文档内容
2024—2025 学年度第一学期高二年级数学期中练习
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.
【详解】因为直线 可化为 ，
则其斜率为 ，设其倾斜角为 ，
则 ，所以 .
故选：B.
2. 正方体 的棱长为a，则棱 到面 的距离为（ ）
A. B. a C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，它们交于点 ，证明 平面 ，得 的长即为棱 到面
的距离，
【详解】如图，连接 ，它们交于点 ，正方形中 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ，所以 平面 ，所以 的长即为棱 到面 的距离，而 ，
所以所求距离为 ．
故选：C．
3. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中， （ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过所给平行六面体 ，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解.
【详解】由题中所给平行六面体 可知， ， ，
故 ．
故选：B4. 已知直线 ，若 ，则 （ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【
分析】由条件结合直线平行结论列方程求 ，并对所得结果进行检验.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ， ，直线 重合，不满足要求，
当 时， ， ，直线 平行，满足要求，
故选：B.
5. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.
【详解】A，若 ，则 或异面，故该选项错误；
B，若 ，则 或相交，故该选项错误；
C，若 ，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D，若 ，则利用面面垂直的性质可得 ，故该选项正确.
故选：D.
6. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个
组合体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该组合体可视作一个正方体和 个球体的组合体，进而求出体积.
【详解】由题意，该组合体是一个正方体和 个球体的组合体，其体积为 .
故选：A.
7. 已知直线 ， ，则“ ”是“直线 与 相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.
【详解】由题意可得直线 与 相交，
则当 时，满足 ，即“ ”是“直线 与 相交”的充分条件；
当直线 与 相交时，不一定有 ，比如 也满足，所以“
”是“直线 与 相交”的充分不必要条件.
故选:A.
8. 已知直线 ： 和点 ， ，若l与线段 相交，则实数a的取值范围是（
）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件作图并求出直线 的定点 ，然后分别求出直线 和直线 的斜率，结合图像
求解即可.
【详解】由直线 ： 可知直线 必过定点 ，且直线 的斜率为 ，如下图所示：
由斜率公式可知，直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
若 与线段 相交，只需要 或 ，故实数a的取值范围是 或 .
故选：D.
9. 当曲线 与直线 有两个相异的交点时，实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像计算直线过 时和相切时的斜率，计算得到答案.
【详解】如图所示：
∵曲线 ，直线 ，
∴ ， ， ，
圆心 ，直线过定点 ，
直线过 时，有两个交点，此时 ， ，
直线与下半圆相切时， ， ，
.
∴
故答案选D．【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉 的取值范围是容易犯的错误.
10. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度，常用测量距离的方式有3种．设 ， ，则欧几里得距离
；曼哈顿距离 ，余弦距离
，其中 （ 为坐标原点）．若点 ，
，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析可得 在正方形 的边上运动，结合图象分析 的最大值，即可得结
果.
【详解】设 ，则 ，即 ，
可知 表示正方形 ，其中 ，即点 在正方形 的边上运动，
因为 ，由图可知：
当 取到最小值，即 最大，
点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，不妨取 ，
则 ；
因为 ，所以 的最大值为 .
故选：C.
二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.
11. 两平行直线 ： 与 ： 之间的距离是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.
【详解】 .故答案为： .
12. 如图，在正方体 中，M，N分别为DB， 的中点，则直线 和BN的夹角的
余弦值为______
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行
求解.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则 ，
故 和BN的夹角的余弦值为 .
故答案为：13. 已知圆 ，过点 作圆的切线，则切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程.
【详解】因为 ，所以点 在圆上，
设切线的斜率为 ，则 ， .
则切线方程为 .
故答案为：
14. 已知直线 过点 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形
面积取最小值时直线 的斜率为_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形 面积取最小值时的直线方程，从而得到
直线的斜率.
【详解】设A(a,0)， ，其中 ，设直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ， ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的
所以 最小值为16，此时 的面积取最小值8，
直线 的斜率为 .
故答案为： .
15. 如图，在正方体 中，P为 的中点， ， ，则下列说法正确的
________（请把正确的序号写在横线上）
①
②当 时， 平面
③当 时，PQ与CD所成角的余弦值为
④当 时， 平面
【答案】①②③
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，对A，验证两向量的数量积是否为0；对B，证明 与 平行即可得；对C，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D，证明 与 不垂直即可得.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，①正确；
当 时， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
从而 平面 ，②正确；
当 时， ，⃗DC=(1,0,0)，
所以 与 所成角的余弦值为 ，③正确；
当 时， ， ，
，所以 不垂直于 ，所以 不垂直于平面 ，④错误．
故答案为：①②③.
