专题02直线与圆的方程（5种经典基础练+5种优选提升练）解析版(1)_1多考区联考_0105好题汇编备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新高考通用）

专题 02 直线与圆的方程（5 种经典基础练+5 种优选提升练） 直线的倾斜角与斜率（共15题） 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•丰城市校级期末）直线 的倾斜角为 A． B． C． D． 【分析】由直线的方程可得斜率等于 ，设直线的倾斜角为 ，则 ， ，由 此解得 的值． 【解答】解： 直线 的斜率等于 ，设直线 的倾斜角为 ， 则 ， ，解得 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角 的大小，属于基础题． 2．（2023秋•信宜市期末）直线 的斜率为 A． B． C． D． 【分析】由已知先化成斜截式，进而可求直线的斜率． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由 可得 ， 故直线的斜率为 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题． 3．（2023秋•锦州期末）经过两点 ， 的直线 的倾斜角为 ，则 的值为 A． B．1 C．3 D．4 【分析】根据两点斜率公式求解即可． 【解答】解：经过两点 ， 的直线 的斜率为 ， 又直线 的倾斜角为 ， 所以 ，解得 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 4．（2023秋•广州期末）下列直线中，倾斜角最大的是 A． B． C． D． 【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得． 【解答】解：直线 的斜率为 ，倾斜角为 ； 直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， 直线 的斜率为 ，倾斜角为 ； 直线 的斜率为1，倾斜角为 ， 直线 的倾斜角最大． 故选： ． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2023秋•临渭区校级期末）已知直线 ，下列说法正确的是 A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【分析】根据直线的方程可得斜率，然后逐一求解得答案． 【解答】解： 直线 的方程为 ， 直线的斜率 ， 又 ， 直线的倾斜角为 ，故 正确， 错误； 若直线 的方向向量为 ，则斜率为 ，与题意矛盾，故 错误； 若直线 的方向向量为 ，则斜率为 ，与题意矛盾，故 错误． 故选： ． 【点评】本题考查直线的方程，考查直线的倾斜角、斜率及方向向量的关系，是基础题． 6．（2023秋•响水县校级期末）已知 ， ，过点 的直线 与线段 不相交， 则直线 斜率 的取值范围是 A． 或 B． C． D． 或 【分析】根据 ， ， 三点的坐标，写出直线 、 的斜率，再由直线 与线段 无交点， 得解． 【解答】解：因为 ， ， ， 所以直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 因为直线 过点 与线段 不相交， 所以 ， 即 的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司故选： ． 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（2023秋•洪山区校级期末）已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是 A． ， B． C． D． 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，建立 关于 的表达式，利用正弦函数的值域算出 的取值范围，进而可得倾斜角 的取值范围． 【解答】解：根据题意，有以下两种情况： ①当 时，直线方程为 ，斜率不存在，此时 的倾斜角 ； ②当 时，可得直线 的斜率 ， 因为 且 ，所以 或 ，可得 或 ． 综上所述， ，即 的取值范围是 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、正弦函数的性质等知识，属于基础题． 8．（2023秋•福州期末）已知 ， ，若直线 经过点 ，且与线段 有交点， 则 的斜率的取值范围为 A． ， ， B． ， C． ， ， D． ， 【分析】直接利用直线与线段有交点的条件建立关系式，进一步求出直线 的斜率的取值范围． 【解答】解：已知 ， ，若直线 经过点 ，且与线段 有交点， 学科网（北京）股份有限公司如图所示： 故 ， ， 则 的斜率的取值范围为 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率，直线与线段有交点的条件，主要考查学生的理解能力 和计算能力，属于基础题和易错题． 二．多选题（共3小题） 9．（2023秋•新华区校级期末）已知直线 ，直线 ，则 A．当 时， 与 的交点是 B．直线 与 都恒过 C．若 ，则 D． ，使得 平行于 【分析】将 代入，联立两直线方程即可求得交点的坐标，判断出 的真假；分别求出两条直 线过的定点的坐标，判断出 的真假；由两直线垂直时的斜率之积为 ，解得 的值，判断出 的真假；讨论斜率存在和斜率不存在两种情况；由两直线平行得到关于 的方程，解方程可得 值， 再代入验证两直线是否重合，即可判断出 的真假． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：对于 ，当 时， ， ， 联立 ，解得 ， 所以交点为 ，所以 正确； 对于 ，将 的方程整理可得： ，可得直线 恒过定点 ， 整理直线 ，令 ，解得 ，可得直线 过定点 ，所以 正确； 对于 ，由 可得 ，解得 ，所以 正确； 对于 ，由 可得 ，解得 或2， 当 时， ， ，两直线重合，不符合题意， 当 时， ， ，两直线重合，不符合题意，故 错误． 故选： ． 【点评】本题考查两条直线平行的性质的应用及直线恒过定点的求法，两条直线的交点的求法，属 于基础题． 10．（2023秋•电白区期末）如果 ， ，那么直线 经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由直线的方程求出斜率和在 轴上的截距，可得结论． 【解答】解： 直线 ，即 ， ， ， 直线的斜率 ，在 轴上的截距 ， 故直线 经过第一、三、四象限， 故选： ． 【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司11．（2023秋•九江期末）已知两条平行直线 ．若直线 被 ， 截得的线段长为 ，则直线 的倾斜角可能是 A． B． C． D． 【分析】先算出两条直线之间的距离，然后根据锐角三角函数的定义算出直线 和 、 的夹角 ， 再结合直线 、 的倾斜角算出直线 的倾斜角． 【解答】解：根据题意，直线直线 与 的距离 ， 根据直线 被 ， 截得的线段长为 ， 可知直线 和 、 的夹角 满足 ，所以 ， 因为直线 、 的倾斜角 满足 ， ， ，所以 ． 因此，直线 的倾斜角可能是 ，或 ， 即直线 的倾斜角可能是 或 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查平行线间的距离公式、直线的斜率与倾斜角等知识，考查了计算能力，属于 中档题． 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•泸县校级期末）已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角 ． 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角． 【解答】解：记直线 的倾斜角为 ， 由题知 ，又 ， ， 学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线的方向向量、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．（2023秋•长宁区校级期末）直线 的斜率的取值范围为 ， ，则其倾斜角的取值范围是 ， ， ． 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果． 【解答】解：设直线 的倾斜角为 ， ， ， 设直线的斜率为 ，因为 ， ， 当 时，则 ， ， 当 时，则 ， ． 故倾斜角的范围为 ， ， ． 故答案为： ， ， ． 【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题． 14．（2023秋•沙市区校级期末）直线 经过点 ，且倾斜角为直线 的倾斜角的一 半，则 的方程为 ． 【分析】根据直线 的倾斜角，算出直线 的倾斜角的正切，从而利用直线方程的点斜式 列式，算出直线 的方程． 【解答】解：根据题意，可得直线 的倾斜角 满足 ，且 ， 所以 ，可知直线 的倾斜角 ，斜率 ， 学科网（北京）股份有限公司因为 经过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角、特殊三角形函数的值等知识，属于基础 题． 四．解答题（共1小题） 15．（2023秋•汉台区期末）已知两点 ， ． （Ⅰ）求直线 的斜率 和倾斜角 ； （Ⅱ）求直线 在 轴上的截距． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由直线的斜率公式计算可得 的值，求解即可； （Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论求出直线的方程，求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， ， 由点 ， ，得斜率 ， 则 ，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线 的斜率 ，则其方程为 ， 即 ，令 ，得 ， 所以直线 在 轴上的截距为1． 【点评】本题考查了直线方程与直线的斜率和截距问题，是基础题． 直线的方程（共15题） 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•道里区校级期末）过点 ， 的直线方程是 A． B． C． D． 【分析】写出直线的两点式方程，化为一般式即可． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由题意可得直线的两点式方程为： ， 化为一般式可得： 故选： ． 【点评】本题考查直线的两点式方程，属基础题． 2．（2023秋•南阳期末）已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为在 轴上的截距的2倍，则直 线 的方程为 A． B． C． 或 D． 或 【分析】法（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线不过原点时，设直线的截距式方 程，将点 的坐标代入，可得直线的方程； 法（2）由题意设直线在 ， 轴的交点坐标，分 和 两种情况讨论，求出直线的方程． 