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第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）0∈N；（2）π∈Q；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01
间的线段的点集是有限集；（5）方程x2=0的解能构成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据集合的概念和性质判断即可.
【解答过程】0是自然数，故0∈N，（1）正确；
π是无理数，故π∉Q，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为{3，4，5，6}有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程x2=0的解为x=0，可以构成集合{0}，（5）正确；
故选：A.
2．（5分）（2023·高一课时练习）已知命题p:∀x∈R,∃a∈N,x2≤a，则¬p为（ ）
A．∃x∈R,∀a∈N,x2≤a B．∃x∈R,∀a∈N,x2>a
C．∃x∈R,∃a∈N,x2>a D．∃x∈R,∃a∉N,x2>a
【解题思路】利用含有量词的否定方法进行求解.
【解答过程】因为p:∀x∈R,∃a∈N,x2≤a，
所以¬p:∃x∈R,∀a∈N,x2>a.
故选：B.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．菱形的四条边都相等 B．∃x∈N，使2x为偶数
C．∀x∈R,x2+2x+1>0 D．π是无理数
【解题思路】根据全称量词命题和特称量词命题的定义以及真假判断，一一判断各选项，即得答案.
【解答过程】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.
对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.
对于C，∀x∈R,x2+2x+1>0，是全称量词命题，当x=−1时，x2+2x+1=0，故是假命题.
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司4．（5分）（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）若条件p:−12，q：m−x<0，若p是q的充分不必要
条件，则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m>3 C．m<5 D．m>5
【解题思路】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.
【解答过程】命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，
命题q：x>m，
因为p是q的充分不必要条件，
所以m<5.
故选：C.
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合 或 ， ，若 ，则 的取值范
A=¿ x≥4} B=¿ (∁ A)∩B≠∅ a
R
围是（ ）
A．a<2 B．a>2 C．a≤4 D．a≥4
【解题思路】先求得 ，再结合集合 及 ，运算即可得解.
∁ A={x|2≤x<4} B=¿ (∁ A)∩B≠∅
R R
【解答过程】由集合A=¿或x≥4}，则∁ A={x|2≤x<4}，
R
又集合 且 ，则 ，
B=¿ (∁ A)∩B≠∅ a>2
R
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·高一单元测试）设集合 ，且 ，则x的值可以为（ ）
A={−3,x+2,x2−4x} 5∈A
A．3 B．−1 C．5 D．−3
【解题思路】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【解答过程】∵5∈A，则有：
若x+2=5，则x=3，此时x2−4x=9−12=−3，不符合题意，故舍去；
若x2−4x=5，则x=−1或x=5，
当x=−1时，A={−3,1,5}，符合题意；
当x=5时，A={−3,7,5}，符合题意；
综上所述：x=−1或x=5.
故选：BC.
10．（5分）（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题 B．∀x∈R,9x2≥0
C．∃x∈N,3x2−4x+1<0 D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
【解题思路】根据量词的知识逐一判断即可.
【解答过程】“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题，选项A为真命题．
∀x∈R,9x2≥0，选项B为真命题．
1
因为由3x2−4x+1<0得 bc2”是“a>b”的充分不必要条件
B．“xy>0”是“x+ y>0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，x2+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+1≠0”
D． D．已知a,b,c∈R，方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0
【解题思路】A. 由不等式的性质求解判断； B. 由不等式的性质求解判断； C.由含有一个量词的命题的
否定的定义求解判断； D.将1代入方程求解判断.
【解答过程】A. 由ac2>bc2，得c2(a−b)>0，则c2>0，a−b>0，即a>b，故充分；由a>b，得
a−b>0，则c2(a−b)≥0，故不必要；故正确；
B. 由xy>0，得x>0,y>0或x<0,y<0，则 x+ y>0或x+ y<0，故不充分；当x=−1，y=2时，满足
x+ y>0，但xy<0，故不必要，故错误；
C.命题“∃x∈R，x2+1=0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“∀x∈R，x2+1≠0”，
故错误；
D. 当a+b+c=0时，1为方程ax2+bx+c=0的一个根，故充分；当方程ax2+bx+c=0有一个根为1时，
代入得a+b+c=0，故必要，故正确；
故选：AD.
12．（2023春·四川南充·高一校考阶段练习）已知全集U=R，集合A=¿，则使A⊆∁ B成立的实数m
U
的取值范围可能是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【解题思路】根据B=∅和B≠∅分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可.
