2中最小的是 .
x
1
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q= ,(a∈R)，则P,Q的大小关系为
a2−a+1
．
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全
票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车
公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：
元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票
2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？
【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面
积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积
分别为am2，bm2．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．
学科网（北京）股份有限公司【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【知识点3 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b b<a.
(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
⇔
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
⇒
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+c<2+c B．a2<c2 C．ac<2c D．a<0
【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（ ）
a 1 1
A．a2>ab B．a2<b2 C． <1 D． <
b a b
【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，则a|a|>b|b|
b c
D．若a>b>c>0，则 < ．
a−b a−c
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
a b
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c<d，则 >
c d
1 1
C．若a>b，c>d，则a−c>b−d D．若ab>0，a>b，则 <
a b
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f −ac<e−bc
√a √b
(2)已知a>b>0,c<d<0，求证：3 <3 ．
d c
a a
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a<b<c，且a+b+c=0，证明： < ．
a−c b−c
（2）证明：√a−√a−2<√a−1−√a−3．(a≥3)
【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
a+b c+d
(1)bc−ad≥0，bd＞0，求证： ≤ ；
b d
b b c
(2)已知a＞b＞c＞0，求证： > > ．
a−b a−c a−c
学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a<b，c<0，则(a−b)c>0；
(2)若a<0，−1<b<0，则a<ab2<ab．
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足−1≤x+ y≤1，1≤x+2y≤3，则x+3 y的取值
范围是？
【变式7-2】（2023·全国·高一假期作业）实数a、b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4.
(1)求实数a、b的取值范围；
(2)求3a−2b的取值范围．
【变式7-3】（2023·高一课时练习）已知实数x,y分别满足，1<x<5，2<y<7.
（1）分别求2x+3 y与4x−5 y的取值范围；
x
（2）若x<y,试分别求x−y及 的取值范围.
y
学科网（北京）股份有限公司