【解答】解：法（1）由题意直线过原点时，则直线的方程为 ，即 ， 当直线不过原点时，设直线的方程为 ， 将点 代入直线的方程可得： ，解得 ， 此时直线的方程为 ， 整理可得 ； 故选： ． 法（2）由题意设 与 轴的交点为 ，则其与 轴的交点为 ， 当 时， 过原点，斜率为 ，可得直线的方程为 ，即方程为 ； 当 时，斜率为 ，故方程为 ， 学科网（北京）股份有限公司即 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题． 3．（2023秋•丰台区期末）已知点 在由直线 ， 和 所围成的区域内（含边 界）运动，点 在 轴上运动．设点 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【分析】求出 关于 轴的对称点的坐标，进而求出线段和的最小值． 【解答】解：如图，作出可行域（含边界）， 其中点 ， ， ， 设点 关于 轴的对称点为 ，则 ， 过 垂直于直线 的直线方程为 ， 联立 ，可得 ， ， 即 时，即 ， ， 三点共线时 ． 故选： ． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查点关于轴的对称点的坐标的求法，线段和的最小值的求法，属于基础题． 4．（2023秋•武强县校级期末）若直线 与直线 平行，则实数 的 取值为 A．1或 B． C．1 D．0 【分析】利用直线一般式方程平行条件即可直接求解． 【解答】解：因为直线 与直线 平行， 所以 ， 所以 ， 当 时，两直线方程分别为 ， 重合，不符合题意． 故选： ． 【点评】本题考查了直线平行条件的应用，属于基础题． 5．（2023秋•南关区校级期末）已知直线 ， ，则“ ” 是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线 ， ， ， 则 ，解得 或 ， 当 时，两直线不重合，符合题意， 当 时，两直线重合，不符合题意，舍去， 故 ， 故“ ”是“ ”的充要条件． 故选： ． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司6．（2023秋•金华期末）过点 且与直线 垂直的直线方程是 A． B． C． D． 【分析】由题意设所求的直线方程，将点 的坐标代入，可得参数的值，即求出所求直线的方程． 【解答】解：设与直线 的垂直的直线方程为： ， 将点 代入可得 ，解得 ， 即 ． 故选： ． 【点评】本题考查与已知直线垂直的直线方程的求法，属于基础题． 7．（2023秋•江汉区校级期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直 角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 与点 重合，点 与 点 重合，则 A．4046 B．4047 C．4048 D．4049 【分析】设点 ， ， ， ，利用轴对称的性质，可知直线 与直 线 互相平行，从而列式算出本题答案． 【解答】解：设点 ， ， ， ， 根据题意，若线段 的垂直平分线为 ，则 、 关于直线 对称，且 、 也关于直线 对称． 所以 ， ，可知 ， 可得 ，即 ，整理得 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查轴对称的性质、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题． 8．（2023秋•海淀区校级期末）已知直线 恒过定点 ，直线 恒过定 点 ，且直线 与 交于点 ，则点 到点 的距离的最大值为 学科网（北京）股份有限公司A．4 B． C．3 D．2 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点 到点 的距离的最大值等于 点 到圆心的距离与半径之和即点 到线段 中点距离与半径之和． 【解答】解：设 ， 由直线 ，可得 ， 由直线 ，可得 ， 因为直线 与直线 满足 ， 所以 ， 所以点 在以 为直径的圆上， 所以点 到点 的距离的最大值等于点 到圆心的距离与半径之和即点 到线段 中点 距离与半径之和， 由 ， ，得 中点为 ，半径为1， 所以点 到点 的距离的最大值为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 9．（2023秋•重庆期末）如图，已知两点 ， ，从点 射出的光线经直线 上 的点 反射后再射到直线 上，最后经直线 上的点 反射后又回到点 ，则直线 的方程 学科网（北京）股份有限公司为 A． B． C． D． 【分析】由光线的性质得，直线 经过点 关于 轴的对称点，也经过点 关于直线 的对称点，求出两个对称点坐标，即可得到直线 的方程． 【解答】解：由光线的性质得，直线 经过点 关于 轴的对称点 ， 直线 也经过点 关于直线 的对称点，设为 ， 直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以点 关于直线 的对称点为 ， 所以直线 过点 ， ， 所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了点关于直线的对称点问题，考查了求直线的一般方程，属于中档题． 二．多选题（共1小题） 学科网（北京）股份有限公司10．（2023秋•宝安区期末）下面说法中错误的是 A．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示 B．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示 C．经过定点 的直线都可以用方程 表示 D．经过任意两个不同的点 ， ， ， 的直线都可以用方程 表示 【分析】根据直线方程的各种形式及其适用范围，对各项逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点 ， 的直线不能用方程 表 示，故 项不正确； 当直线的斜率为0时，经过定点 ， 的直线不能用方程 表示，故 项不正 确； 经过定点 的直线为 轴时，不能用方程 表示，故 项不正确； 对于点 ， ， ， ，当 且 时，可以用方程 表示，整理得 ， 当 或 时，直线 与直线 也包含在 中， 因 此 ， 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 ， ， ， 的 直 线 都 可 以 用 方 程 表示， 项正确． 故选： ． 【点评】本题主要考查了直线的基本量与基本形式等知识，考查概念的理解能力，属于基础题． 三．填空题（共3小题） 学科网（北京）股份有限公司11．（2023秋•新化县期末）经过 ， 两点的直线的方程为 ． 【分析】由 ， 的坐标，可得直线 的斜率，代入直线的方程，可得直线的方程． 【解答】解：因为 ， ，可得 斜率为 ， 所以直线 的方程为： ． 故答案为： ． 【点评】本题考查过两点的方程的求法，属于基础题． 12．（2023秋•临川区校级期末）过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 或 ． 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为 0时，设出该直线的方程为 ，把已知点坐标代入即可求出 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的 截距为0时，设该直线的方程为 ，把已知点的坐标代入即可求出 的值，得到直线的方程， 综上，得到所有满足题意的直线的方程． 【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为 ， 把 代入所设的方程得： ，则所求直线的方程为 即 ； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为 ， 把 代入所求的方程得： ，则所求直线的方程为 即 ． 综上，所求直线的方程为： 或 ． 故答案为： 或 【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思 想，是一道综合题． 13．（2023秋•南关区校级期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之 学科网（北京）股份有限公司后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ， 若将军从 处出发，河岸线所在直线方程为 ．则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【分析】首先利用点关于线的对称求出点 ，进一步利用两点间的距离公式的应用求出 的 长． 【解答】解：设军营所在位置为 ， 如图所示： 若将军从 处出发，河岸线所在直线方程为 ， 故点 关于 对称点的坐标 ， 所以 ，解得 ； 即 ． 故 ． 即“将军饮马”的最短总路程为 ． 故答案为： ． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查的知识要点：点关于线的对称，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和 数学思维能力，属于中档题． 四．解答题（共2小题） 14．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形 中， ， ， 边所在直线过点 ．求： （1） 边所在直线的方程； （2）对角线 所在直线的方程． 【分析】（1）由直线 过点 ， ，求出直线的斜率，由点斜式求出直线 的方程；因为菱 形的对边平行，所以可设直线 的方程，将 点代入可得参数的值，进而求出直线 的方程； （2）求出线段 的中点及直线 的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线 的方程． 【解答】解：（1）因为 边所在直线过点 ， 所以直线 的方程为： ， 即 ，在菱形 中可知 ， 所以设直线 的方程为 ，将点 代入 ， 所以 ， 所以直线 的方程为： ； （2）由题意可得线段 的中点 ， ，即 ， ， 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线 的斜率为 ， 所以 所在的直线方程为 ，即 ． 【点评】本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题． 15．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线 的倾斜角为 ，且这条直线经过点 ． 学科网（北京）股份有限公司（1）求直线 的方程； （2）若直线 恒过定点 ，求点 到直线 的距离． 【分析】（1）先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）先求出定点 ，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：（1）直线 的倾斜角为 ， ， ， 则 ， 故直线 的斜率为 ， 这条直线经过点 ， 则直线 的方程为 ，即 ； （2）直线 ，即 ， 令 ，解得 ，故定点 ， ， 点 到直线 的距离为 ． 【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题． 