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专题 1.3 集合的基本运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 并集的运算】..............................................................................................................................................2
【题型2 根据并集结果求集合或参数】..................................................................................................................3
【题型3 交集的运算】..............................................................................................................................................4
【题型4 根据交集结果求集合或参数】..................................................................................................................5
【题型5 补集的运算】..............................................................................................................................................7
【题型6 交、并、补集的混合运算】......................................................................................................................8
【题型7 集合混合运算中的求参问题】..................................................................................................................9
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】...........................................................................................................11
【知识点1 并集与交集】
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B
的元素组成的集合，称为集合A A∪B={x|x∈ A,
与B的并集，记作 A ∪ B (读作 或x∈ B}
“ A 并 B ”)
2.交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的
所有元素组成的集合，称为A A∩B={x|x∈ A,
与B的交集，记作 A ∩ B (读作"A 且x∈ B}
交 B ")
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
学科网（北京）股份有限公司(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元
素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
【题型1 并集的运算】
【例1】（2023·高一单元测试）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，则A∪B=（ ）
A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)
【解题思路】直接利用并集的定义求解.
【解答过程】因为集合A=[3,7),B=(4,8]，
所以A∪B= [3,8].
故选：A.
【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合 ，则
A={−1,0,1},B={x∣x2−3x+2=0}
A∪B=（ ）
A．{1} B．{1,2} C．{−1,0,1} D．{−1,0,1,2}
【解题思路】先求出集合B，再由并集的定义求出A∪B.
【解答过程】由 ，又 ，
B={x∣x2−3x+2=0}={1,2} A={−1,0,1}
可知A∪B={−1,0,1,2}.
故选：D.
【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合M,N，满足M=M∪N，则（ ）
A．M⊆N B．N⊆M C．N∈M D．M∈N
【解题思路】由集合的包含关系判定即可.
【解答过程】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而M=M∪N说明N中
元素都在集合M中，故N⊆M.
故选：B.
【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合A={1,3,5,7}，B=¿，则A∪B中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】应用并运算求A∪B，即可得元素个数.
【解答过程】由题设B={1}，所以A∪B={1,3,5,7}，故其中元素共有4个.
故选：B.
【题型2 根据并集结果求集合或参数】
【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合A={a,5−a,4}，B={3,2a+1}，A∪B={2,3,4,5}，
学科网（北京）股份有限公司则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据并集的结果，分类讨论当2a+1=2、2a+1=5时集合A、B的情况，即可求解.
【解答过程】A={a,5−a,4},B={3,2a+1},A∪B={2,3,4,5}，
1 1 9
当2a+1=2即a= 时，A={ , ,4},B={3,2}，不符合题意；
2 2 2
当2a+1=5即a=2时，A={2,3,4},B={3,5}，此时A∪B={2,3,4,5}.
所以a=2.
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合A=¿，B=¿，若A∪B=¿，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用集合的并集运算求解.
【解答过程】因为集合A=¿，B=¿，且A∪B=¿，
所以a=4.
故选：D.
【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合A={−1,0,1}，若A∪B={−1,0,1,2,3}，则集合B可
以是（ ）
A．∅ B．{−1,0,1} C．{2,3,4} D．{1,2,3}
【解题思路】根据并集定义计算，选出正确答案.
【解答过程】{−1,0,1}∪∅={−1,0,1}，A错误；
{−1,0,1}∪{−1,0,1}={−1,0,1}，B错误；
{−1,0,1}∪{2,3,4}={−1,0,1,2,3,4}，C错误；
{−1,0,1}∪{1,2,3}={−1,0,1,2,3}，D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合 ，
M={x|−3x} A∩B
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】用列举法表示集合A，再根据交集的定义求出A∩B，即可判断.
【解答过程】因为 ，
A={(x,y)|x+ y=4,x∈N,y∈N}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}
又 ，
B={(x,y)|y>x}
所以 ，即集合 中含有 个元素.
A∩B={(0,4),(1,3)} A∩B 2
故选：C.
【题型4 根据交集结果求集合或参数】
【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
A={−1,0,1} B={a,a2−3a+2} A∩B={0}
a=（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【解题思路】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.
【解答过程】由于A∩B={0}，则0∈B.
若a=0，则a2−3a+2=2，此时B={0,2}符合题意.
