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专题 1.6 空间角的向量求法大题专项训练（30 道）
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
AB=2，∠BAD=60∘.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值.
2．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
π
AD∥BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为 ．
3
(1)求BC的长；
(2)求二面角D−PB−C的余弦值．
学科网（北京）股份有限公司π
3．（2023春·陕西西安·高一校考期末）如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC=12，∠BAC= ，E，
3
F都在AC上，且AE:EF:FC=3:4:5，BE//FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，
C在点P处重合，得到四棱锥P−EFGB，如图2.
(1)求异面直线PF，BG所成角的余弦值；
(2)若M为PB的中点，求钝二面角B−FM−E的余弦值.
4．（2023春·江苏镇江·高一校考期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，
AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
√5
(2)试确定PA的值为多少时？二面角A−PC−D的余弦值为 .
5
5．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，AB=BC=2CD=2，AD=√3，
学科网（北京）股份有限公司π
现将△ACD沿着对角线AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角P−AC−D为 ．
3
(1)求异面直线PA，BC所成角的余弦值；
(2)求点A到平面PBC的距离．
π
6．（2023春·江苏盐城·高二校考期末）如图，在Rt△AOB中，∠AOB= ，AO=4，BO=2，
2
Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角．动点D在线段
AB上．
(1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值．
7．（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD
中，BC//AD,CD⊥AD, AD=CD=1,BC=2．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：AC⊥平面PAB；
π
(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于 ，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
3
8．（2023秋·高一单元测试）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC⊥平面BDEF，点O为AC
与BD的交点，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°.
(1)求异面直线DE与CF所成角的余弦值；
(2)求二面角A−FB−C的余弦值.
9．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体ABCD−A B C D 的所有棱长都相等，平面
1 1 1 1
CDD C ⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D −AD−C的大小为120°，E为棱C D 的中点．
1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC 上，AE//平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
1
10．（2023春·北京·高二校考期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD
的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；
11．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D、
E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
(1)求证：MN//平面BDE；
√7
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BH所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
21
学科网（北京）股份有限公司12．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）如图，在四棱台ABCD−A B C D 中，AB//CD，
1 1 1 1
， ， ， ．
DA=DC=2 AB=C D =1 ∠ADC=120∘ ∠D DA=∠B BA=90∘
1 1 1 1
(1)证明：平面D C CD⊥平面ABCD；
1 1
7√3
(2)若四棱台ABCD−A B C D 的体积为 ，求直线A A 与平面AB C 所成角的正弦值．
1 1 1 1 4 1 1 1
13．（2023春·河南·高二校联考期末）如图，圆柱O O 的底面半径与高均为2，AB为⊙O 的直径，C,D
1 2 2
分别为⊙O ，⊙O 上的点，直线CD与线段O O 交于O点.
1 2 1 2
(1)证明：O为线段O O 的中点；
1 2
π
(2)若AC与下底面所成的角为 ，求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
6
学科网（北京）股份有限公司14．（2023·上海闵行·上海市校考二模）已知正方体ABCD−A B C D ，点E为A D 中点，直线B C
1 1 1 1 1 1 1 1
交平面CDE于点F.
(1)证明：点F为B C 的中点；
1 1
(2)若点 为棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为6√5，求A M的值.
M A B MF CDE 1
1 1 25 A B
1 1
15．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形
BDEF所在的平面互相垂直.
(1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM//平面ADE；
√15
(2)若∠BAD=60∘，AB=2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为 ，求BF的长.
10
学科网（北京）股份有限公司16．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）如图，在三棱锥P−ABC中，
AB=BC=2√2,PA=PC=AC=4，平面ABC⊥平面PAC.
(1)求异面直线AC与PB间的距离；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30∘，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
17．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）如图，在正三棱柱A B C −ABC中，D为AB的中点，
1 1 1
， ．
⃗C E=λ⃗C C(0<λ<1) A A=√3AB=2√3
1 1 1
1
(1)若λ= ，证明：DE⊥平面A B E；
2 1 1
π
(2)若直线BC 与平面A B E所成角为 ，求λ的值；
1 1 1 3
学科网（北京）股份有限公司18．（2023春·云南玉溪·高二校考期末）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，AB=AC=2，D为BC的中
1 1 1
点，平面BB C C⊥平面ABC.
1 1
(1)证明：AD⊥平面BB C C；
1 1
(2)已知四边形BB C C是边长为2的菱形，且∠B BC=60°，求平面ABC与平面AC D所成角的正弦
1 1 1 1
值.