直线的交点坐标与距离公式（共11题） 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•龙岩期末）已知直线 的法向量为 ，且经过点 ，则原点 到 的距离 为 A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出直线方程，再利用点到直线距离公式即可求解． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：根据题意，直线 的法向量为 ， 所以直线 的斜率为 ，又直线过点 ， 所以直线 的方程为： ， 即 ， 则原点 到 的距离 ． 故选： ． 【点评】本题考查平面向量的应用，注意利用向量计算点到直线距离的方法，属于基础题． 2．（2023秋•西固区校级期末）已知直线 与 平行，则 与 的距离 为 A． B． C． D． 【分析】直线 与 平行，即可得到 ，然后利用平行线之间的距离公 式求解即可． 【解答】解：直线 与 平行，可得 ， 则由两平行直线的距离公式可得 ， 则 与 的距离为 ， 故选： ． 【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 3．（2023秋•贵阳期末）点 ， ，点 在 轴上，则 的最小值为 A． B．5 C．4 D． 学科网（北京）股份有限公司【分析】数形结合即可求解． 【解答】解：已知 ， ，点 在 轴上， 如图 取 关于 轴的对称点 ， 连接 交 轴于点 ，此时 ． 所以 的最小值是5． 故选： ． 【点评】本题主要考查对称点的求解以及两点间的距离公式，考查计算能力，属于基础题． 4．（2023秋•南阳期末）点 为两条直线 和 的交点，则点 到直线 的距离最大为 A． B． C． D．5 【分析】首先利用方程组求出交点 的坐标，进一步求出直线 恒过点定点，最后求出两点间的距 离的值． 【解答】解： ，解得 ，故 ； 直线 ，整理得 ，故直线 恒过点 ， 故点 到直线 的最大距离 ． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：直线的交点坐标的求法，点到直线的距离公式，主要考查学生的理 学科网（北京）股份有限公司解能力和计算能力，属于基础题． 二．填空题（共5小题） 5．（2023秋•巴楚县校级期末）已知点 与点 之间的距离为5，则实数 的值为 或 ． 【分析】由已知条件直接利用两点间距离公式能求出 的值． 【解答】解： 与点 之间的距离为5， ， 解得 或 ． 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查两点间距离公式的应用，是基础题． 6．（2023秋•湖北期末）点 到直线 的距离最大值是 ． 【分析】先求出直线所过定点，再结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线 ，过定点 ， 故点 到直线 的距离最大值是： ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题． 7．（2023秋•房山区期末）已知直线 ， ， ，则 与 的交点坐标为 ；若直线 ， ， 不能围成三角形，写出一个符合要求的实数 的值 ． 【分析】根据题意，将直线 与 的方程组成方程组，解之即可得到它们的交点坐标； 直线 ， ， 不能围成三角形，有两种情况：三条直线交于同一点，或其中有两条直线平行且被 学科网（北京）股份有限公司第三条直线所截．从而建立关于 的等式，算出符合要求的实数 的值． 【解答】解：由 ，解得 ，可知直线 与 的交点坐标为 ； 若直线 ， ， 不能围成三角形，则有以下三种情况： ①三条直线交于同一点，此时直线 经过 与 的交点 ，可得 ，解得 ． ② ，此时 的斜率与 相等，即 ，解得 ． ③ ，此时 的斜率与 相等，即 ，解得 ． 综上所述，实数 的值为 或 或 ． 故答案为： ； （答案不唯一）． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、 逻辑推理能力，属于基础题． 8．（2023秋•麒麟区校级期末）已知两个定点 ， ， 是坐标系原点， 轴于点 ， 是线段 上任意一点， 轴于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ， 则点 与点 之间的距离的最大值和最小值的和等于 3 ． 【分析】由题意可得线段 的方程，设 的坐标，可得 的坐标，进而可得线段 的方程，由 题意解出 点的坐标，代入两点间的距离公式，可得 的表达式，再由参数的范围，可得 的最大值及最小值，进而求出结果． 【解答】解：因为 ， ， 可得线段 的方程为 ， ， ， 设 ， ， ， 由题意可得 ， 所以线段 的方程为 ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，即 ， 所以 ， ， ， 所以 的最大值为2，最小值为1， 所以 ． 故答案为：3． 【点评】本题考查直线方程的求法及两点间的距离公式的应用，属于基础题． 9．（2023秋•宿迁期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平 面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 且 的点所形成的图形是圆，后来，人们把 这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点 到两个定点 ， 的距离之比为2，则 的取值范围为 ． 【分析】首先求点 的轨迹方程，再根据 的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解． 【解答】解：由题意可知， ，即 ， 整理为 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆， 因为 表示圆上的点与定点 连线的斜率， 学科网（北京）股份有限公司设 ，即 ， 如图可知，直线 与圆有交点， 则 ，解得 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，动点的轨迹方程的求法，属于中档题． 三．解答题（共2小题） 10．（2023秋•郑州期末）已知等腰 的一个顶点 在直线 上，底边 的两 端点坐标分别为 ， ． （Ⅰ）求边 上的高 所在直线方程； （Ⅱ）求点 到直线 的距离． 【分析】（Ⅰ）求出线段 的中点为 ， ， ，从而边 上的高 所在直线的斜 率 ，由此能求出边 上的高 所在直线方程． （Ⅱ）联立 ，得 ，再求出直线 的方程，由此能求出点 到直线 的 距离． 【解答】解：（Ⅰ）等腰 的一个顶点 在直线 上， 学科网（北京）股份有限公司底边 的两端点坐标分别为 ， ， 线段 的中点为 ， ， ， 边 上的高 所在直线的斜率 ， 边 上的高 所在直线方程为 ， 整理得边 上的高 所在直线方程为 ． （Ⅱ）联立 ，得 ， ， 直线 的方程为 ，整理得 ， 点 到直线 的距离为 ． 【点评】本题考查直线的斜率、中点坐标公式、直线方程、点到直线的距离等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题． 11．（2023秋•宝山区校级期末）已知 ，直线 ，直线 ． （1）若 ，求 与 之间的距离； （2）若 与 的夹角大小为 ，求直线 的方程． 【分析】（1）由题意，根据两直线平行的性质，求得 值，再根据两平行直线间的距离公式，计 算求得结果． （2）由题意，根据直线的法向量的定义、两直线的夹角公式，先求出 值，可得直线 的方程． 【解答】解（1）因为 ，所以 ，求得 ， 学科网（北京）股份有限公司故 与 之间的距二 ． （2）设直线 的一个法向量为 ，直线 的一个法向量为 ， 因为 与 的夹角大小为 ，所以 ， 解得 或 ， 故直线 的方程 ，即 或 ， 所以直线 的方程为 或 ． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式，直线的法向量、两直线的夹 角公式，属于中档题． 圆的方程（共14题） 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•咸阳期末）已知半径为3的圆 的圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标准方程为 A． B． C． D． 【分析】设圆心坐标 ，由对称知识求出圆心 的坐标为 ，由此能求出半径为3的圆 的标准方程． 【解答】解：设圆心坐标 ， 由圆心 与点 关于直线 对称，得到直线 与 垂直， 结合 的斜率为1得直线 的斜率为 ， 学科网（北京）股份有限公司所以 ，化简得 ①， 再由 的中点在直线 上， 得到 ，化简得 ② 联解①②，可得 ， ， 圆心 的坐标为 ， 半径为3的圆 的标准方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用． 2．（2023秋•青岛期末）过三点 ， ， 的圆交 轴于 ， 两点，则 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，先求出圆的方程，再令 ，解得 ，即可求解． 【解答】解：过三点 ， ， 的圆， 圆心分别在直线 ， 的直线上， 故圆心坐标为 ， 故半径 ， 故圆的方程为 ， 令 ，解得 ， ， 故 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司3．（2023秋•石家庄期末）若圆心坐标为 的圆被直线 截得的弦长为 ，则该圆的 一般方程为 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设圆的半径为 ，求出圆心到直线 的距离，由直线与圆的位置关系可 得 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，设圆的半径为 ， 圆心坐标为 ，到直线 的距离 ， 该圆被直线 截得的弦长为 ，则有 ， 则圆的方程为 ，变形可得 ， 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题． 4．（2023秋•三水区期末）已知方程 表示一个圆，则实数 取值范围 是 A． ， ， B． ， C． ， ， D． 【分析】根据题意，将圆的方程化为标准形式，根据 建立关于 的不等式，解之即可得到本 题的答案． 【解答】解：圆的方程化为标准形式，可得 ， 所以 ，解得 或 ，即实数 取值范围是 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司故选： ． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、一元二次不等式的解法等知识，考查了计算能力，属于 基础题． 二．多选题（共1小题） 5．（2023秋•拉萨期末）已知圆 ，则下列说法正确的是 A．点 在圆 内 B．圆 关于 对称 C．半径为1 D．直线 与圆 相切 【分析】把圆的方程化为标准方程后，再逐项验证即可． 【解答】解：圆 的标准方程为： ， 圆心为 ，半径为1， ．因为 ，所以点 在圆 外，故 错误； ．因为 ，即圆心不在直线 上，故 错误； ．由圆的标准方程知，半径为1，故 正确； ．因为圆心为 到直线 的距离为 ， 与圆 的半径相等，故直线 与圆 相切，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，考查点到线的距离，属基础题． 