【解答过程】①当B=∅时，令m+1＞2m−1，得m＜2，此时∁ B=R符合题意；
U
学科网（北京）股份有限公司②当B≠∅时，m+1≤2m−1，得m≥2，
则∁ B=¿或x>2m−1}，
U
因为A⊆∁ B，所以m+1＞7或2m−1＜−2，
U
1
解得m＞6或m＜− ，
2
因为m≥2，所以m＞6.
综上，m的取值范围为m＜2或m＞6，
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·江苏南京·高一校考期末）命题“∃x≥1,x2−2<0”的否定是 ∀x≥1,x2−2≥0
.
【解题思路】根据特称命题的否定，可得答案.
【解答过程】由题意，则其否定为∀x≥1,x2−2≥0.
故答案为：∀x≥1,x2−2≥0.
{ 2 }
14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合A= 2,3,a2−3a,a+ +7 ，B={|a−2|,3}，已知
a
4∈A且4∉B，则a的取值集合为 {4} .
【解题思路】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
{ 2 }
【解答过程】因为4∈A，即4∈ 2,3,a2−3a,a+ +7 ，
a
2
所以a2−3a=4或a+ +7=4，
a
若a2−3a=4，则a=−1或a=4；
2
若a+ +7=4，即a2+3a+2=0，则a=−1或a=−2.
a
2
由a2−3a与a+ +7互异，得a≠−1，
a
故a=−2或a=4，
又4∉B，即4∉{|a−2|,3}，所以|a−2|≠4，解得a≠−2且a≠6，
综上所述，a的取值集合为{4}.
故答案为：{4}.
15．（5分）（2023·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：①ab>0；②a>0或b>0；③a+b>2；④
a>0且b>0．其中可以作为“若a,b∈R，则a+b>0”的一个充分而不必要条件的是 ③④ ．
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】根据不等式的性质，结合充分不必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解.
【解答过程】对于①中，由ab>0，则可能a<0且b<0，此时a+b<0，所以充分性不成立；
对于②中，例如a=−3，b=2满足a>0或b>0，此时a+b<0，所以充分性不成立；
对于③中，由a+b>2，可得a+b>0，反之不成立，
所以a+b>2是a+b>0的充分不必要条件；
对于④中，由a>0且b>0，则a+b>0，反之：若a+b>0，不一定得到a>0且b>0，
所以a>0且b>0是a+b>0的充分不必要条件.
故答案为：③④.
16．（5分）（2023·高一课时练习）己知集合A={x∣−2≤x≤4},B={x∣x>a,a∈R}．
（1）若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 (−∞,4) ．
（2）若A∩B=A，则实数a的取值范围是 (−∞,−2) ．
（3）若A∪B=B，则实数a的取值范围是 (−∞,−2) ．
【解题思路】利用集合间的关系，即可得出答案.
【解答过程】（1）若A∩B≠∅，得a<4，
所以实数a的取值范围是(−∞,4).
（2）A∩B=A，即A⊆B，所以a<−2，
所以实数a的取值范围是(−∞,−2).
（3）若A∪B=B，即A⊆B，所以a<−2，
则实数a的取值范围是(−∞,−2).
故答案为：(−∞,4)；(−∞,−2)；(−∞,−2).
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些实数的绝对值是正数．
(2)某些平行四边形是菱形．
(3)所有的正方形都是矩形．
(4)∃x∈R,x2+1<0．
1
(5)∀x∈R,x2−x+ ≥0．
4
【解题思路】先确定出所给命题是全称命题还是特称命题，再针对量词和结论两方面进行转换和否定，再
通过证明或举例判断其否定的真假.
【解答过程】（1）命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．
学科网（北京）股份有限公司（2）命题的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”，
由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
（3）命题的否定是：存在正方形，它不是矩形．
因为正方形是特殊的矩形，所以命题的否定是假命题．
（4）命题的否定是“∀x∈R，x2+1≥0”．命题的否定是真命题．
1
（5）命题的否定是：∃x ∈R,x 2−x + <0．
0 0 0 4
因为对于任意的x,x2−x+ 1 = ( x− 1) 2 ≥0，所以命题的否定是假命题.
4 2
18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=¿.
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的a取值范围.
【解题思路】（1）转化为关于x的方程ax2−3x−4=0有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分a=0，a≠0两种情况讨论，当a≠0时用判别式控制范围，即得解；
【解答过程】（1）由于A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2−3x−4=0有两个不等的实数根，
9
∴Δ=9+16a>0，且a≠0，即a>− ，且a≠0.
