文档内容
专题 1.2 集合间的基本关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 子集、真子集的概念】..............................................................................................................................2
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】..............................................................................................................3
【题型3 判断两个集合是否相等】..........................................................................................................................5
【题型4 根据两个集合相等求参数】......................................................................................................................6
【题型5 空集的判断及应用】..................................................................................................................................7
【题型6 Venn图表示集合的关系】.........................................................................................................................9
【题型7 集合间关系的判断】................................................................................................................................11
【题型8 利用集合间的关系求参数】....................................................................................................................12
【题型9 集合间关系中的新定义问题】................................................................................................................14
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个
定义
元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法 记作 (或 )，读作“A包含于B”(或“B包
与读法
含A”)
图示
或
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ；
结论
(2)对于集合A,B,C，若 ，且 ，则
2．真子集的概念
学科网（北京）股份有限公司如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们
定义
称集合A是集合B的真子集
记法 记作 (或 )
图示
(1) 且 ，则 ；
结论
(2) ，且 ，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能
推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合
B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集
合A.
(4)对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若A B，且A≠B，则A B.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆A B．
A⊂A
C．∅⊆A D．
∅⊂A
≠ ≠
【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.
【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，
∅⊂A
，但是A不是A的真子集，故ACD正确，
≠
B错误，
故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合A={x∣0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【解题思路】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有n个元素的集合的真子集的个数是2n−1个．
【解答过程】A={0,1,2,3}，集合A含有4个元素，真子集的个数是24−1=15，
学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A={0,1,2,3}，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【解题思路】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【解答过程】含有元素0的A的子集有{0}，{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{0,1,2,3}，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合 ，则集合 的所有非空真子集的
A={x∈N|−22}={y|y>2} D．{1,2}={2,1}
【解题思路】根据给定条件，利用集合的意义及表示法逐项分析判断作答.
【解答过程】对于A，因{x|x+ y=1}=R，{y|x+ y=1}=R，即{x|x+ y=1}={y|x+ y=1}，A正确；
对于B，因集合{(x,y)|x+ y=2}的元素为有序数对，而{x|x+ y=2}的元素为实数，两个集合的对象不
同，B不正确；
对于C，因集合{x|x>2}与{y|y>2}都表示大于2的数形成的集合，即{x|x>2}={y|y>2}，C正确；
对于D，由列举法表示集合知{1,2}={2,1}正确，D正确.
故选：B.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合 和
M={(x,y)|x+ y<0,xy>0}
，那么（ ）
P={(x,y)|x<0,y<0}
A．P⊆M B．M⊆P C．M=P D．M≠P
【解题思路】先利用不等式的性质化简集合M，再利用集合与集合间的关系可知，M=N，从而得解.
【解答过程】由¿，得到¿，
所以 ，
M={(x,y)|x+ y<0,xy>0}={(x,y)|x<0,y<0}
又 ，所以 ，
P={(x,y)|x<0,y<0} M=N
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
{ 1 }
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合A= x|x= (2k+1),k∈Z ，
9
{ 4 1 }
B= x|x= k± ,k∈Z ，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（ ）
9 9
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A与B互不包含
【解题思路】对k分奇偶进行讨论，即可判断集合A，B之间的关系.
{ 4 1 }
【解答过程】对于集合A，当k=2n(n∈Z)时，A= x|x= n+ ,n∈Z ，当k=2n−1(n∈Z)时，
9 9
{ 4 1 }
A= x|x= n− ,n∈Z ，所以A=B.
9 9
故选：C.
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合 若 ，则
A={1,a,b},B={a2,a,ab}, A=B
a+b=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求¿和¿,再根据集合元素的互异性可确定a，b的
值，进而得出答案.
【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，
得到¿或¿又根据集合互异性，可知a≠1，
解得¿或¿（舍），所以a=−1,b=0,a+b=−1,
故选:A.
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值
组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【解题思路】利用集合相等求解.
【解答过程】解：因为M=N，
所以x2=5x，
解得x=0或5，
∴x的取值集合为{0,5}，
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
A={1,a,b} B={a2,a,ab} A=B
a2023+b2022=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求¿和¿，再根据集合元素的互异性可确定a，b
的值，进而得出答案.
