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专题 1.4 充分条件与必要条件【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 命题的概念】..............................................................................................................................................1
【题型2 判断命题的真假】......................................................................................................................................2
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】.............................................................................................5
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】.............................................................................................6
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】..............................................................................................................8
【题型6 充要条件的证明】......................................................................................................................................9
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【解题思路】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可
【解答过程】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，
对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误，
对于C，1+2=3是命题，且是真命题，所以C正确，
对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：① ；② ；③ ；④ ，
{0}∈N x2+ y2=0 x2>x {x|x2+1=0}
其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题思路】根据命题的定义进行判断.
【解答过程】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B.
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年
级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【解题思路】根据命题的定义即可求解.
【解答过程】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①x>1．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：√3
是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据命题的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，
①不能判断真假，不是命题；
③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；
④是祈使句，不是命题；
⑤是感叹句，不是命题．
故选：A.
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①mx2+2x−1=0是一元二次方程；
②函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点；
学科网（北京）股份有限公司③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解题思路】对于①，举反例m=0即可判断；对于②，令y=0，求解即可判断；对于③，根据包含关系
即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【解答过程】①中，当m=0时，mx2+2x−1=0是一元一次方程，①错误；
1
②中，令y=0，则2x−1=0,x= ，所以函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点，②正确；
2
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2 B．如果a>b，那么ac2>bc2
a b
C．如果a>b,c>d，那么 > D．如果a>b,cb−d
d c
【解题思路】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断.
【解答过程】A选项：若a=0,b=−1，满足a>b，但是a2b，但是ac2=bc2，因此是假命题，故B错误；
1 a b
C选项：若a=3,b=−1，c=2,d=− ，满足a>b,c>d，但是 < ，因此是假命题，故C错误；
3 d c
D选项：因为c−d，且a>b，因此a−c>b−d，因此是真命题，故D正确，
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角
学科网（北京）股份有限公司形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程x2−3x−4=0的判别式为Δ=9−4×(−4)=25>0，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，A∩B⊆A,A⊆A∪B,故正确;
故选：C．
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组¿.对于命题：①存在
a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【解题思路】通过解方程组的知识求得正确答案.
【解答过程】由 得 ，则 ， ，所以 ，
x−ay=1 x=ay+1 a(ay+1)+ y=a (a2+1)y=0 y=0
则¿，解得x=1，
所以关于x,y的方程组¿有唯一解¿.
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及 由p通过推理可得出 由条件p不能推出结论
符号表示 q，记作：p⇒q q，记作：
p是q的充分条件 p不是 q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是 p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
学科网（北京）股份有限公司3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒ 且q⇒ ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q且q⇒ ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p⇒ 且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
1
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“x>1”是“ <1”的（ ）
x
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
1
【解题思路】根据分数不等式求解 <1答范围，即可根据集合间的关系求解.
x
1 1−x 1
【解答过程】由 <1可得 <0，解得x>1或x<0，故¿是¿或x<0}的真子集，故“x>1”是“ <1”
x x x
的充分不必要条件，
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A={x} B={x2} x=1 A=B
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解题思路】由A=B求得x=0或x=1，然后即可得出答案.
【解答过程】由A=B可得x=x2，解得x=0或x=1.
所以“x=1”是“A=B”的充分非必要条件.
故选：A.
a+b
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“ >0”是“|a|>|b|”的（ ）
a−b
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
学科网（北京）股份有限公司a+b
【解答过程】 >0⇔(a+b)(a−b)>0⇔a2−b2>0⇔a2>b2⇔|a|>|b|为充要条件．
a−b
故选：C.
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s
是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：① s是q的充要条件；② p是q的充分不必要条件；③
r是q的必要不充分条件；④ r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④
即可.
【解答过程】因为p是r的充分不必要条件，所以p⇒r，r
⇏
p，
因为q是r的充分条件，所以q⇒r，
因为s是r的必要条件，所以r⇒s，
因为q是s的必要条件，所以s⇒q，
因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇒q，
所以s是q的充要条件；命题①正确，
因为p⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒q，
若q⇒p，则r⇒s，s⇒q，q⇒p，故r⇒p，与r
⇏
p矛盾，
所以q
⇏
p，
所以p是q的充分不必要条件，命题②正确；
因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒q，r是q的充分条件，命题③错误；
因为s⇒q，q⇒r，所以s⇒r，又r⇒s，
所以r是s的充要条件，命题④错误；
故选：B.
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程ax+1=0有实根的一个充分条件是（ ）
A．a=0 B．a=1
C．a≠1 D．a<1
【解题思路】根据一元一次方程的求解即可判断a≠0，由充分条件的定义即可求解.