若a2−3a+2=0，则a=1或2,
a=1时，B={0,1}，此时A∩B={0,1}不合题意；
a=2时，B={0,2}符合题意，
因此a=0或2，
故选:C.
【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合A={3,4,2a−4}，B={a}，若A∩B≠∅，则
a=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据交集结果得到a=3，a=4或a=2a−4，检验后得到答案.
【解答过程】因为A∩B≠∅，所以a=3，a=4或a=2a−4，
当a=3时，2a−4=2，满足集合元素的互异性，满足要求；
当a=4时，2a−4=4，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当a=2a−4时，a=4，2a−4=4，与集合元素的互异性矛盾，舍去.
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，
A={1,2,3} B={x|x2−2x+m=0} A∩B={3}
则B=（ ）
A．{3,1} B．{3,4} C．{2,3} D．{3,−1}
【解题思路】由A∩B={3}求得m=−3，即可求B.
【解答过程】由题意可知，3∈B，即32−2×3+m=0，所以m=−3，
所以 .
B={x|x2−2x−3=0}={3,−1}
故选：D.
【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合A=¿，若A∩B=A，则实数a的取值范围是
（ ）
A．[5,+∞) B．(−∞,5] C．[0,+∞) D．(−∞,0]
【解题思路】化简集合A，由条件可得A⊆B，根据集合关系列不等式求a的取值范围.
【解答过程】因为√x−1≤2,x∈Z，
所以x∈{1,2,3,4,5}，即A={1,2,3,4,5}，
因为A∩B=A，所以A⊆B，又B=¿，
所以a≥5，
故实数a的取值范围是[5,+∞).
故选：A.
【知识点2 补集与全集】
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
2．补集
学科网（北京）股份有限公司对于一个集合A，由全集U中不属于集合
文字 A 的所有元素组成的集合称为集合A相
语言 对全集U的补集，简称为集合A的补集，
记作∁ A
U
定
义 符号
∁ A={x|x∈U,且x∉A}
语言 U
图形 【注】∁ A的三层含义：
U
语言
(1)∁ A表示一个集合；
U
(2)A是U的子集，即A⊆U；
(1)
(3)∁ A是U中不属于A的所有元素组成
性 U
的 质 (2) 集合．
【题型5 补集的运算】
【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合U=¿，A=¿，则集合∁ A=（ ）
U
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【解题思路】根据补集的定义求解即可.
【解答过程】因为U=¿，A=¿，
所以 .
∁
A={x|10}，A={x|x+3<0}，则∁ A=
U
（ ）
A．(−3,2) B．[−3,2) C．(−∞,−2] D．(−∞,−2)
【解题思路】首先求出集合U、A，再根据补集的定义计算可得.
【解答过程】因为U={x|2−x>0}={x|x<2}，A={x|x+3<0}={x|x<−3}，
所以∁ A=[−3,2).
U
故选：B.
【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集U={1,3,5},且∁ A={3},则集合A的真子集的个
U
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】求出集合A后,写出集合A的真子集,数出个数即可.
【解答过程】解:由题知U={1,3,5},∁ A={3} ,
U
所以A={1,5},
学科网（北京）股份有限公司所以集合A的真子集有:
∅,{1},{5},
共3个.
故选:B.
【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集U={1,2,3,4,5},∁ A={2,4},∁ B={3,4}，则（ ）
U U
A．1∈A,1∉B B．2∈A,2∈B
C．3∈A,3∉B D．5∉A,5∈B
【解题思路】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.
【解答过程】因为U={1,2,3,4,5},∁ A={2,4}，所以A={1,3,5}.
U
又∁ B={3,4}，所以B={1,2,5}.
U
所以3∈A,3∉B，故ABD错误，C正确.
故选：C.
【题型6 交、并、补集的混合运算】
【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合A={x∣−1≤x<2}，B={x∣x>1}，则A∩(∁ B)=
R
（ ）
A．{x∣−1≤x<1} B．{x∣−1≤x≤1}
C．{x∣−1≤x<2} D．{x∣x<2}
【解题思路】由交集与补集的定义求解即可.
【解答过程】因为集合B={x∣x>1}，所以∁ B={x∣x≤1}，所以A∩(∁ B)={x∣−1≤x≤1}.
R R
故选：B.
