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2024—2025 学年度上学期第一次月考
高二数学试题
本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束
后，只交答题卡.
第I卷客观题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.
【详解】依题意可知直线的斜率为 ，故倾斜角为120∘.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.
2. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知： ，解得 ，故选
A．
考点：圆的一般方程．
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，O是坐标原点，且有
，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 中点为C，由条件得出 与 的关系结合点到直线的距离解不等式即可.
【详解】设 中点为C，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
又∵直线 与圆 交于不同的两点 ，
∴ ，故 ，
则 ，
.
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司4. “ ”是“直线 和直线 平行且不重合”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分必要条件的判断，结合直线的位置关系即可求解．
【详解】当 时，两直线分别为： ， ，
∴两直线斜率相等且 ，
∴两条直线平行且不重合；充分性成立，
若两直线平行且不重合，则 ，
∴ ，必要性成立，
综上所述， 是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C．
5. 已知圆 关于直线 对称，则 的最小值是（
）
.
A 2 B. 3 C. 6 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】转化为直线 过圆心即 ，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为圆 关于直线 对称，
所以直线 过圆心 ，即 ，
则
因为 ，且 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 即 等号成立，
则 的最小值是4.
故选：D.
6. 已 知 ， 直 线 ： 与 ： 的 交 点 在 圆 ：
上，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】 ，所以直线 恒过点 ，
，所以直线 恒过点 ，
由两条直线的方程可以判断直线 与直线 互相垂直，
因此点 在以 为直径的圆上，线段 中点为 ，
半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由已知条件可知点 在圆 ： 上，
所以圆 与圆 相交或相切， ，
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学科网（北京）股份有限公司因此有 ，
解得： ，所以则 的最大值是 ，
故选：A
【点睛】关键点睛：通过直线方程判断交点 的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.
7. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点， 是椭圆 上一点，
与 轴交于点 ．若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由 得 ，则 求出|PF |，结合椭圆定义求出 ，再
1
由 可得答案.
【详解】由 ，得 ，则 ，则 ，
则 ，即 ，解得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 或 ，
故 或 ．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出 ，利用勾股定理求出答案.
8. 在平面直线坐标系中,定义 为两点 的“切比
雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线 的“切比雪夫距离”记作
给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
④定点 动点 满足 则点P的轨迹
与直线 ( 为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】①讨论 ， ， 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
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学科网（北京）股份有限公司②设点 是直线 上一点，且 ，可得 ， ，讨论 ，
的大小，可得距离 ，再由函数的性质，可得最小值；
③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
④讨论 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】解：①对任意三点 、 、 ，若它们共线，设 ， 、 ， ，
的
， ，如右图，结合三角形 相似可得 ， ，
为 ， ， ，或 ， ， ，则 ， ， ， ；
若 ， 或 ， 对调，可得 ， ， ， ；
若 ， ， 不共线，且三角形中 为锐角或钝角，由矩形 或矩形 ，
， ， ， ；
则对任意的三点 ， ， ，都有 ， ， ， ；故①正确；
设点 是直线 上一点，且 ，
可得 ， ，
由 ，解得 ，即有 ，
当 时，取得最小值 ；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，解得 或 ，即有 ，
的范围是 ， ， ， ．无最值，
综上可得， ， 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于 的点设为 ，则 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点 、 ，动点
满足 ， ， ，
可得 不 轴上， 在线段 间成立，
可得 ，解得 ，
由对称性可得 也成立，即有两点 满足条件；
若 在第一象限内，满足 ， ， ，
即为 ，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点 的轨迹与直线 为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
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学科网（北京）股份有限公司故选: .
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 过 两点的直线方程为
B. 已知直线l过点 ，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为
C. “直线 与直线 垂直”是“ ”的必要不充分条件
D. 直线 的距离为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线的两点式方程的适用范围，直线方程的求解，以及直线与直线位置关系的判断以及两平
行线的距离公式，结合充分性和必要性的判断，对选项进行逐一分析即可判断.
【详解】A：若两点的纵坐标或者横坐标相等，则不能用该方程表示直线，故错误；
B：直线l过点 ，且在x，y轴上截距相等，除直线 外，还可以是直线y=2x，故错误；
C：直线 与直线 垂直的充要条件是 ，解得
或 ；
故 ，“直线 与直线 垂直”是“ ”的必要不充分条件，故
正确；
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学科网（北京）股份有限公司D：因为直线 ， 平行，则两平行直线的距离 ，故正确.