【解答过程】由ax+1=0⇒ax=−1，要使方程有实根，则a≠0，
故a=1是方程ax+1=0有实根的一个充分条件，
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司【变式4-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若x,y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可
以是（ ）
A．|x|>|y| B．x2>y2
x
C． >1 D．2x−y>2
y
【解题思路】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】由|x|>|y|，x2>y2推不出x>y，排除AB；
x x−y x
由 >1可得 >0，解得x>y>0或x1是x>y的既不充分也不必要条件，排除C；
y y y
2x−y>2⇒x>y，反之不成立，D正确；
故选：D．
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使x∈¿或x>3}成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．x≤0或x>3 B．x<−1或x>3
C．x≤0或x>1 D．x≥0
【解题思路】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【解答过程】对于A，因为¿或x>3}= x∈¿或x>3}，故错误；
对于B，因为x∈¿或x>3}¿或x>3}，故正确；
对于C，因为¿或x>3}¿或x>1}，故错误；
对于D，因为{x|x≥0}不是¿或x>3}的真子集，故错误.
故选：B.
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“x2+2x−m≥0在x∈R上恒成立”的一个
充分不必要条件是（ ）
A．m<−1 B．m>4 C．24不可推导出m≤−1，B不正确；
C选项中，22 D．a<−2或a>2
【解题思路】先求出一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根时a的取值范围，再根据充要条件
的定义即可求解.
【解答过程】解：∵一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根，
设两根分别为：x ,x ，
1 2
故¿，
解得：a<−2，
故“一元二次方程x2+ax+1=0有两个不相等的正实根”的充要条件是a<−2.
故选：B.
【变式5-2】（2022·高一单元测试）若p：x2+x−6=0是q：ax−1=0（a≠0）的必要而不充分条件，则
实数a的值为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．− B．− 或 C．− D． 或−
2 2 3 3 2 3
【解题思路】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案.
1
【解答过程】p：x2+x−6=0，即x=2或x=−3，q：∵a≠0，∴x= ，
a
由题意知p：x2+x−6=0是q：ax−1=0（a≠0）的必要而不充分条件，
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
则 =2，或 =−3，解得a= ，或a=− ，
a a 2 3
故选：D.
1 1
【变式5-3】（2022秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1y，求证： < 的充要条件是
x y
xy>0.
【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可．
1 1 1 1 y−x
【解答过程】（1）必要性：由 < ，得 − <0，即 <0，
x y x y xy
又由x>y，得y−x<0，所以xy>0.
（2）充分性：由xy>0及x>y，
x y 1 1
得 > ，即 < .
xy xy x y
1 1
综上所述， < 的充要条件是xy>0.
x y
【变式6-2】（2023·全国·高一假期作业）求证：等式 对任意实数 恒成立的
a x2+b x+c =a x2+b x+c x
1 1 1 2 2 2
充要条件是a =a ,b =b ,c =c .
1 2 1 2 1 2
【解题思路】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【解答过程】充分性：
若 ，则等式 显然对任意实数 恒成立，充分性成立；
a =a ,b =b ,c =c a x2+b x+c =a x2+b x+c x
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
必要性：由于等式 对任意实数 恒成立，
a x2+b x+c =a x2+b x+c x
1 1 1 2 2 2
分别将x=0，x=1，x=−1代入可得¿，
解得¿，必要性成立，
故等式 对任意实数 恒成立的充要条件是 .
a x2+b x+c =a x2+b x+c x a =a ,b =b ,c =c
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（2023·江苏·高一假期作业）设x,y∈R，求证|x+ y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．
【解题思路】分为充分性和必要性两种情况来进行证明即可，充分性：若xy≥0，则|x+ y|=|x|+|y|
成立；必要性：若 ，则 ；证明过程结合去绝对值的方法和 的性质即可得
|x+ y|=|x|+|y| xy≥0 a2=|a| 2
证
【解答过程】①充分性：若xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，当xy=0时，不妨设x=0，则
|x+ y|=|y|，
|x|+|y|=|y|，∴等式成立．
当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0，
当x>0，y>0时，|x+ y|=x+ y，|x|+|y|=x+ y，∴等式成立，
当x<0，y<0时，|x+ y|=−(x+ y)，|x|+|y|=−x−y=|x|+|y|，∴等式成立．
综上，当xy≥0时，|x+ y|=|x|+|y|成立．
②必要性：若 且 ，则 ，
|x+ y|=|x|+|y| x,y∈R |x+ y|2=(|x|+|y|) 2
即x2+2xy+ y2=x2+ y2+2|x|⋅|y|，
∴|xy|=xy，∴xy≥0．
综上可知，xy≥0是等式|x+ y|=|x|+|y|成立的充要条件．
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