三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知 的顶点 ， ， .
（1）求边 上的高 所在直线的方程；
（2）求边 上的中线 所在直线的方程；
（3）求 的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高 的斜率，再利用直线的点斜式即可得解；
（2）利用中位坐标公式求得点 的坐标，再利用直线的两点式即可得解；
（3）利用直线的两点式求得直线 的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
则边 上的高 所在直线的方程为 ，即 ；
【小问2详解】
由题意可知 是 的中点，所以 ，
从而边 上的中线 所在直线的方程为 ，即 ；【小问3详解】
由题意知，边 所在直线的方程为 ，即 ，
所以点A到直线 的距离 ，
又 ，
所以 的面积为 .
17. 已知四边形 为正方形， 为 ， 的交点，现将三角形 沿 折起到 位置，使
得 ，得到三棱锥 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）棱 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求 ；若不
存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得 ，结合线线垂直可得 ，根据面面垂直判
定定理即可证得结论；（2）以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐
标运算，设 ，分别求平面 与平面 的法向量，根据面面夹角
余弦值公式列方程求解 即可得结论.
【小问1详解】
因为四边形 为正方形，所以 ， ，
所以折起后， ， ，
由于折起前有 ，且折起后 ，
所以折起后有 ，即 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
存在，理由如下：
由（1）知 ， ， ，
所以以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，则 ， ， ，
假设存在满足题意的点 ，设 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，即 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
所以 ，
整理得
解得 或 （舍），
所以在棱 上存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 .
的
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1 正方形， 为棱 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥 唯一确定，
并求：
（i）直线 与平面 所成角的正弦值；
（ii）点 到平面 的距离．
条件①：二面角 的大小为 ；
条件②：
条件③： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于 ，连接 ，由 证明 平面 ；
（2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到 平面 ，建立空间直角坐标系，求出法向量，求
解 与平面 所成角的正弦值，计算点 到平面 的距离．
【小问1详解】
（1）连接 ，交 于 ，连接 ，
底面 是正方形，故 是 的中点，的
又因为 为棱 中点，
所以，在 中 ，
而 平面 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
选①②：
因为四边形 是正方形，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为二面角 的大小为 ，平面 平面 ，所以
，
在 中， ，
所以 ，
故 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
选①③：
因为四边形 是正方形，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为二面角 的大小为 ，平面 平面 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 为 中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
选②③：
因为四边形 是正方形，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 为 中点，所以 ，
在 中， ，
故 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
选①②③同上．
以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
令 为面 的一个法向量，则
令 ，则 ，
（i）因为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
（ii）由（i）知点 到平面 的距离 ．19. 设二次函数 的图象与两坐标轴的交点分别记为 ， ， ，曲线 是经过这三点的圆．
（1）求圆 的方程；
（2）过 作直线 与圆 相交于 ， 两点．
（i） 是否是定值？如果是，请求出这个定值；
（ii）设 ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）（i） 是定值，定值为2；（ii）
【解析】
【分析】（1）分别求出 ， ， 的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，求出 的坐标，进而可求 的值，当直线斜率存在时，
假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出 并化简，然后计算
即可；（ii）同（i）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易
求得 ，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出 关于
的表达式，结合函数性质即可求最大值.
【小问1详解】
设二次函数 与x轴分别交于 ，与y轴交于点 ，令 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，则 ，
设圆C的方程为 ，将点M、N、G的坐标代入可得 ，解得 ，
则 ，化为标准式为 .
【小问2详解】
是定值.
（i）当直线 的斜率不存在时，则 方程为 ，
联立 ，可得 或 ，
即 ，则 ， ，则 ；
当直线 的斜率存在时，设 方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线与圆的方程 ，消去y可得 ，
由韦达定理可得 ，
且 ，
，
则
；
综上所述， 是定值.（ii）由（i）可知，当直线 的斜率不存在时， ，
且 ，则 ， ，则
；
当直线 的斜率存在时，设 方程为 ，
则
令 ，则
令
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；当 ，即 ， 时，
取最大值 .所以 .