【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到¿或¿，又根据集合互异性，可知a≠1，解得
(舍)， 和 (舍)，所以 ， ，则 ，
a=1 ¿ ¿ a=−1 b=0 a2023+b2022=(−1) 2023+02022=−1
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋
3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【解题思路】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即x2+(p−1)x+q=0有且只有一个实数解x=2,由
此求得p,q的值，进而求得集合B.
【解答过程】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即x2+(p−1)x+q=0有且只有一个实数解x=2,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：D.
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为∅的是（ ）
A．{0} B．{∅}
C．{x|x2+4=0} D．{x|x+1≤2x}
【解题思路】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】对于A中，由集合{0}中有一个元素0，不符合题意；
对于B中，由集合{∅}中有一个元素∅，不符合题意；
对于C中，由方程x2+4=0，即x2=−4，此时方程无解，可得{x|x2+4=0}=∅，符合题意；
对于D中，不等式x+1≤2x，解得x≥1，{x|x+1≤2x}={x|x≥1}，不符合题意.
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
{x|x+3=3} {(x,y)|y2=−x2,x,y∈R}
C． D．
{x|x2≤0} {x|x2−x+1=0,x∈R}
【解题思路】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【解答过程】选项A，{x|x+3=3}={0}；
选项B， ；
{(x,y)|y2=−x2,x,y∈R}={(0,0)}
选项C， ；
{x|x2≤0}={0}
选项D， ，方程无解， .
x2−x+1=0,Δ=1−4=−3<0 ∴ {x|x2−x+1=0,x∈R}=∅
故选:D.
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①
∅∈{∅}
；②∅⊂{∅}；③{0}⊃∅；④
≠ ≠
0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：
∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；
是任何非空集合的真子集，故∅⊂{∅}、{0}⊃∅，②③正确；
∅
≠ ≠
∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C.
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；
③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；
④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的
文氏图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得集合N，判断出M,N的关系，由此确定正确选项.
【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.
故选：B.
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的
Venn图是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【解题思路】先求集合N,再判断集合间的关系
【解答过程】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N⊆M.
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，集合A与
B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．{2,4,5} B．{1,2,5} C．{1,6} D．{1,3}
【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：B⊆A，
∵A={1,2,3}，
由选项可知：{1,3}⊆A，
故选：D.
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(
)
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
学科网（北京）股份有限公司A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F⊆T，故错误，
③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，
⑤S∈F，故错误，
⑥F⊆U，故正确；
故选D．
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若A B，B=C，则A C.
(3)若A B，A≠B，则A B.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合A={(x,y)|y=|x|}，集合B={(x,y)|y>0,x∈R}，则下列
说法正确的是（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B=A
D．集合A,B间没有包含关系
【解题思路】根据结合A,B所表示点的几何意义，以及原点(0,0)与集合A,B的关系，即可求解.
【解答过程】由集合A={(x,y)|y=|x|}表示函数y=|x|图象上所有的点的集合，
又由结合B={(x,y)|y>0,x∈R}表示x轴上方所有点的集合，
因为(0,0)∈A，但(0,0)∉B，所以集合A与B之间没有包含关系.
故选：D.
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合A={−2,−1,0}，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．{−1} B．{−1,1} C．{−1,0,1} D．{−2,−1,0,1}
【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.
【解答过程】由题可得A是B的子集，
则B={−2,−1,0,1}满足题意.
