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专题 1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求空间点的坐标】......................................................................................................................................1
【题型2 空间向量运算的坐标表示】......................................................................................................................3
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】.........................................................................................................4
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】.........................................................................................................6
【题型5 空间向量模长的坐标表示】......................................................................................................................8
【题型6 空间向量平行的坐标表示】....................................................................................................................11
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】....................................................................................................................13
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】...........................................................................................................15
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为
正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了
一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别
称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的
正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位
置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单位
正交基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记
作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A(−1,1,3)，则点A关于yOz平面
的对称点的坐标为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．(1,1,−3) B．(−1,−1,−3) C．(1,1,3) D．(−1,−1,3)
【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得A(−1,1,3)关于yOz平面的对称点的坐标为(1,1,3)，
故选：C.
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量⃗AB=(−1,6,−3)，则点B的
坐标是（ ）
A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)
【解题思路】设B(x,y,z)，表达出⃗AB=(x−3,y+1,z)，从而列出方程组，求出点B的坐标为(2,5,−3).
【解答过程】设B(x,y,z)，则⃗AB=(x−3,y+1,z)，
因为⃗AB=(−1,6,−3)，所以x−3=−1,y+1=6,z=−3，解得：x=2,y=5,z=−3，
故点B的坐标为(2,5,−3).
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A(1,2,3)，点B(4,−1,0)，且⃗AC=2⃗CB，则点C的
坐标为（ ）
A．(3,0,1) B．(2,1,2)
(3 3 3) (5 1 3)
C． ,− ,− D． , ,
2 2 2 2 2 2
【解题思路】设C(x,y,z)，根据⃗AC=2⃗CB列方程组即可求解.
【解答过程】设C(x,y,z)，则⃗AC=(x−1,y−2,z−3)，⃗CB=(4−x,−1−y,−z)，
因为⃗AC=2⃗CB，所以¿，解得¿.
故点C的坐标为(3,0,1).
故选:A.
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P (x,−y,z)
1
②点P关于yOz平面的对称点是P (−x,y,z)
2
③点P关于y轴的对称点是P (x,−y,z)
3
④点P关于原点的对称点是P (−x,−y,−z)
4
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答过程】点P关于x轴的对称点的坐标是(x，−y，−z)，故①错误；
点P关于yOz平面的对称点的坐标是(−x，y，z)，则②正确；
学科网（北京）股份有限公司点P关于y轴的对称点的坐标是(−x，y，−z)，则③错误；
点P关于原点的对称点的坐标是(−x，−y，−z)，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，
故选：C.
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，
y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝
(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，有
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa λa＝(λa，λa，λa)，λ∈R
1 2 3
数量积 a·b a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量⃗a=(3,−4,2)，⃗b=(2,−3,1)，则⃗a−2⃗b=（ ）
A．(7,−10,4) B．(5,−7,3) C．(1,−1,1) D．(−1,2,0)
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【解答过程】⃗a−2⃗b=(3−2×2,−4−2×(−3),2−2×1)=(−1,2,0)，
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量⃗AB=(2,3,1),⃗AC=(4,5,3)，那么⃗BC=（
）
A．(−2,−2,−2) B．（8，15，3）C．（6，8，4） D．（2，2，2）
【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.
【解答过程】因为⃗AB=(2,3,1),⃗AC=(4,5,3)，
所以⃗BC=⃗AC−⃗AB=(4−2,5−3,3−1)=(2,2,2).
故选：D.
1
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量⃗a=(2,3,−4),⃗b=(−4,−3,−2),⃗b= ⃗c−2⃗a,则⃗c=
2
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．(0,3,−6) B．(0,6,−20) C．(0,6,−6) D．(6,6,−6)
【解题思路】推导出⃗c=4⃗a+2⃗b,利用向量坐标运算法则直接求解.
1
【解答过程】∵向量⃗a=(2,3,−4),⃗b=(−4,−3,−2),⃗b= ⃗c−2⃗a,
2
∴⃗c=4⃗a+2⃗b=(8,12,−16)+(−8,−6,−4)=(0,6,−20).
故选:B.
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量⃑AB=（﹣3，5，
2），⃑CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则⃑EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【解答过程】如图，取AC中点M，连接ME,MF, 如图，
1 3 5 1 7 1
则⃑ME= ⃑AB=(− , ,1), ⃑MF= ⃑CD=(− ,− ,−2),
2 2 2 2 2 2
而⃑EF=⃑MF−⃑ME=(−2,−3,−3),
故选：B.
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则⃗CA⋅⃗CB=（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【解题思路】先求出⃗CA，⃗CB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】由已知，⃗CA=(2−3,−4−(−4),−1−1)=(−1,0,−2)，
⃗CB=(−1−3,5−(−4),1−1)=(−4,9,0)，
∴⃗CA⋅⃗CB=4+0+0=4.