三．填空题（共4小题） 6．（2023秋•青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，有 ， ， ， 四点， 若它们在同一个圆周上，则 2 或 4 ． 【分析】设所求圆的方程为 ，将点 、 、 的坐标分别代入圆的方程， 求得 ， ， ，再将点 的坐标代入所得的圆的方程，求解即可． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：设过 ， ， 的圆的方程为 ， 将点 、 、 的坐标分别代入圆的方程， 得 ， 解得： ， ， ， 所以圆的方程为 ， 将点 的坐标代入圆的方程 ，得 ， 解得 或4， 故答案为：2或4． 【点评】本题考查圆的一般方程，考查方程思想与待定系数法的运用，考查运算求解能力，属于中 档题． 7．（2023秋•湖北期末）已知圆 的圆心在直线 上，且过点 、 ，则 圆 的一般方程为 ． 【分析】先求出线段 的中垂线所在直线的方程，再将其与已知直线联立求得圆心 的坐标，及 圆 的半径 ，然后写出圆的标准方程，并化成一般方程，即可． 【解答】解：因为点 、 ， 所以 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ， 由垂径定理知，直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 联立 ，解得 ， ，即 ， 所以圆的半径为 ， 学科网（北京）股份有限公司所以圆 的标准方程为 ，化成一般方程为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查圆的一般方程的求法，熟练掌握两条直线的垂直关系，圆的标准方程是解题的关 键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 8．（2023 秋•诸暨市期末）已知 的圆心坐标为 ，半径为 ，则 0 ． 【分析】首先求圆心和半径，即可求解 的值． 【解答】解：将方程 整理为标准方程可得： ， 则圆心为 ，半径 ， 所以 ， ， ，则 ． 故答案为：0． 【点评】本题考查圆的性质的应用，属于基础题． 9．（2023秋•吉安期末）若二元二次方程 表示圆，则实数 的取值范 围是 ． 【分析】根据圆方程的判断方法：形如 的方程表示圆的条件为 ，列出不等式，解之即可． 【解答】解： 二元二次方程 表示圆， ，故 ，解得 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查圆的一般方程，考查运算求解能力，属于基础题． 四．解答题（共5小题） 10．（2023秋•汕尾期末）已知点 ， ， ，直线 与 轴交于点 ． 学科网（北京）股份有限公司（1）求点 的坐标； （2）求 的外接圆的标准方程． 【分析】（1）先求出直线 的斜率，用点斜式求直线 的方程，可得点 的坐标． （2）由题意， 的外接圆是以线段 为直径的圆，求出圆心和半径，可得 的外接圆 的方程． 【解答】解：（1）根据点 ， ， ，故直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ． 因为点 在 轴上，令 ，得 ， 所以点 的坐标为 ． （2）由题意，点 ， ， ， 由 ，可得 的外接圆是以线段 为直径的圆． 又 中点为 ， 所以外接圆的圆心为 ，半径为 ， 所以 的外接圆的方程为 ． 【点评】本题主要考查直线的斜率，用点斜式求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档题． 11．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 为平行四边形， ， ， ． （1）设线段 的中点为 ，直线 过 且垂直于直线 ，求 的方程； （2）求以点 为圆心、与直线 相切的圆的标准方程． 【分析】（1）利用中点坐标公式算出点 的坐标，然后根据平行四边形的性质、垂直的两条直线 的斜率关系，算出直线 的斜率，进而求出直线 的方程； （2）根据 算出点 的坐标，然后由斜率关系证出 ，得到点 到 的距离等于 ，进而可得所求圆的标准方程． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）根据 ， ，可得 的中点为 ． 由 、 ，得 ， 因为四边形 为平行四边形，所以 ，得 ， 而直线 ，可知直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，整理得 ． （2）设 ，根据 ， ， ， 可得 ， ，结合 ，得 ， ， ，即 ， 根据 ， ，得 ，即 ， 所以点 到 的距离为 ， 因此，以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为 ． 【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式、平面直角坐标系内两条直线的位置关系、直线与 圆的位置关系等知识，属于中档题． 12．（2023秋•徐州期末）已知直线 ， ，直线 过点 且与 垂直． （1）求直线 的方程； （2）设 分别与 ， 交于点 ， ， 为坐标原点，求过三点 ， ， 的圆的方程． 【分析】（1）直接利用直线的垂直求出直线 的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程； （2）利用直线间的关系建立方程组，进一步求出 和 的坐标，最后利用圆的一般式求出圆的方 程， 【解答】解：（1）直线 ， ，直线 过点 且与 垂直， 故直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，整理得 ． 学科网（北京）股份有限公司（2）由于 分别与 ， 交于点 ， ， 故 ，解得 ，故 ； 同理 ，解得 ，故 ． 由于圆经过点 ， ， ， 设圆的方程为 ， 故 ，解得 ， 故圆的方程为 ． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和 计算能力，属于基础题． 13．（2023秋•新化县期末）已知圆 ． （1）求圆 的标准方程，并写出圆 的圆心坐标和半径； （2）若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求 的值． 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案． 【解答】解：（1）由 ，得 ， 则圆 的标准方程为 ， 圆 的圆心坐标 ，半径为 ； （2）由 ，得圆心 到直线 的距离为 ， 学科网（北京）股份有限公司则圆心 到直线 的距离 ，得 或 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 14．（2023秋•衡阳县期末）已知圆 经过 和 两点，且与 轴的正半轴相切． （1）求圆 的方程； （2）若圆 与圆 关于直线 对称，求圆 的方程． 【分析】（1）设出圆 的标准方程，代入 、 的坐标算出参数 、 ，即可得到答案； （2）根据轴对称的性质建立关系式，算出点 的坐标，进而可得圆 的方程． 【解答】解：（1）根据题意设圆 的方程为 ，即 ，其 中 ． 将 ， 两点的坐标代入方程，可得 ，解得 ， ． 因此，圆 的标准方程为 ； （2）因为圆 与圆 关于 对称，所以两个圆的圆心关于 对称，且半径相等． 设圆 的圆心坐标为 ， ，由（1）知圆 的圆心为 ， 结合直线 ，其斜率 ，可得 ，解得 即 ， 因此，圆 的方程为 ． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、轴对称点的性质等知识，属于中 档题． 直线与圆、圆与圆的位置关系（共16题） 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•电白区期末）已知点 在圆 内，则直线 与圆 的位 学科网（北京）股份有限公司置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【分析】先求圆心到直线 的距离，通过关系判断点 与圆的位置关系． 【解答】解： 点 是圆 内不同于原点的一点， ， 圆心到直线 的距离， ． 故直线和圆相离． 故选： ． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题． 2．（2023秋•天河区期末）直线 与圆 的位置关系是 A．相离 B．相交 C．相切 D．位置关系与 有关 【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径 ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距 离 ，比较 与 的大小即可得到直线与圆的位置关系． 【解答】解：由题设知圆心到直线的距离 ， 而 ，圆的半径 ， 所以直线 与圆 的位置关系是相离． 故选： ． 【点评】本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法， 圆心到直线的距离为 ，当 ，直线与圆相离；当 ，直线与圆相切；当 ，直线与圆 相交，属于基础题． 3．（2023秋•湖北期末）设 为正实数，若圆 与圆 相外切，则 的值为 A．4 B．6 C．24 D．26 学科网（北京）股份有限公司【分析】由两个圆的方程，可得圆心坐标及半径，再由两圆外切，可得圆心距等于两个半径之和， 求出 的值． 【解答】解：圆 的圆心坐标 ，半径为 ； 圆 的圆心坐标为 ，半径 ， 要使两圆外切，则 ， ，所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查两圆外切的充要条件的应用，属于基础题． 4．（2023秋•南通期末）圆 和圆 的位置关系为 A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆 ，其圆心为 ，半径为 ， 圆 ，其圆心为 ，半径为 ， 圆心距 ，有 ，故两圆外切． 故选： ． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题． 5．（2023秋•让胡路区校级期末）若直线 与圆 相切，则实数 的值为 A． B．1或 C． 或3 D． 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解． 【解答】解：由圆 可化为 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ， 因为直线 与圆 相切， 可得圆心到直线的距离等于半径，可得 ，解得 或 ． 学科网（北京）股份有限公司故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题． 6．（2023秋•越城区校级期末）若直线 与 相离，则点 与圆 的位置 关系为 A．点 在圆 内 B．点 在圆 上 C．点 在圆 外 D．无法确定 【分析】由题设及点线距离公式有 ，进而可得 ，即可判断位置关系． 【解答】解：由题设 到直线 的距离 ， 即 ， 所以点 在圆 内． 故选： ． 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及点与圆的位置关系的判断方法，属于基础题． 7．