16
9
故实数a的取值范围是{a|a>− 且a≠0}
16
4
（2）当a=0时，方程为−3x−4=0，x=− ，集合A只有一个元素；
3
当a≠0时，若关于x的方程ax2−3x−4=0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，即Δ=9+16a=0，
9
a=− ，
16
9
若关于x的方程ax2−3x−4=0没有实数根，则A中没有元素，即Δ=9+16a<0，a<− .
16
9
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≤− 或 a=0}.
16
19．（12分）（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合
A={x|x2−3x+2≤0},B={x|x2−(a+1)x+a≤0}
（1）当A=B时，求实数a的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围.
【解题思路】利用一元二次不等式的解法，化简集合A={x|1≤x≤2},化简集合B={x|1≤x≤a},（1）利
用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.
【解答过程】由x2−3x+2≤0，可得1≤x≤2，
所以A={x|1≤x≤2},
由 可得，
x2−(a+1)x+a≤0 1≤x≤a
集合B={x|1≤x≤a},
（1）因为A=B，所以a=2；
（2）因为A⊆B，所以a≥2，
即实数a的范围是[2,+∞).
20．（12分）（2023春·四川遂宁·高二校考期中）已知命题p：关于x的方程x2−2ax+2a2−a−6=0有实
数根， 命题q:m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是真命题， 求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件， 求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）依题意命题p是假命题，即可得到Δ<0，从而求出参数a的取值范围；
（2）记A={a|−2≤a≤3}，B={a|m−1≤a≤m+3}，依题意可得BA，即可得到不等式组，解得即可.
【解答过程】（1）解：因为命题¬p是真命题，所以命题p是假命题．
所以方程x2−2ax+2a2−a−6=0无实根，
所以 ．
Δ=(−2a) 2−4(2a2−a−6)=−4a2+4a+24<0
即a2−a−6>0，即(a−3)(a+2)>0，解得a>3或a<−2，
所以实数a的取值范围是(−∞,−2)∪(3,+∞)．
（2）解：由（1）可知p：−2≤a≤3，
记A={a|−2≤a≤3}，B={a|m−1≤a≤m+3}，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以¿（等号不同时取得），
解得−1≤m≤0，所以实数m的取值范围是−1≤m≤0．
21．（12分）（2023春·宁夏银川·高二校考期中）已知集合A=¿，集合B=¿．
(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；
(2)命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）讨论B=∅，B≠∅两种情况，结合交集运算的结果得出实数m的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出A是B的真子集，再由包含关系得出实数m的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】（1）由A∩B=∅，得
1
①若2m≥1−m，即m≥ 时，B=∅，符合题意；
3
1 1
②若2m<1−m，即m< 时，需¿或¿，解得0≤m< ．
3 3
综上，实数m的取值范围为{m∣m≥0}．
（2）由已知A是B的真子集，知¿两个端不同时取等号，解得m≤−2．
由实数m的取值范围为{m∣m≤−2}．
22．（12分）（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知集合A=¿，B=¿或x>4}．
(1)当 时，求 ；
m=3 A∪(∁ B)
R
(2)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，
A⊆∁ B A∩B=∅ A∩(∁ B)=A
R R
并求解，若__________，求实数m的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解题思路】（1）当 时，利用补集和并集可求得集合 ；
m=3 A∪(∁ B)
R
（2）若选①，分A=∅、A≠∅两种情况讨论，根据A⊆∁ B可得出关于m的不等式组，综合可得出实
R
数m的取值范围；
若选②，分A=∅、A≠∅两种情况讨论，在A=∅时直接验证A∩B=∅即可，在A≠∅时，根据
A∩B=∅可得出关于实数m的不等式组，综合可得出实数m的取值范围；
若选③，分析可得A⊆∁ B，同①.
R
【解答过程】（1）解：当m=3时，A=¿，B=¿或x>4}，
所以， ，因此， .
∁ B=¿ A∪(∁ B)=¿
R R
（2）解：若选①，当A=∅时，则m≥2m时，即当m≤0时，A⊆∁ B成立，
R
当A≠∅时，即当m<2m时，即当m>0时，
由A⊆∁ B可得¿，解得−5≤m≤2，此时00时，
由A∩B=∅可得¿，解得−5≤m≤2，此时00时，
由A⊆∁ B可得¿，解得−5≤m≤2，此时0