故选：C．
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若 ，则 的值为（ ）
⃗a=(2,3,2),⃗b=(1,2,2),⃗c=(−1,2,2) (⃗a−⃗b)⋅⃗c
A．−1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【解答过程】因为 ，
⃗a=(2,3,2),⃗b=(1,2,2),⃗c=(−1,2,2)
所以 .
(⃗a−⃗b)⋅⃗c=(1,1,0)⋅(−1,2,2)=−1+2+0=1
故选：C.
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A B C D 的上底
1 1 1 1
面A B C D 的中心为O ，则⃑AO ⋅⃑AC 的值为（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出⃑AO ⋅⃑AC .
1 1
【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，
(1 1 )
A(1,0,0),O , ,1 ,C (0,1,1)，
1 2 2 1
( 1 1 )
⃑AO = − , ,1 ,⃑AC =(−1,1,1)，
1 2 2 1
( 1 1 ) 1 1
⃑AO ⋅⃑AC = − , ,1 ⋅(−1,1,1)= + +1=2
1 1 2 2 2 2
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A B C D E F 的底面边长
1 1 1 1 1 1
为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则⃗AP⋅⃗AB的取值范围是（ ）
1 3 3 1
A．(− , ) B．(− , )
2 2 2 2
1 3
C．(− ,1) D．(0, )
2 2
1 3
【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(x,y,z)，由正六边形的性质可知− 的值；
2
(2)若 ，求实数 的值.
(k⃗a+⃗b)∥(⃗a−3⃗b) k
【解题思路】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求
解.
1
【解答过程】（1）由已知可得⃗c= ⃗b=(−1,1,2)，⃗a=(1,4,−2)，
2
⃗a⋅⃗c 1×(−1)+4×1+(−2)×2 −1 √14
∴cos<⃗a,⃗c>= = = =− .
|⃗a||⃗c| √1+16+4×√1+1+4 √21√6 42
（2） ， ，
k⃗a+⃗b=(k−2,4k+2,−2k+4) ⃗a−3⃗b=(7,−2,−14)
∵ ，∴存在实数 使得 ，
(k⃗a+⃗b)∥(⃗a−3⃗b) m k⃗a+⃗b=m(⃗a−3⃗b)
1
∴k−2=7m，4k+2=−2m，−2k+4=−14m，联立解得k=− .
3
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDABC D 中，E是棱DD的中点，P、Q分别为线段
1 1 1 1 1
BD，BD上的点，且3 ＝ ，若PQ⊥AE， ＝λ ，求λ的值．
1 1 ⃗B P ⃗PD ⃗BD ⃗DQ
1 1
【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出A,E,B,B ,D 的坐标，设点P的坐标为
1 1
(a，a，1)和Q的坐标为(b，b，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q的坐
标，进而可求出λ.
【解答过程】以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
⃗DA ⃗DC ⃗DD
1
1
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E(0,0, )，B(1，1，0)，
2
B(1，1，1)，D(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
1 1
学科网（北京）股份有限公司3
因为3⃗B P＝⃗PD ，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a= ，
1 1 4
3 3
所以点P的坐标为( , ,1).由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
4 4
3 3 1 3 1 1
所以⃗PQ⋅⃗AE＝0，所以(b− ,b− ,−1)·(−1,0, )＝0，即−(b− )− =0，解得b= ，
4 4 2 4 2 4
1 1 1 1
所以点Q的坐标为( , ,0)，因为⃗BD=λ⃗DQ，所以(−1,−1,0)＝λ( , ,0)，
4 4 4 4
λ
所以 =−1，故λ＝－4.
4
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设⃗a=⃗AB,
.若 与 垂直，求 满足的关系式.
⃗b=⃗AC m(⃗a+⃗b)+n(⃗a−⃗b) 2⃗a−⃗b m,n
【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.
【解答过程】 , ，
⃗a=⃗AB=(1,1,0)⃗b=⃗AC=(−1,0,2)
， ， ，
⃗a+⃗b=(0,1,2) ⃗a−⃗b=(2,1,−2) 2⃗a−⃗b=(3,2,−2)
，
m(⃗a+⃗b)+n(⃗a−⃗b) =m(0,1,2)+n(2,1,−2)=(2n,m+n,2m−2n)
所以(2n,m+n,2m−2n)⋅(3,2,−2)=0，
所以6n+2(m+n)−2(2m−2n)=0，即m=6n(m≠0).