（2023秋•郴州期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点 ， 是 的 边 上的两个定点， 是 边上的一个动点，当 在何处时， 最大？结论是：当且仅当 的外接圆与边 相切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．在平面直角 坐标系内，已知 ， ，点 是直线 上一动点，当 最大时，点 的 坐标为 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设 的外接圆的圆心为 ，得到 ，求得 ，得到 圆心 ，再求得直线 的方程，联立方程组，即可求解． 【解答】解：由点 ， ，可得线段 的垂直平分线的方程为 ， 学科网（北京）股份有限公司设 的外接圆的圆心为 ，其中 ，且圆 的半径为 ， 因为直线 与圆 相切，可得 ，又由 ， 所以 ，解得 或 （舍去），即圆心 ，又由 ，可得 ，解得 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 联立方程组 ，解得 ， ，即点 的坐标为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的关系、垂径定理定理等基础知识，考查运算求解能力，属中档题． 8．（2023秋•哈尔滨期末）已知 ，直线 与 的交点 在圆 上，则 的最大值是 A． B． C． D． 【分析】求得点 的轨迹方程，由题意可得 ，可求 的取值范围，进而可求 最大值． 【解答】解：由直线 ， 的方程知直线 过定点 ， 直线 过定点 ，又 ，所以 ，即 ， 学科网（北京）股份有限公司所以点 在以 为直径的圆 上，即 在圆 上， 又 在圆 上，所以圆 与圆 有交点， 即 ，又 ， 所以 ，即 的取值范围是 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题． 9．（2023秋•阳江期末）直线 与圆 交于 ， 两点，则 的 取值范围为 A． B． C． D． 【分析】直线 经过圆心 时，弦长取得最大值，当直线 时取得量小值． 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 直 线 过 定 点 ， 圆 的 圆 心 ， 半 径 ． ， 所以 在圆的内部， 当直线 经过圆心 时， ，当直线 时， ， 综上， 的取值范围是 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆中的弦长问题，属中档题． 二．多选题（共1小题） 10．（2023 秋•青羊区校级期末）设直线 l 1 :yk 1 x1 与直线 l 2 :yk 2 x1 交于点 P，已知点 1 M(0,2),N(0, ) 2 ，则下列结论正确的是 ( ) kk 10 P 1 2 A．当 时，点 在圆上 学科网（北京）股份有限公司kk 10 |PM |2|PN| 1 2 B．当 时， k k 10 P 1 2 C．当 时，点 在直线上 k k 10 |PM ||PN| 1 2 D．当 时， 的最小值为2 【分析】设 P(x,y) ，当 k 1 k 2 10 时，根据题意推导出 x2  y2 1 ，从而判断出 A、B两项的正误； 当 k 1 k 2 10 时，可得 x2y0 ，由此判断出C项的正误；先根据点P在直线 x2y0 上，求 出点 M 关于直线 x2y0 的对称点，然后利用轴对称的性质、两点间的距离公式，求出 |PM ||PN| 的最小值，即可判断出D项的正误． l :yk x1 l :yk x1 P(x,y) 【解答】解：设直线 1 1 与直线 2 2 交于点 ， 对于A，当 k 1 k 2 10 时， k 1 k 2 1 ， yk x1 k x y1 yk x1 k x y1 由 1 得 1 ①，由 2 得 2 ②． kk x2 (y1)(y1) x2  y2 1 x2  y2 1 ①②相乘，得 1 2 ，即 ，整理得 ， x2  y2 1 所以点P在圆 上，故A项正确； 对于 B，当 k 1 k 2 10 时， x2  y2 1 ，可得 |PM | x2 (y2)2  1 y2 (y2)2  54y ， 1 5 2|PN|2 x2 (y )2 2 y  54y 2 4 ，所以 |PM |2|PN| ，故B项正确； 对于C，当 k 1 k 2 10 时，直线 l 1与 l 2的方程相加，得 2yk 1 xk 2 xx ，即 x2y0 ， 所以点P在直线 x2y0 上，故C正确； 对于D，当 k 1 k 2 10 时，点P在直线 x2y0 上， 学科网（北京）股份有限公司M(0,2) x2y0 Q(x y ) 设点 关于 的对称点为 0， 0 ， y 0 2 2  8  x    x 0    0 5 x 0 2 y 0 2 0 y  6 Q( 8 , 6 ) 则  2 2 ，解得  0 5 ，即 5 5 ． 8 6 1 545 |PM ||PN||PQ||PN||NQ| ( )2 (  )2  所以 5 5 2 10 ，即 |PM ||PN| 的最小值大于2， 故D项错误． 故选：ABC． 【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程与轴对称的性质、两点间的距离公式等知识，属于中 档题． 三．填空题（共2小题） 11．（2023秋•大通县期末）已知圆 C:x2  y2 1 ，过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为 A，B，若APB120，则 |AB| 1 ． 【分析】结合切线长定理可得ABC 为等边三角形，即可得 |AB| ． 【解答】解：由圆 C:x2  y2 1 ，可得圆心坐标为 O(0,0) ，半径r1， 由PA、PB为圆C切线，故OAPOBP90， 又因为APB120， 所以AOB360909012060， 学科网（北京）股份有限公司又因为AOBOr1， 所以ABO为等边三角形， |AB|1 所以 ． 故答案为：1． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． M :(x2)2 (y1)2 5 N:(x2)2 (y1)2 5 12．（2023秋•郑州期末）写出圆 与圆 的一条公切 2x y0 线方程 （答案不唯一）． ． 【分析】根据题意，求出两圆的圆心与半径，进而得出圆心距等于它们的半径之和，可得两圆外切， 然后利用直线与圆相切的性质，求出两圆的公切线方程． M :(x2)2 (y1)2 5 M(2,1) r  5 【解答】解：圆 ，圆心为 ，半径 1 ， N:(x2)2 (y1)2 5 N(2,1) r  5 圆 ，圆心为 ，半径 2 ， |MN| (22)2 (11)2 2 5 |MN|r r 因为圆心距 ，所以 1 2，两圆外切． 因此，圆M 与圆N的方程相减，整理得 2x y0 ，即为两圆的内公切线方程， 由两圆半径相等，都等于 5 ，可知它们的外公切线与MN 平行， 11 1 1 k   y xm 根据 MN 22 2，设圆M 与圆N的外公切线方程为 2 ，即 x2y2m0 ， |222m| 5 d   5 m 则点M 到外公切线的距离 14 ，解得 2， x2y50 x2y50 即两圆的外公切线方程为 和 ． 学科网（北京）股份有限公司2x y0 x2y50 x2y50 综上所述，两圆的公切线有三条： 、 和 ． 2x y0 故答案为： （答案不唯一）． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系及其应用，属于中档题． 四．解答题（共4小题） C :(x4)2 (y2)2 4 C :(x1)2 (y3)2 9 13．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆 1 和圆 2 ． （1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程； （2）若直线l过点 (1,0) 且与圆 C 1相切，求直线l的方程． 【分析】（1）将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径，计算出圆心距并比较其与 |r r | r r 1 2 、 1 2的大小关系，可得两圆的位置关系是相交；将两圆的一般式方程相减，消去平 方项可得关于x、 y 的二次一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程； （2）求出圆心到直线的距离等于半径，可求解直线l的方程． C :(x4)2 (y2)2 4 【解答】解：（1）圆 1 圆心 C 1 (4,2) ，半径 r 1 2 ，圆 C 2 :(x1)2 (y3)2 9 的圆心 C 2 (1,3) ，半径 r 2 3 |r r |1 r r 5 CC  (41)2 (23)2  10 1 2 ， 1 2 ，圆心距 1 2 |r r |剟CC r r 1 2 1 2 1 2，得两圆的位置关系是相交； C :(x4)2 (y2)2 4 C :(x1)2 (y3)2 9 圆 1 和圆 2 ． 圆 C 1和圆 C 2的方程两边对应相减，化简得 6x2y150 ， 即为两圆公共弦所在直线方程． yk(x1) kx yk 0 （2）设切线方程为 ，即 ， 圆心 (4,2) 到切线l的距离等于半径2， |4k2k| 12 2 k   1k2 ，解得 5 或k 0， 学科网（北京）股份有限公司12 y (x1) 切线方程为 5 ，即 12x5y120 ，或 y0 所以，所求的直线l的方程是 12x5y120 ，或 y0 ． 【点评】本题给出两圆的一般式方程，求两圆的位置关系并求它们的公切线方程，着重考查了圆的 标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 14．（2023秋•丰城市校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为 A(2,0) ， B(2,4) ， C(4,2) ，直线l D(1,4) 经过点 ． （1）求△ABC外接圆M 的方程； （2）若直线l与圆M 相交于P， Q 两点，且 PQ2 3 ，求直线l的方程． 【分析】（1）先判断三角形的形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半 可以得到圆的方程； （2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到 两条直线方程． A(2,0) B(2,4) C(4,2) 【解答】解：（1）因为 ， ， ， 所以 k AC 1 ， k BC 1 ，所以 k AB k AC 1 ，所以CACB， 又因为CACB2 2，所以△ABC是等腰直角三角形， |AB| r 2 所以M 的圆心是AB的中点，即圆心 M(2,2) ，半径 2 ， 所以M 的方程为 (x2)2 (y2)2 4 ； （2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2 3时， d  22 ( 3)2 1 圆心到直线的距离为 ， ①当直线l与x轴垂直时，此时直线斜率不存在， 直线l为x1，与圆心 M(2,2) 的距离为1，满足条件； 学科网（北京）股份有限公司（2）当直线l的斜率存在时，设 l:y4k(x1) ，即 kx y4k 0 ， |2k24k| |k2| 3 d   1 k  则圆心到直线的距离为 k2 1 k2 1 ，解得 4， 3 y4 (x1) 此时直线l的方程为 4 ，即 3x4y190 ， 综上可知，直线l的方程为x1或 3x4y190 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． l:kx y2k10(kR) C:(x1)2 (y1)2 9 15．