综上所述，正确的选项是CD.
故选：CD.
10. 已知 ， 是圆O： 上两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若点 到直线 的距离为 ，则
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意，可判断得 为正三角形，即可得 ，判断A；根据几何法求解弦长即可
判断B，将 的值转化为单位圆上的 到直线 的距离之和，取
中点 ，从而转化为点 到直线 的距离的 倍求解，数形结合可判断得 在以点 为圆心，
半径为 的圆上，从而求解出点 到直线 的距离的最值，即可得 到直线 的
距离之和的最值，从而得 的最值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， 是圆O： 上两点，
当 时， 为正三角形，所以 ，A正确；
点 到直线 的距离为 时， ，B错误；
的值可转化为单位圆上的 到直线
的距离之和，又 ，
所以 为等腰三角形，设 是 的中点，
则 ，且 ，
则 在以点 为圆心，半径为 的圆上，
两点到直线 的距离之和为
点 到直线 的距离的 倍，
点 到直线 的距离为 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ，
最小值为 ，则 两点到直线 的距离之和
最大值为 ，最小值为 .
所以 的最大值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司最小值为 ，C错误，D正确；
故选：AD
【点睛】方法点睛：对于圆上任意一点到直线距离的最值计算，需要先计算圆心到直线的距离 ，从而可
求解距离的最大值为 ，最小值为 .
11. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点（不在 轴上），
外接圆的圆心为 ，半径为 ， 内切圆的圆心为 ，半径为 ，直线 交 轴于点 ，
为坐标原点，则（ ）
A. 最大时， B. 的最小值为
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦点三角形的面积 ，可知其最大值，再根据内切圆半径公式可判断A选项，
根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项，根据内切圆的性质可得 ，即可判断C选项，
再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 ， ， ，
A选项：设 ，则 ， ， ，所以当点
在短轴端点时，面积最大值为 ，
此时由内切圆性质可知 ，
则 ，A选项错误；
设 ， ，则 ，
B选项：如图所示，设 中点为 ，则 ，所以
，
又 ，
同理 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，当且仅当 时，等号成立，B选项正确；
C选项：设 与 交于点 ，由角分线定理可知 ，即
，即 ，
所以 ，所以 ，C选项正确；
D选项：设 ，由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
则 ，且 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
，
所以 ，
则 ，D选项正确；
故选：BCD.
【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常
利用正弦定理、余弦定理、|PF|＋|PF|＝2a，得到a，c的关系．
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第II卷主观题
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学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与圆 同圆心，且过点 的圆的方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】设所求圆的方程为 ，代入点 求出 即可得所求圆的方程.
【详解】依题意，设所求圆的方程为 ，
由于所求圆过点 ，所以 ，解得 .
所以所求圆的方程为 ．
故答案为: .
13. 圆 与圆 的公共弦所在直线被圆 ：
所截得的弦长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论.
【详解】圆 与圆 的两方程作差得 ，
即公共弦所在直线方程为 ，
又圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
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学科网（北京）股份有限公司则圆 被直线 所截得的弦长为 .
故答案为： .
14. 如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作椭圆的切线，切点为T，若M为
x轴上的点，满足 ，则点M的坐标为______.
【答案】（ ，0）或（ ，0）
【解析】
【分析】通过联立椭圆和切线方程，可解出 坐标，进而利用 ，建立等式条件，解出点
M的坐标
【详解】设 的方程等于 ,不妨设 在 轴上方，即 .
则联立与椭圆的方程，得 ,整理得 ，令
，解得 ,此时方程为 ,解得
因此可知 ,由椭圆方程可知， 所以 ,又因 ，
为
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
（如图）过T做x轴的垂线，记垂足为N
，
则可知 ,因此 ,设 ,则 , 在
,
中，由正弦定理， ,
即 ，解得 或
故答案为：（ ，0）或（ ，0）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）已知直线 经过点 且与直线 垂直，求直线 的方程.