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知 ， ．
⃗a=(3,2,−1) ⃗b=(2,1,2)
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)
(2)当 时，求实数k的值．
(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+k⃗b)
【解题思路】（1）根据空间向量的运算，先求出⃗a−⃗b，⃗a+2⃗b，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出⃗a−⃗b，⃗a+k⃗b，根据垂直关系可知它们数量积为0，据此计算.
【解答过程】（1）因为 ， ，
⃗a=(3,2,−1) ⃗b=(2,1,2)
所以 ， ，
⃗a−⃗b=(1,1,−3) ⃗a+2⃗b=(3,2,−1)+2(2,1,2)=(7,4,3)
所以
(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)=1×7+1×4+(−3)×3=2
（2）因为 ， ，
⃗a=(3,2,−1) ⃗b=(2,1,2)
所以 ，由（1） ，
⃗a+k⃗b=(3,2,−1)+k(2,1,2)=(3+2k,2+k,−1+2k) ⃗a−⃗b=(1,1,−3)
因为 ，所以 ，
(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+k⃗b) (⃗a−⃗b)⋅(⃗a+k⃗b)=0
8
所以3+2k+2+k−3(2k−1)=0，解得k= .
3
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,3)，
C(3,0,1)，设⃗a=⃗AB，⃗b=⃗AC.
(1)若|⃗c|=3，且⃗c∥⃗BC，求向量⃗c；
(2)已知向量⃗a+k⃗b与⃗b互相垂直，求k的值.
【解题思路】（1）由⃗c∥⃗BC可得存在非零实数m，使得⃗c=m⃗BC，根据向量的坐标运算结合|⃗c|=3，即可
求解；
（2）根据向量垂直的条件即可解答.
【解答过程】（1）∵A(2,0,−2)，B(1,−1,3)，C(3,0,1)，
∴⃗BC=(3,0,1)−(1,−1,3)=(2,1,−2)，
又|⃗c|=3，且⃗c∥⃗BC，
∴存在非零实数m，使得⃗c=m⃗BC=(2m,m,−2m)，
∴ ，
|⃗c|=√(2m)2+(m)2+(−2m)2=3
∴m=±1，
学科网（北京）股份有限公司∴⃗c=(2,1,−2)或⃗c=(− 2,)−；1,2
（2）⃗a=⃗AB=(− 1,)−，1⃗b,5=⃗AC=(1,0,3)，
∴ ，
⃗a+k⃗b=(−1+k,−1,5+3 k)
∵向量⃗a+k⃗b与⃗b互相垂直，
7
∴(⃗a+k⃗b)⋅⃗b=−1+ k+0+3(5+3k)=0，解得k=− ，
5
7
故k=− .
5
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知 ， ，点 ，
⃗a=(1,−4,5) ⃗b=(−2,3,2) A(−3,−2,3)
B(−2,−3,2)．
(1)求 的值．
|2⃗a+⃗b|
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得⃗OE⊥⃗b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（O为坐标原点）
【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；
（2）利用空间向量共线定理得到⃗OE关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E
的坐标.
【解答过程】（1）因为 ， ，
⃗a=(1,−4,5) ⃗b=(−2,3,2)
所以 ，
2⃗a+⃗b=2×(1,−4,5)+(−2,3,2)=(2,−8,10)+(−2,3,2)=(0,−5,12)
则 .
|2⃗a+⃗b|=√02+(−5) 2+122=13
（2）假设线段AB上存在一点E，使得⃗OE⊥⃗b，则设⃗AE=λ⃗AB(0≤λ≤1)，
因为A(−3,−2,3)，B(−2,−3,2)，所以⃗AB=(−2,−3,2)−(−3,−2,3)=(1,−1,−1)，
又因为⃗OE−⃗OA=⃗AE=λ⃗AB，
所以⃗OE=λ⃗AB+⃗OA=(λ,−λ,−λ)+(−3,−2,3)=(λ−3,−λ−2,−λ+3)，
因为 ， ，
⃗OE⊥⃗b ⃗b=(−2,3,2)
6
所以−2(λ−3)+3(−λ−2)+2(−λ+3)=0，解得λ= ，满足0≤λ≤1，
7
学科网（北京）股份有限公司所以⃗OE= (6 −3,− 6 −2,− 6 +3 ) = ( − 15 ,− 20 , 15) ，即E ( − 15 ,− 20 , 15) ，
7 7 7 7 7 7 7 7 7
( 15 20 15)
所以线段AB上存在一点E，使得⃗OE⊥⃗b，且E − ,− , .