（2023秋•绵阳期末）已知直线 ，圆 ． （1）试判断直线l与圆C的位置关系，并加以证明； （2）若直线l与圆C相交于A，B两点，求 |AB| 的最小值及此时直线l的方程． 【分析】（1）先判断出直线l恒过定点 P(2,1) ，然后根据点P在圆C内部，判断出直线l与圆C 的位置关系； （2）由圆的性质，可知当l与直线CP垂直时，弦长 |AB| 最小，由此求出直线l的斜率，进而得到 |AB| 的最小值及此时直线l的方程． l:kx y2k10(kR) k(x2) y10 【解答】解：（1）直线 ，整理得 ， x20 x2   所以直线 l经过 x20与 y10 的交点，由 y10 解得 y1 ，可得直线 l恒过定点 P(2,1) 学科网（北京）股份有限公司P(2,1) ． (21)2 (11)2 59 因为 ， 所以点 P(2,1) 在圆 (x1)2 (y1)2 9 内部，可知直线l与圆相交； （2）圆 C:(x1)2 (y1)2 9 ，圆心为 C(1,1) ，半径r3， 11 k  2 由圆的性质，可知当l与直线CP垂直时，弦长 |AB| 最小，此时 CP 21 ， 1 1 1 k   y1 (x2) 所以当 |AB| 取最小值时，直线l的斜率 k CP 2 ，可得直线l的方程为 2 ，即 x2y40 ． 由圆心 C(1,1) 到直线l的距离为 d |CP| 5 ，可知 |AB|2 9d2 4 ， 所以弦长 |AB| 的最小值为4，相应直线l的方程为 x2y40 ． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，考查了计算能力、逻辑 推理能力，属于中档题． C:x2  y2 4x4ym100 P(1,0) 16．（2023秋•赣州期末）已知圆 ，点 ． （1）若m17，过P的直线l与C相切，求l的方程； （2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 【分析】（1）对直线l的斜率是否存在加以讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算，可得直线l 的方程； r1剟d r1  （2）若圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到 P(1,0) 的距离d满足m180 ，由此 解得m的取值范围． 【解答】解：（1）当m17时，圆 C:x2  y2 4x4y70 ， 化成标准方程为 (x2)2 (y2)2 1 ，所以圆心为 C(2,2) ，半径r1． ①当l的斜率不存在时，l的方程为x1，即x10，与圆C相切，符合题意； 学科网（北京）股份有限公司②当l的斜率存在时，设l的方程为 yk(x1) ， |2k2k| |k2| 3 d   1 k  即 kx yk 0 ，圆心C到l的距离 k2 1 k2 1 ，解得 4 ， 3 y (x1) 此时直线l的方程为 4 ，即 3x4y30 ． 综上所述，直线l的方程为x10或 3x4y30 ． （2）整理得圆 C:(x2)2 (y2)2 m18 ，圆心 C(2,2) ，半径r  m18， 则圆心C到 P(1,0) 的距离 d  (21)2 (20)2  5 ， r1剟d r1  m181剟 5 m181   若圆C上存在到P的距离为1的点，则m180 ，即 m180 ， 解得 122 5剟m 122 5 ，所以m的取值范围为 [122 5,122 5] ． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于 中档题． 点到直线的距离及平行直线间的距离（共2题） l :2x y3 l :4x3y50 1．（2022秋•喀什地区期末）已知直线 1 与直线 2 ． （1）求经过直线 l 1与 l 2的交点，且与直线 x3y20 垂直的直线l的方程． A(1,4) l l （2）求 分别到直线 1与 2的距离． l l (2,1) 3x ym0 【分析】（1）联立直线 1与 2的方程，可解出交点坐标为 ，代入方程 ，即可得 到； （2）根据点到直线的距离即可求出． 学科网（北京）股份有限公司2x y3 x2   【解答】解：（1）联立直线 l 1与 l 2的方程4x3y50 ，解得y1 ，交点为 (2,1) ． 因为直线l与直线 x3y20 垂直， 则可设直线l的方程为 3x ym0 ，代入点 (2,1) ，可得61m0，m7， 所以，直线l的方程为 3x y70 ； A(1,4) l :2x y3 2x y30 （ 2 ） 由 已 知 可 得 ， 点 到 直 线 1 ， 即 直 线 的 距 离 为 |2(1)43| 9 5 d   1 22 (1)2 5 ， |4(1)345| 21 d   A(1,4) l :4x3y50 2 42 (3)2 5 点 到直线 2 的距离为 ． 【点评】本题考查了直线的方程，直线的垂直关系，点到直线的距离，属于中档题． l :ax2y20 l :x(a3)y10 2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线 1 和直线 2 ． l l （1）试判断 1， 2能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； l l （2）若原点到 2距离最大，求此时的直线 2的方程． 【分析】（1）由两直线平行可以求得a的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可； （2）根据直线 l 2恒过定点 P(1,0) ，当 OPl 2时，原点O到 l 2距离最大，求解即可． l :ax2y20 l :x(a3)y10 【解答】解：（1）若直线 1 和直线 2 平行， 则 a(a3)20 ，且a2，解得a1， l :x2y20 l :x2y10 所以直线 1 ，直线 2 ， 1 5 d   l l 12 (2)2 5 直线 1与直线 2的距离 ． 学科网（北京）股份有限公司l :x1(a3)y0 P(1,0) （2）直线 2 恒过定点 ， 因为 OPl 2时，原点O到 l 2距离最大， 此时直线OP的斜率为0，直线 l 2的斜率不存在， 所以直线 l 2的方程为x1． 【点评】本题考查两条直线的位置关系及两平行线之间的距离，是中档题． 两条直线平行、垂直与方程的关系（共2题） 1．（2022秋•广河县校级期末）已知直线l过点 M(2,1) ，O为坐标原点． （1）若l与OM 垂直，求直线l的方程； （2）若直线与 2x y10 平行，求直线l的方程． 【分析】（1）根据垂直关系可得直线l斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程； （2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果． 10 1 k   【解答】解：（1） OM 20 2，直线l与OM 垂直， k 2 l ， 又直线l过点 M(2,1) ， 直线l方程为： y12(x2) ，即 2x y50 ； （2）由题意可设直线l方程为： 2x yc0 ， 又直线l过点 M(2,1) ， 41c0，解得：c3， 直线l方程为： 2x y30 ． 【点评】本题考查两条直线平行及两条直线垂直的性质的应用，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司l :ax2y20 l :x(a3)y10 2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线 1 和直线 2 ． l l （1）试判断 1， 2能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； l l （2）若原点到 2距离最大，求此时的直线 2的方程． 【分析】（1）由两直线平行可以求得a的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可； （2）根据直线 l 2恒过定点 P(1,0) ，当 OPl 2时，原点O到 l 2距离最大，求解即可． l :ax2y20 l :x(a3)y10 【解答】解：（1）若直线 1 和直线 2 平行， 则 a(a3)20 ，且a2，解得a1， l :x2y20 l :x2y10 所以直线 1 ，直线 2 ， 1 5 d   l l 12 (2)2 5 直线 1与直线 2的距离 ． l :x1(a3)y0 P(1,0) （2）直线 2 恒过定点 ， 因为 OPl 2时，原点O到 l 2距离最大， 此时直线OP的斜率为0，直线 l 2的斜率不存在， 所以直线 l 2的方程为x1． 【点评】本题考查两条直线的位置关系及两平行线之间的距离，是中档题． 圆的方程与圆的性质（共10题） C:x2  y2 2x2my40 1．（2023秋•吕梁期末）已知圆 ． （1）求m的取值范围； （2）当m取最小正整数时，若点P为直线 4x3y120 上的动点，过P作圆C的一条切线，切 点为A，求线段PA的最小值． 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1） (x1)2 (ym)2 m2 3 为圆的方程，即m2 30，然后求解； |413212| |PC|� 2 （2）由题意可得圆 C:(x1)2 (y2)2 1 ，则 |PA| |PC|2 1 ，又 42 32 ， 然后求解． C:x2  y2 2x2my40 【解答】解：（1）已知圆 ． (x1)2 (ym)2 m2 3 则 为圆的方程， 即m2 30， 即m 3或m 3 ，  即m的取值范围为 ( ，  3) ( 3 ， ) ； （2）当m取最小正整数时， 则m2， C:(x1)2 (y2)2 1 即圆 ， 点P为直线 4x3y120 上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为A， |PA| |PC|2 1 则 ， |413212| |PC|� 2 又 42 32 ， |PA|� 22 1 3 则 ， 即线段PA的最小值为 3． 【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题． 2．（2023秋•郑州期末）已知圆C的圆心为 (1,0) ，过直线 2x y30 上一点P作圆的切线，且 切线段长的最小值为2． （Ⅰ）求圆C的标准方程； 学科网（北京）股份有限公司3 1 1 C:(x )2 (y )2  （Ⅱ）若圆C与圆 2 2 2 相交于A，B两点，求两圆公共弦AB的长． 【分析】（Ⅰ）求出圆心到直线的距离d，然后利用最短切线长l、半径r 、d三者满足的勾股定 理求出半径即可； （Ⅱ）两圆的方程相减得到公共弦所在直线，然后利用弦长公式求解． |23| d   5 【解答】解：（Ⅰ）圆心C到直线 2x y30 的距离 22 (1)2 ， 2 又最短切线长l 2，所以圆C的半径 r 1  5 22 1 ， 所以圆C的方程为 (x1)2  y2 1 ； （Ⅱ）圆C与圆C的方程相减得： x y20 ， |102| 1  圆心 C(1,0) 到该直线的距离为 2 2 ， 1 2 r2 ( )2  2 所以弦AB的长为 1 2 ． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的求法以及公共弦长的计算，属于中档题． O:x2  y2 4 l:ykx4 3．（2023秋•湖州期末）已知圆 ，直线 ． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB90时，求k的值； 1 k  （2）若 2 时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C， D，求四边形OCPD的面积的最小值． 4  2 【分析】（1）由题意可得圆O到直线AB的距离为 2，则 1k2 ，然后求解； （ 2 ） 由 圆 的 性 质 可 得 |PC| |OP|2 4 ， 则 四 边 形 OCPD的 面 积 为 1 2S 2 |PC|22|PC|2 |PO|2 4 POC 2 ，然后结合点到直线的距离公式求解． O:x2  y2 4 l:ykx4 【解答】解：（1）已知圆 ，直线 ． 又直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB90时， 学科网（北京）股份有限公司则圆O到直线AB的距离为 2， 4  2 则 1k2 ， 即k2 7， 则k的值为 7； 1 k  （2）若 2 时， 1 l:y x4 直线 2 ． 点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D， |PC| |OP|2 4 则 ， 1 2S 2 |PC|22|PC|2 |PO|2 4 则四边形OCPD的面积为 POC 2 ， 4 8 |PO|�  1 5 12 ( )2 又 2 ， 4 55 2 |PO|2 4� 则 5 ， 4 55 则四边形OCPD的面积的最小值为 5 ． 【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题． 4．（2023秋•大连期末）已知圆C的圆心坐标为 (2,1) ，与直线 x y10 交于 A，B两点，且 |AB|2 2 ． （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）求过点 P(4,4) 的圆C的切线方程． 【分析】（1）利用圆的弦长公式求出半径即可； （2）由弦长可得圆心到直线的距离，进而可得m，再由直线与圆相切的性质即可得解． 学科网（北京）股份有限公司(2,1) x y10 【解答】解：（1）由题意圆心为 ，直线 ， |211| 2 d    2 所以圆心到直线的距离 11 2 ， 又因为 |AB|2 2 ，设圆的半径为r ， |AB|2 r2 d2 根据勾股定理 ， 所以2 2 2 r2 2 ， 解得r2 4， 所以原C的标准方程为 (x2)2 (y1)2 4 ； P(4,4) （2）易知点 不在圆上， y4k(x4) kx y4k40 ①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ， |2k144k| 2 由圆心到切线的距离等于半径得 k2 1 ， 5 k  解得 12， 5x12y280 所以所求切线的方程为 ； ②当所求切线的斜率不存在时， 切线方程为x4； 综上，所求切线的方程为x4或 5x12y280 ． 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用，属于中档题． 5．（2023秋•吉林期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个 矩形坐标场地ABCD（包含地界和内部），BC长为12米，在AB边上距离B点5米的E处放置 一只机器犬，在距离B点2米的F 处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度 为2v，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕 获，点P叫成功点． （1）求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； 学科网（北京）股份有限公司（2）若N为矩形场地BC边上的一点，若机器犬在线段EN 上都能逃脱，问N点应在何处？ |PF| |PE|  【分析】（1）建立平面直角坐标系，设成功点 P(x,y) ，可得 v 2v ，转化为关于x， y 的 方程即可； 2 1 sinBEP  （2）当线段EN 与（1）中的圆相切时， 4 2 ，得出BEP30，即可求得N点横坐 标的取值范围． 【解答】解：（1）如图，分别以BC，BA所在直线为x， y 轴， E(0,5) F(0,2) P(x,y) 建立平面直角坐标系，则 ， ，设成功点 ， |PF| |PE|  可得 v 2v ， x2 (y2)2 x2 (y5)2  即 v 2v ， x2 (y1)2 4 化简得 ， 因为点P需在矩形场地内，所以 0剟x 2 ， x2 (y1)2 4(0剟x 2) 故所求轨迹方程为 ； 2 1 sinBEP  （2）当线段EN 与（1）中的圆相切时， 4 2 ， 5 3 |BN|5tan30 所以BEP30，所以 3 ， 5 3 ( ,12] 若机器犬在线段EN 上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是 3 ． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查动点轨迹问题，属于中档题． 6．（2023秋•天津期末）已知圆C经过点 A(1,3) 和 B(2,4) ，且圆心C在直线 2x y10 上， （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）过点 M(3,1) 作圆C的切线l，求直线l的方程． 【分析】（Ⅰ）设圆C的方程为 (xa)2 (yb)2 r2 ，构造方程组求解即可； （Ⅱ）分k存在和不存在两种情况，结合直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为 (xa)2 (yb) 2r2， 圆C经过两点 A(1,3) ， B(2,4) ，且圆心C在直线 2x y10 上， (1a)2 (3b)2 r2 a2   (2a)2 (4b)2 r2 b3    2ab10 ，解得  r 1 ， 故圆C的方程为 (x2)2 (y3)2 1 ． （Ⅱ）当k存在时， M(3,1) y1k(x3) 设过点 的直线方程为 ， kx y3k10 即 ， |2k33k1| 1 所以 k2 1 ， |k4| k2 1 即 ， 即k2 8k16k2 1， 学科网（北京）股份有限公司15 k  即 8 ， 15 y1 (x3) 此时 8 ， 15x8y370 即 ； 当k不存在时， 此时过点 M(3,1) 的直线与x轴垂直， 即x3， 此时直线与圆相切， 综上：所求直线方程为 15x8y370 或x3． 【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题． C:x2  y2 4x2y40 P(1,0) 7．（2023秋•通州区期末）已知圆 ，点 ． （Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径； （Ⅱ）求过P点的圆C的切线方程． 【分析】（Ⅰ）将圆的方程化成标准式，即可求出圆心与半径； （Ⅱ）设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离为半径求出切线斜率． x2  y2 4x2y40 (x2)2 (y1)2 1 【解答】解：（Ⅰ）由 得 ， 所以圆心 C(2,1) ，半径r1； yk(x1) kx yk 0 （Ⅱ）设切线方程为 ，即 ， |2k1k| 3 1 则 k2 1 ，解得k 0或4 ， 3 y (x1) 所以切线方程为 y0 或 4 ． 【点评】本题考查圆的标准方程以及圆的切线方程的求法，属于中档题． O:x2  y2 1 C:y2 2px F(2,0) 8．（2022秋•灌南县期末）已知圆 ，抛物线 的焦点坐标为 ． （1）过圆O外一点P作直线 PQ 与圆O相切于点 Q ，且 PQ 2PF ，求点P的轨迹方程； 学科网（北京）股份有限公司（2）过点F 与圆O相切的直线交抛物线C于A，B两点，求 |AB| ． P(x,y) |PQ| 2|PF| 【分析】（1）设 ，利用切线长的求法结合 ，即可求解； （2）利用 F(2,0) 可得 p4 ，设直线 AB:xty2 ， (t 0) ，根据相切可得t  3，然后切线与 y  y 8 3 抛物线进行联立，利用韦达定理可得 1 2 ，利用抛物线的焦点弦公式即可求解． P(x,y) |PQ| 2|PF| |PQ|2|PO|2 12|PF|2 【解答】解：（1）设点 ，由 ，得 ， x2  y2 12[(x2)2  y2] x2  y2 8x90 所以 ，即 ． C:y2 2px F(2,0) （2）因为抛物线 的焦点坐标为 ， p4 所以 ， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为0， AB:xty2 (t 0) xty20 设直线 ， ，即 ， 2 1 因为直线AB与圆O相切，所以 1t2 ，即t  3， AB:x 3y2 由于对称性，不妨取直线 ， y2 8x  设 A(x 1， y 1 ) ， B(x 2， y 2 ) ，由 x 3y2 ，得 y2 8 3x160 ， y  y 8 3 x x  3(y  y )428 所以 1 2 ，所以 1 2 1 2 ， |AB|x x  p28432 所以 1 2 ． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，是中档题． 9．（2023 秋•固原期末）已知圆心为C的圆经过 M(0, 3),N(0, 3) 两点，且圆心C在直线 l :x y10 1 上． 学科网（北京）股份有限公司（1）求圆C的方程； 8 （2）若直线 l 2 :xmy10 与圆C交于A，B两点，ABC 的面积是5，求m的值． 【分析】（1）根据题意，求出 MN 的垂直平分线方程为 y0 ，分析可得圆心为直线 y0 和 x y10 的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得 答案； （2）由题意直线 l 2恒过点 A(1,0) ，此点同时为圆C与x轴负半轴的交点，又圆心 C(1,0) ，求得 |AC|2 ，根据三角形面积可求得点B的纵坐标，可得点B的坐标，得解． 【解答】解：（1）易知线段MN 的中点为坐标原点 O(0,0) ， 因为直线MN 的斜率不存在， 所以线段MN 的垂直平分线的方程是 y0 ． 由垂径定理可知，圆心C也在线段MN 的垂直平分线上， y0, x1   由x y10 ，解得y0 ， 所以圆心C的坐标是 (1,0) ， r  (10)2 (0 3)2 2 又圆C的半径 ， 所以圆C的方程为 (x1)2  y2 4 ； l A(1,0) （2）由题意可知，直线 2恒过点 ， 此点同时为圆C与x轴负半轴的交点， C(1,0) |AC|2 又圆心 ，则 ， 1 8 S  |AC|| y || y | 所以 ABC 2 B B 5， 8 y  解得 B 5，代入 (x1)2  y2 4 ， 学科网（北京）股份有限公司11 1 x  x  可得 B 5 或 B 5， 11 8 11 8 1 8 1 8 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 所以满足条件的点B可以为 5 5 或 5 5 或 5 5 或 5 5 ， 1 1 m m 依次代入直线方程 xmy10 ，得m2或m2或 2或 2． 