（2）已知直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 的中点为 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由垂直关系可得直线 的斜率，进而由点斜式得到方程；
（2）设出 ，利用中点坐标公式得到两点坐标，从而得到直线方程.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）直线 的斜率 ，则 ，
故直线 的方程为 ；
（2）设 ， 的中点为 ，知 ，
则直线 的方程为 ．
16. 为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度 为32米，拱桥顶点C
离河面8米，
（1）如果以跨度 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所
在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少
要 米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
【答案】（1）
（2）船可以通过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用圆过点 、 可解出圆的方程；
（2）只需判断点P（4，7.5）与圆的位置关系即可.
【小问1详解】
B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为：
由圆过点 、 可得 ，解得 ，
∴拱桥所在的圆方程是：
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学科网（北京）股份有限公司【
小问2详解】
可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，所以点 在圆内，故船可以通过
17. 已知椭圆 的焦点为 和 ，且椭圆 经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则在 轴上是否存在定点 ，使得 的值为
定值？若存在，求出点 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在， ，定值为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆 的焦点设椭圆 的方程为 ，代入点 ，即可得 的值，从
而求得椭圆标准方程；
（2）当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，设定点 ，联立直线与椭圆求得交点
坐标关系，再根据向量的坐标运算求 ，消参即可确定定值，再检验直线 的斜率为0时是否符合
即可得结论.
【小问1详解】
已知椭圆 的焦点为 和 ，设椭圆 的方程为 ，
将点 代入椭圆方程，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，解得 （舍去）， ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，设定点 .
联立方程组 ，消掉 可得 ， 恒成立.
设 ，可得 ，
所以
.
要使上式为定值，则 ，解得 ，
此时 .
当直线 的斜率为0时， ，
此时， 也符合.
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学科网（北京）股份有限公司所以存在点 ，使得 为定值 .
18. 已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若点 与点 关于点 对称，点 ，求 的最大值和最小值；
（3）过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 两点，点 ，则是否存在直线 ，使 取得最
大值，若存在，求出此时 的方程，若 不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2） ；
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程求解即可；
（2）根据对称性求出Q点的轨迹方程，再利用三角换元即可求解；
（3）联立直线与圆的方程求得 的范围，再利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式求得 取得最
大值时 的值，从而得解.
【小问1详解】
由已知 ，
化简得 ，即 ，
所以点P的轨迹方程为 ；
【小问2详解】
依题意，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为点 与点 关于点 对称，，所以点P坐标为 ，
因为点P在圆上运动，所以 ，
即点Q的轨迹方程为 ，
不妨设 ，
，
其中 ，
则当 时， 取得最大值 ；
当 时， 取得最小值 ；
【小问3详解】
由题意知 的斜率一定存在，
不妨假设存直线 的斜率为k，且 ，则 ，
联立方程： ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为直线 不经过点 ，则 ，
因为点 到直线 的距离 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， 取得最大值2，此时 ，
所以直线 的方程为 或 .
19. 已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，经过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆交于 、 两点（其中点 在 轴上方）， 的周长为
8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴
和 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
②是否存在 ，使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②存在； ．
【解析】
【分析】（1）由 的周长可求出 的值，从而由离心率的值可求得 ，进而由椭圆中
的关系求出 的值，即可得椭圆的标准方程.
（2）①直线l的方程为 ，与椭圆方程联立求出点 的坐标，再建立空间直角坐标系，求
出点 的坐标，从而可得 ，再利用空间向量的夹角公式即可求解.
②由 8，可得 ，设折叠前
A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的方程 与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求
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学科网（北京）股份有限公司出 的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan 的值.
【详解】解：（1）由椭圆的定义知： ，
的
所以 周长 ，所以 ，
又椭圆离心率为 ，所以 ，所以 ， ，
由题意，椭圆的焦点在 轴上，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）①由直线 ： 与 ，
联立求得 ，（因为点 在 轴上方）以及 ，
再以 为坐标原点，折叠后原 轴负半轴，原 轴，原 轴正半轴所在直线为 ， ， 轴建立空间直角
坐标系，则
， ， ， ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司记异面直线 和 所成角为 ，则 ；
②设折叠前A(x ,y )，B(x ,y )，折叠后 ， 在新图形中对应点记为 ， ， ，
1 1 2 2
，
由 ， ，故 ，
将直线 方程与椭圆方程联立 ，得 ，
， ，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原 轴仍然为 轴，原 轴正半轴为 轴，原 轴负
半轴为 轴）；
， ，
所以 ，（i）
又 ，
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，（ii）
由（i）（ii）可得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形 周长的变化，得到
，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.
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学科网（北京）股份有限公司