【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若 ， ， ，则
U={x|x<9,x∈N∗} A={1,2,3} B={5,6,7}
（ ）
(∁ A)∩(∁ B)=
U U
A．{4,8} B．{2,4,6,8}
C．{1,3,5,7} D．{1,2,3,5,6,7}
【解题思路】用列举法表示全集U，再利用补集、交集的定义求解作答.
【解答过程】依题意，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，而A={1,2,3}，B={5,6,7}，
则∁ A={4,5,6,7,8},∁ B={1,2,3,4,8}，
U U
所以 .
(∁ A)∩(∁ B)={4,8}
U U
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集U=Z，集合A={−2,−1,0,1,2},B={−1,0,1,2,3}，
则{−2}=（ ）
A． B． C． D．
A∩B A∪B A∩(∁ B) (∁ A)∩B
U U
【解题思路】根据集合的交并补运算即可求解.
【解答过程】 , , , ,
A∩B={−1,0,1,2} A∪B={−2,−1,0,1,2,3} A∩(∁ B)={−2}(∁ A)∩B={3}
U U
故选:C.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集 ， ， ，
U={a,b,c,d,e} (∁ M) ∩P={a} (∁ P) ∩M={b}
U U
，则（ ）
(∁ M) ∩ (∁ P) ={c}
U U
A．P={a} B．M={a,c} C．P∩M={c,d,e} D．P∪M={a,b,d,e}
【解题思路】由题意画出Venn图，即可得出答案.
【解答过程】由题意画出Venn图如下，
可得：P={a,d,e}，M={b,d,e}，P∩M={d,e}，P∪M={a,b,d,e}.
故选：D.
【题型7 集合混合运算中的求参问题】
【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集U=R，集合
A={x∣x2+ax−12=0},B={x∣x2+bx+b2−28=0}，若A∩(∁ B)={2}，则b的值为（ ）
U
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【解题思路】由A∩(∁ B)={2}可知2∈A，由此即可解出a=4，则可求出A={−6,2}，再由
U
A∩(∁ B)={2}可知−6∈B，2∉B由此即可求出答案.
U
【解答过程】因为A∩(∁ B)={2}
U
所以2∈A
所以22+2a−12=0解得：a=4，
学科网（北京）股份有限公司或
x2+4x−12=(x−2)(x+6)=0⇒x=2 x=−6
所以A={−6,2}，
所以−6∈B，2∉B
所以 解得： 或 ，
(−6) 2−6b+b2−28=0⇒b2−6b+8=(b−2)(b−4)=0 b=2 b=4
且 解得： 且
22+2b+b2−28≠0⇒b2+2b−24=(b+6)(b−4)≠0 b≠−6 b≠4
所以b=2.
故选：B.
【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|−12
【解题思路】求出集合A的补集，再由(∁ A)∪B=R可求出实数m的取值范围
R
【解答过程】∵A=¿，∴∁ A=(−∞,2]∪[3,+∞)，
R
∵(∁ A)∪B=R，∴m≤2．
R
故选：C．
【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}，
， ，若点 ，则 的最小值为
A={(x,y)|2x−y+m≥0} B={(x,y)|x+ y−n>0} P(2,3)∈A∩(∁ B) m+n
U
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．−6 B．1 C．4 D．5
【解题思路】根据 列不等式组，由此化简求得 的最小值.
P(2,3)∈A∩(∁ B) m+n
U
【解答过程】A={(x,y)|2x−y+m≥0}、∁ B={(x,y)|x+ y−n≤0}，
U
由于 ，
P(2,3)∈A∩(∁ B)
U
所以¿，¿，
所以m+n≥4，即m+n的最小值为4.
故选：C.
【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】
如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】
【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集U=R，集合A={x|x≥4或x≤0}，B={x|x>4或
x≤−2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．(−2,0] B．[−2,0]
C．[−2,0]∪{4} D．(−2,0]∪{4}
【解题思路】利用集合的交并补的定义，结合Venn图即可求解.
【解答过程】因为A={x|x≥4或x≤0}，B={x|x>4或x≤−2}，
所以A∪B={x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤−2}={x|x≥4或x≤0}，
A∩B={x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤−2}={x|x>4或x≤−2}.
学科网（北京）股份有限公司由题意可知阴影部分对于的集合为 ，
(∁ (A∩B))∩(A∪B)
U
所以∁ (A∩B)={x|−2