19．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知E、F分别是正方体ABCD−A B C D 的棱BC、CD的中
1 1 1 1
点，求：
(1)A D与EF所成角的大小；
1
(2)二面角C−D B −C 的大小；
1 1 1
√19
(3)点M在棱CD上，若A M与平面B C CB所成角的正弦值为 ，请判断点M的位置，并说明理由.
1 1 1 19
20．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，
学科网（北京）股份有限公司1
AB//CD，AB=2，AD=CD=1，PC⊥底面ABCD,E是AC的中点，⃗PF= ⃗PD.
3
(1)证明：平面PBC⊥平面ACF.
√10
(2)若直线PE与平面PAB所成角的正弦值为 ，且PC>CD，求平面ACF与平面PAB夹角的余弦值.
15
21．（2023春·江苏扬州·高二统考期末）如图,在直三棱柱ABC−A B C 中,△ABC是以BC为斜边的等腰
1 1 1
直角三角形， , 分别为 上的点,且BD C E .
A A =AB=3 D,E BC,B C = 1 =t(0 ,直线A C与平面A BE所成角的正弦值为 ,求二面角C −AD−C的余弦值.
2 1 1 3 1
学科网（北京）股份有限公司22．（2023春·广东深圳·高一统考期末）如图，三棱锥P−ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为
圆O的直径，且AB=6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧.当EF//平面PAC时，画出二面角E−BF−A
的平面角，并求出它的余弦值.
23．（2023春·江苏南京·高二校考期中）如图，已知在三棱柱 中， ， ，
ABC−A B C A B=1 A A =√5
1 1 1 1 1
AB=BC=2，∠BAC=30∘，平面ABB A ⊥平面ABC.
1 1
(1)求A A 与BC所成角的余弦值；
1
5√13 AE
(2)在棱A A 上是否存在一点E，使得二而角E−BC−B 的余弦值为− ？若存在，求 出 的值，
1 1 26 A A
1
若不存在，说明理由．
学科网（北京）股份有限公司2π
24．（2023·福建福州·福建省校考二模）如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC= ,E为BC的中
3
点，F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.
(1)当AB′=√2时，证明：平面B′ AE⊥平面ABC；
π
(2)已知二面角 B′−EF−A 的大小为 ，棱AC上是否存在点M，使得直线 B′E 与平面 B′MF 所成角的正
4
√10
弦值为 ？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
10
25．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，侧面BCC B 为正方形，
1 1 1 1 1
AB=BC=2,AC=2√3,M,N分别为A B ,AC的中点．
1 1
(1)求证：MN//平面BCC B ；
1 1
(2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A−BM−N的平面角的余弦值．
条件①：BN⊥平面A A C C；
1 1
条件②： ．
B N=√5
1
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
学科网（北京）股份有限公司26．（2023春·江苏徐州·高二校考期中）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的动点，
DE
且满足DE//BC，记 =λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE位置，使得平面MDE⊥平面DECB，连接
BC
MB，MC得到图2，点N为MC的中点.
(1)当EN//平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B−MD−E的大小是否为定值？如果是，请求出二面角B−MD−E
的正弦值；如果不是，请求出二面角B−MD−E的余弦值的取值范围.
27．（2023春·湖北武汉·高一校考期末）如图，四棱台ABCD−A B C D 中，上、下底面均是正方形，
1 1 1 1
且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A B =4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O O垂
1 1 1
直于上下底面，且O O与侧棱所在直线所成的角为45°.
1
(1)求证：BD ∥平面C EF；
1 1
学科网（北京）股份有限公司3√22
(2)线段BF上是否存在点M，使得直线A M与平面C EF所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
1 1 22
BM的长；若不存在，请说明理由.
28．（2023春·江苏宿迁·高二统考期末）如图（1）所示，在△ABC中，AB=4√3，BC=2√3，
∠B=60°，DE垂直平分AB．现将△ADE沿DE折起，使得二面角A−DE−B大小为60°，得到如图
（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）
(1)求点D到面PEC的距离；
(2)求四棱锥P−BCED外接球的体积；
(3)点Q为一动点，满足⃗PQ=λ⃗PE (0<λ<1)，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置．
29．（2023·广东广州·广州市校考模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面
ABCD为菱形，E,F分别为AB，PD的中点.
(1)求证：EF //平面PBC；
学科网（北京）股份有限公司(2)若AD=2√3，二面角E−FC−D的大小为45∘，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求
PD的长.
条件①：DE⊥PC；条件②：PB=PC.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
30．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面
PAB⊥平面PBC．
(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值
√10
为 ，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
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