专题 2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求直线的倾斜角】......................................................................................................................................2
【题型2 求直线的斜率】..........................................................................................................................................2
【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】.........................................................................................................3
【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................................................................3
【题型5 两条直线平行的判定】..............................................................................................................................4
【题型6 由两直线平行求参数】..............................................................................................................................5
【题型7 两条直线垂直的判定】..............................................................................................................................5
【题型8 由两直线垂直求参数】..............................................................................................................................6
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】.............................................................................................6
【知识点1 直线的倾斜角与斜率】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型1 求直线的倾斜角】
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线x−√3 y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【变式1-1】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知直线l的斜率为−1,则l的倾斜角为（ ）
A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．135∘
【变式1-2】（2023春·江苏南京·高二校考期中）直线l经过A(−1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是
（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<√3，直线l的倾斜角α的取值范
围为（ ）
A． [ 0, π ) ∪ (3π ,π ) B． [ 0, π ) ∪ (3π ,π )
3 4 6 4
C． ( π , 3π ) D． [ 0, π ) ∪ [3π ,π )
6 4 3 4
【题型2 求直线的斜率】
π
【例2】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）
3
√3
A． B．−√3 C．√3 D．±√3
2
【变式2-1】（2023春·上海·高二阶段练习）将直线3x−√3 y=0绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线的
斜率是（ ）
√3 √3
A． B．− C．√3 D．−√3
3 3
[π 3π]
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是α∈ , ，则此直线的斜率k的
4 4
取值范围是（ ）
A．[−1,1] B．[−1,0)∪(0,1]
C．[−1,+∞) D．(−∞,−1]∪[1,+∞)
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，设直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则k ，k ，k
1 2 3 1 2 3 1 2 3
的大小关系为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．k <k <k B．k <k <k
1 2 3 1 3 2
C．k <k <k D．k <k <k
2 1 3 3 2 1
【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
2π
【例3】（2023春·河南安阳·高二校联考开学考试）已知点A(2,3),B(−1,x)，直线AB的倾斜角为 ，
3
则x=（ ）
√3
A．3−3√3 B．3+ C．3+3√3 D．6
3
【变式3-1】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设a为实数，已知过两点A(a,3)，B(5,a)的直线的斜
率为1，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知A(1,2)，B(−3,t)，C(5,−6)三点共线，则实数t=
（ ）
A．10 B．4 C．－4 D．－10
【变式3-3】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点A(1,m)，B(m−1,3)的直线的倾斜角是锐角，
则实数m的范围是（ ）
A．(−∞,−3)∪(−2,+∞) B．(−3,−2)
C．(2,3) D．(−∞,2)∪(3,+∞)
【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例4】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知A(2,−3)、B(2,1)，若直线l经过点P(0,−1)，且与线段
AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2]∪[2,+∞) B．[−2,2]
C．(−∞,−1]∪[1,+∞) D．[−1,1]
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知A(3,1)，B(1,2)，若直线x+ay−2=0与线段AB没有公共
点，则实数a的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司(1 ) ( 1)
A．(−∞,−1)∪ ,+∞ B． −1,
2 2
C．(−∞,−2)∪(1,+∞) D．(−2,1)
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）已知点A(2,3)，B(−3,−2)，若直线l过点P(3,1)且与线段AB
相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
1 1
A．k≥ 或k≤−2 B．−2≤k≤
2 2
1
C．k≥−2 D．k≤
2
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点
的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
1 3 2
A．− ≤k≤ B．−2≤k≤
2 2 3
1 3 2
C．k≤− 或k≥ D．k≤−2或k≥
2 2 3
【知识点2 两条直线平行的判定】
1．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α＝α≠90° α＝α＝90°
1 2 1 2
对应关系 l∥l k＝k l∥l 两直线的斜率都不存在
1 2 1 2 1 2
⇔ ⇔
图示
【题型5 两条直线平行的判定】
【例5】（2023·高二课时练习）“直线l 与l 平行”是“直线l 与l 的斜率相等”的（ ）条件
1 2 1 2
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【变式5-1】（2023秋·江西上饶·高二统考期末）下列与直线4x−y−2=0平行的直线的方程是（ ）.
A．4x−y−4=0 B．4x+ y−2=0
C．x−4 y−2=0 D．x+4 y+2=0
【变式5-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）m=4是直线mx+(3m−4)y+3=0与直线
2x+my+3=0平行的（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
学科网（北京）股份有限公司【变式5-3】（2023秋·高二课时练习）直线l：(√2－1)x＋y＝2与直线l：x＋(√2＋1)y＝3的位置关系是(
1 2
)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
【题型6 由两直线平行求参数】
【例6】（2023·江苏·高二假期作业）已知过A(−2,m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m
的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）若直线x=1−2y与2x+4 y+m=0重合，则m的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【变式6-2】（2023春·江苏南通·高二期末）设a∈R，则“直线ax+ y−1=0与直线x+ay+1=0平行”是
“a=1”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线l ：x+a2y+6=0，l ：
1 2
(a−2)x+3ay+2a=0，若l //l ，则a=（ ）
1 2
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
【知识点3 两条直线垂直的判定】
1．两条直线垂直的判定
图示
对应 l⊥l(两直线的斜率都存 l 的斜率不存在，l 的斜率为
1 2 1 2
关系 在) kk＝－1 0 l⊥l
1 2 1 2
【注】判断两条直线是否垂直时：
⇔ ⇔
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与
x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【题型7 两条直线垂直的判定】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）直线l :ax+ y−1=0与直线l :x−ay−1=0的位置关系是（ ）
1 2
A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【变式7-1】（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l，l 的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，
1 2
则l 与l 的位置关系是（ ）
1 2
学科网（北京）股份有限公司A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
2 ( 1)
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线l 的斜率为− ，l 经过点A(1,1)，B 0,− ，
1 3 2 2
则直线l 和l 的位置关系是（ ）
1 2
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【变式7-3】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）
A．2x−3 y−5=0与4x−6 y−5=0 B．2x−3 y−5=0与4x+6 y−5=0
C．2x−3 y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3 y−5=0与6x+4 y−5=0
【题型8 由两直线垂直求参数】
【例8】（2023春·江西宜春·高二校考期末）若直线l :ax+3 y+2=0与直线l :x−(a+1)y+a=0垂直，
1 2
则实数a=（ ）
3 3
A．0 B．1 C．− D．−
4 2
【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）直线 ： ，则“
l (a2−a−2)x+(2a2−5a+2)y+a=0
1
a= ”是“直线l与x轴垂直”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）已知经过点A(−2,0)和点B(1,3a)的直线l 与经过点
1
P(0,−1)和点Q(a,−2a)的直线l 互相垂直，则实数a的值为（ ）
2
A．0 B．1 C．0或1 D．−1或1
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）若直线ax−4 y+2=0与直线2x+5 y+c=0垂直，垂足为(1,b)，
则a+b+c=（ ）
A．−6 B．4 C．−10 D．−4
【题型9 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例9】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0)，试判定
四边形ABCD的形状．
学科网（北京）股份有限公司【变式9-1】（2023秋·高二课时练习）已知△ABC的顶点分别为A(5,−1)、B(1,1)、C(2,m)，若
△ABC为直角三角形，求实数m的值．
【变式9-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A(0,3),B(−1,0),C(3,0)，求点D的坐标，使四边形
ABCD为等腰梯形．
【变式9-3】（2023秋·广东广州·高二校考期中）已知四边形MNPQ的顶点
M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2).
(1)求斜率k 与斜率k ；
MN PQ
(2)求证：四边形MNPQ为矩形.
学科网（北京）股份有限公司