故选：D.
kπ+π π kπ π
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合M={x|x= − ，k∈Z}，N={x|x= + ，
2 4 4 2
k∈Z}，则（ ）
A．M=N B．M⊊N C．M⊆N D．M⊋N
【解题思路】对于集合N，令k=2m(m∈Z)和k=2m−1(m∈Z)，即得解.
kπ π kπ π
【解答过程】M={x|x= + ，k∈Z}，N={x|x= + ，k∈Z}，
2 4 4 2
mπ π
对于集合N，当k=2m(m∈Z)时，x= + ，m∈Z；
2 2
mπ π
当k=2m−1(m∈Z)时，x= + ，m∈Z．
2 4
∴M⊊N，
故选：B．
k
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若A={x|x= +1,k∈Z}，
6
k 1 2k 1
B={x|x= + ,k∈Z}，C={x|x= + ,k∈Z}，则这三个集合间的关系是（ ）
3 2 3 2
A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B
【解题思路】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.
k+6 (k+3)+3
【解答过程】依题意，A={x|x= ,k∈Z}={x|x= ,k∈Z}，
6 6
2k+3
B={x|x= ,k∈Z}，
6
4k+3 2×2k+3
C={x|x= ,k∈Z}={x|x= ,k∈Z}，而{x|x=k+3,k∈Z}=Z，{偶数}
6 6
={x|x=2k,k∈Z}，
因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，
即B⊆A，
学科网（北京）股份有限公司所以C⊆B⊆A.
故选：C.
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=（ ）
2
A．2 B．1 C． D．−1
3
【解题思路】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【解答过程】因为A⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合 ，若 ，
A={x∈N||x|<2},B={x∣ax−1=0} B A
则实数a=（ ）
1 1
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
2 2
【解题思路】先求得合A={0,1}，再分a=0和a≠0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【解答过程】解：由集合 ，
A={x∈N∗||x|<2}={0,1}
对于方程ax−1=0，
当a=0时，此时方程无解，可得集合B=∅，满足BA；
1 1
当a≠0时，解得x= ，要使得BA，则满足 =1，可得a=1，
a a
所以实数a的值为0或1.
故选：B.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=
（ ）
A．−1 B．−2 C．2 D．0
【解题思路】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求a−b.
a=−1 a=−1
【解答过程】由A⊆B知：A=B，即{ ，得{ ，
−b=1 b=−1
∴a−b=0.
学科网（北京）股份有限公司故选：D.
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合A={x|x≥11}，B=¿，若A⊆B，则实数
m的取值范围是（ ）．
A．(−∞,4] B．(−∞,4) C．(−∞,22) D．(−∞,22]
【解题思路】由集合的包含关系列不等式，即可得结果.
m
【解答过程】由题设，B={x|x> }，又A={x|x≥11}且A⊆B，
2
m
所以 <11，即m<22.
2
故选：C.
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B={x∣x=ab,a∈A,b∈B}，设A={2,3},B={1,2}，
则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【解题思路】结合非空真子集个数(2n−2)的算法即可.
【解答过程】A⋆B={2,3,4,6}，所以集合A⋆B的非空真子集的个数为24−2=14，
故选：B.
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合A−B=¿且x∉B}，若
M={1,2,3,4,5}，N={0,2,3,6,7}，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】先根据题意求出N−M={0,6,7}，从而可求出其真子集个数
【解答过程】由题意，知集合N−M={0,6,7}，所以集合N－M的真子集个数为23−1=7．
故选：C.
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义A∗B={Z|Z=xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，
集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解题思路】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式2n−1求出集合A*B的真子集的个数
【解答过程】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数m,n ，定义某种运算 ，法
则如下：当m,n都是正奇数时，m n=m+n ；当m,n不全为正奇数时，m n=mn，则在此定义下，
集合M={(a,b)|a b=16,a∈N∗,b∈N∗}的真子集的个数是（ ）
A．27−1 B．211−1 C．213−1 D．214−1
【解题思路】根据新定义，进行求解即可.
【解答过程】由题意，当m，n 都是正奇数时，m※n=m+n ；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn
；
若a，b 都是正奇数，则由a※b=16 ，可得a+b=16 ，此时符合条件的数对为（
1，15），（3，13），…（15，1） 满足条件的共8个；
若a，b不全为正奇数时，m※n=mn ，由a※b=16 ，可得ab=16 ，则符合条件的数对分别为
（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1） 共5个；
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N∗，b∈N∗} 中的元素个数是13，
所以集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N∗，b∈N∗}的真子集的个数是213−1．
故选C．
学科网（北京）股份有限公司