7 7 7
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，
1 1 1 1 1
1
BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD．求cos⟨⃗EF,⃗C G⟩．
4 1
【解题思路】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
( 1) (1 1 ) ( 3 )
则有D(0,0,0) E 0,0, ，F , ,0 ，C(0,1,0)，C (0,1,1)，B (1,1,1)，G 0, ,0 ，
2 2 2 1 1 4
⃗EF= (1 , 1 ,− 1) ，⃗C G= ( 0,− 1 ,−1 ) ，
2 2 2 1 4
所以 ⃗ |C G|= √17 ，|⃗EF|= √3 ，⃗EF⋅⃗C G= 1 ×0+ 1 × ( − 1) + ( − 1) ×(−1)= 3 .
1 4 2 1 2 2 4 2 8
3
⃗EF⋅⃗C G 8 √51
所以cos⟨⃗EF,⃗C G⟩= 1 = = .
1 |⃗EF|⃗
|C G|
√3 √17 17
×
1
2 4
学科网（北京）股份有限公司【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量⃗a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
(1)求|a|；
(2)求向量⃑a与⃑b夹角的余弦值.
【解题思路】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【解答过程】（1）因为 ，所以 .
a=(−4,2,4) |a|=√(−4) 2+22+42=√36=6
（2）因为a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2)，所以a⋅b=(−4,2,4)⋅(−6,3,−2)=24+6−8=22，
22 11
又因为|⃗a|=6,|b|=√(−6) 2+32+(−2) 2=7，所以cos⟨ ⃑a,⃗b⟩= = .
6×7 21
11
故⃑a与⃑b夹角的余弦值为 .
12
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，⃗a=⃗PM，
⃗b=⃗PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当k⃗a+⃗b与k⃗a−2⃗b的夹角为钝角时，求k的范围．
【解题思路】（1）应用向量坐标表示有 ， ，由向量夹角的坐标运算可得
⃗a=(1,1,0) ⃗b=(−1,0,2)
√10
cos<⃗a,⃗b>=− ，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
10
（2）向量坐标表示得 ， ，它们的夹角 为钝角，即 ，
k⃗a+⃗b=(k−1,k,2) k⃗a−2⃗b=(k+2,k,−4) θ cosθ<0
即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【解答过程】（1）由题设 ， ，则 ⃗a⋅⃗b −1 √10，
⃗a=(1,1,0) ⃗b=(−1,0,2) cos<⃗a,⃗b>= = =−
|⃗a||⃗b| √2×√5 10
√10 3√10
所以cos∠MPN=− ，故在△PMN中sin∠MPN= ，
10 10
1 3√10 3
故△PMN的面积为 ×√2×√5× = .
2 10 2
（2）由（1）知： ， ，且它们夹角 为钝角，
k⃗a+⃗b=(k−1,k,2) k⃗a−2⃗b=(k+2,k,−4) θ
学科网（北京）股份有限公司所以
(k−1)(k+2)+k2−8
，即 ，
cosθ= <0 (k−1)(k+2)+k2−8<0
√(k−1) 2+k2+4⋅ √(k+2) 2+k2+16
5
所以2k2+k−10=(2k+5)(k−2)<0，可得− ；
1
(3)求FH的长．
【解题思路】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明⃑EF⊥⃑B C即
1
可；
（2）求出 的坐标，再根据 ⃑EF⋅⃑C G 即可求得答案；
⃑EF,⃑C G cos<⃑EF,⃑C G>= 1
1 1 |⃑EF|⋅|⃑C G|
1
（3）转化为求|⃑HF|即可.
【解答过程】（1）解：如图，以D为原点，DA,DC,DD 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系
1
D−xyz，
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则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C (0,2,2),B (2,2,2),G(0, ,0),
1 1 3
因为⃑EF=(1,1,−1),⃑B C=(−2,0,−2)，
1
所以⃑EF⋅⃑BC=(1,1,−1)⋅(−2,0,−2)=1×(−2)+1×0+(−1)×(−2)=0，
所以⃑EF⊥⃑B C，
1
故EF⊥B C；
1
2 2√10
（2）解：因为⃑C G=(0,− ,−2)，所以|⃑C G|=
1 3 1 3
2 2 4
因为|⃑EF|=√3，且⃑EF⋅⃑C G=(1,1,−1)⋅(0,− ,−2)=2− = ,
1 3 3 3
4
⃑EF⋅⃑C G 3 4 3 2 √30
所以cos<⃑EF,⃑C G>= 1 = = ⋅ = = ；
1 |⃑EF||⃑C G| 2√10 3 2√30 √30 15
1 √3⋅
3
5
（3）解：因为H是C G的中点，所以H(0, ,1)
1 3
又因为F(1,1,0)，
2
所以⃑HF=(1,− ,−1),
3
√ 2 2 √22 √22.
|⃑FH|= 12+(− ) +(−1) 2= =
3 9 3
√22
即FH= .
3
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