【点评】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，属中档题． 1 10．（2022秋•萍乡期末）已知椭圆C的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为2 ，点P在椭圆C 3 |PF | 上， PF 1 F 1 F 2， 1 2 ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知M 是直线l:xt 上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M 的直线与椭圆C相切 于点N，且以MN 为直径的圆过点 F 2？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由． c 1 e  【分析】（1）由题意得 a 2 ①， |PF 1 ||PF 2 |2a ，在 Rt△ PF 1 F 2中，由勾股定理得 |PF |2 |FF |2|PF |2 1 1 2 2 ②，联立①②，求解即可得出答案； x2 y2  1 （2）由（1）得椭圆C的标准方程为 4 3 ，设直线MN 的方程为 ykxm ，联立直线MN 与 椭 圆 C得 (4k2 3)x2 8kmx4m2 120 ， 则 △ (8km)2 4(4k2 3)(4m2 12)0 ， 且 (cid:3) (cid:3) FM F N 0 2 2 8km 8km 4k x    N 2(4k2 3) 2m2 m N MF N 90 2 学科网（北京）股份有限公司8km 8km 4k x    N 2(4k2 3) 2m2 m ，表示出 N点坐标，根据圆的基本性质得 MF 2 N 90 ，即 (cid:3) (cid:3) FM F N 0 2 2 ，化简即可得出答案． x2 y2  1 【解答】解：（1）由题意设椭圆C的标准方程为a2 b2 ， 1 c 1 e  离心率为2 ， a 2①， 3 |PF | 又点P在椭圆C上， PF 1 F 1 F 2， 1 2 ，且 |PF 1 ||PF 2 |2a ， 3 3 ( )2 (2c)2 (2a )2 在Rt△ PF 1 F 2中，由勾股定理得 |PF 1 |2 |F 1 F 2 |2|PF 2 |2 ，即， 2 2 ②， 联立①②得c1，a2，则b2 a2 c2  3， x2 y2  1 椭圆C的标准方程为 4 3 ； x2 y2  1 （2）由（1）得椭圆C的标准方程为 4 3 ， 由题意得直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为 ykxm ， ykxm  x2 y2 联立直线MN 与椭圆C得   4  3 1 ，整理得 (4k2 3)x2 8kmx4m2 120 ， 直线MN 与椭圆C相切与点N， 8km 8km 4k x    △ (8km)2 4(4k2 3)(4m2 12)0 ，即m2 4k2 3③，且 N 2(4k2 3) 2m2 m ， 4k 3 4k 3 y kx mk( )m N( ) N N m m ，则切点 m ，m ， 以MN 为直径的圆过点 F 2， MF 2 N 90 ， 又M 是直线l:xt 上的一点，则 M(t,ktm) ， F 2 (1,0) ， 学科网（北京）股份有限公司(cid:3)  F  N (cid:3) ( 4k 1 3 )  F 2 M (t1,ktm) ， 2 m ，m (cid:3) (cid:3) 4k 3 FM F N (t1)( 1) (ktm)0  2 2 m m ，即 (t4)(km)0 ， 由③得t 4， 故存在直线l:x4，使得过点M 的直线与椭圆C相切于点N，且以MN 为直径的圆过点 F 2． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合和椭圆的标准方程，考查方程思想和转化思想，考查待定系数 法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 点与圆、直线与圆的关系（共14题） 一．解答题（共14小题） O:x2  y2 1 l:x(m3)ym0(mR) 1．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知圆 ，直线 ． （1）若直线l与圆O相切，求m的值； （2）当m4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为 A，B，当切 线长最短时，求弦AB所在直线的方程． 【分析】（1）根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离d r ，即可求m的值； （2）根据题意可知O，A，P，B四点共圆，且OP为直径，要使切线长最短时，即OPl时最 短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减进而求得直线AB的方程． 【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， |m| d  1 5 m 所以 1(m3)2 ，解得 3 ； （2）当m4 时，直线 l:x y40 ，连接OA，OB，则OA AP，OBBP， 学科网（北京）股份有限公司所以O，A，P，B四点共圆，切线长 |AP| |OP|2 |OA|2  |OP|2 1 ， 故 |AP| 最短当且仅当 |OP| 最短，即OPl时最短， 4 16 |OP| |AP|� 1 7 因为 2 ，所以 2 ，此时 k OP 1 ， l :yx 所以 OP ， yx  联立x y40 ，得 P(2,2) ， 故以OP为直径的圆的方程为 x(x2) y(y2)0 ，即 x2  y2 2x2y0 ， 因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得 2x2y10 ， 所以弦AB所在直线方程为 2x2y10 ． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，是中档题． C:(x3)2 (y4)2 4 2．（2023秋•洛阳期末）已知圆 ． （1）若直线l过定点 A(1,3) ，且与圆C相切，求l的方程； （2）若圆D的半径为1，圆心在直线 m:x y40 上，且与圆C外切，求圆D的方程． 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求 出切线； （2）根据圆心D在直线m上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【解答】解：由圆 C:(x3)2 (y4)2 4 得圆心 C(3,4) ，半径r 2， l:y3k(x1) kx y3k 0 （1）设 ，即 ， |3k43k| 3 2 k  所以 k2 1 ，解得 4， 3x4y150 所以切线为 ， 经验证x1也是圆C的切线， 所以直线l的方程为： 3x4y150 或x1；  ab40  （2）设 D(a,b) ，则  (a3)2 (b4)2 12 ， 解得a0，b4；或a3，b1， x2 (y4)2 1 (x3)2 (y1)2 1 故所求圆D的方程为 或 ． 【点评】本题考查圆的切线的求法以及圆与圆外切时的性质，属于中档题． 3．（2023 秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知半径为 4 的圆C与直线 l:3x4y80 相切，圆心C在 y 轴的负半轴上． （1）求圆C的方程； （2）若直线 l 2 :kx y170 与圆C相交于A，B两点，且ABC 的面积为8，求直线 l 2的方程． 【分析】（1）根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出半径，再应用圆的标准方程即可求 解； （2）根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可． C(0,b) 【解答】解：（1）由已知可设圆心 ， 学科网（北京）股份有限公司|4b8| 4 则 32 42 ，解得b3或b7（舍 ) ， 所以圆C的方程为 x2 (y3)2 16 ； （2）设圆心C到直线 l 2的距离为d， 1 SABC  |AB|d d 16d2 8 则AB2 16d2 ， 2 ， 即d4 16d2 640，解得d 2 2， |317| d  2 2 又 k2 1 ，解得k 7， l 7x y170 7x y170 所以直线 2的方程为 或 ． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 4．（2023秋•郑州期末）已知圆C的圆心为 (1,0) ，过直线 2x y30 上一点P作圆的切线，且 切线段长的最小值为2． （Ⅰ）求圆C的标准方程； 3 1 1 C:(x )2 (y )2  （Ⅱ）若圆C与圆 2 2 2 相交于A，B两点，求两圆公共弦AB的长． 【分析】（Ⅰ）求出圆心到直线的距离d，然后利用最短切线长l、半径r 、d三者满足的勾股定 理求出半径即可； （Ⅱ）两圆的方程相减得到公共弦所在直线，然后利用弦长公式求解． |23| d   5 【解答】解：（Ⅰ）圆心C到直线 2x y30 的距离 22 (1)2 ， 2 又最短切线长l 2，所以圆C的半径 r 1  5 22 1 ， 所以圆C的方程为 (x1)2  y2 1 ； （Ⅱ）圆C与圆C的方程相减得： x y20 ， |102| 1  圆心 C(1,0) 到该直线的距离为 2 2 ， 学科网（北京）股份有限公司1 2 r2 ( )2  2 所以弦AB的长为 1 2 ． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的求法以及公共弦长的计算，属于中档题． 5．（2023秋•太原期末）已知圆M 的方程为 x2  y2 6x8y210 ，点 P(3,m) 在圆M 内． （1）求实数m的取值范围； （2）求过点 Q(1,0) 且与圆M 相切的直线l的方程． P(3,m) MP|r 【分析】（1）利用点 在圆内，得出 ，求解即可； |2k4| 2 （2）斜率不存在时，则x1，符合题意；斜率存在时，设直线方程为 yk(x1) ，由 k2 1 ， 3 k  解得 4 即可． x2  y2 6x8y210 【解答】解：（1）因为 ， (x3)2 (y4)2 4 所以 ， 即圆心为 M(3,4) ，半径r 2， P(3,m) 因为点 在圆内， MP|r 所以， ， (33)2 (m4)2 22 即 ， 解得2m6， 所以m的取值范围为 (2,6) ． Q(1,0) （2）由题可知，切线经过点 ， 当切线的斜率不存在时，设圆M 的切线方程为：x1，此时符合题意； 当切线的斜率存在时，设圆M 的切线方程为 yk(x1) ， 学科网（北京）股份有限公司|2k4| 3 2 k  由 k2 1 ，解得 4 ， 3 y (x1) 所以切线方程为 4 ，即 3x4y30 ， 综上所述：圆M 的切线方程为x1或 3x4y30 ． 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题． 6．（2023秋•宝安区期末）已知 O:x2  y2 1 和定点 A(2,1) ，由O外一点 P(x,y) 向O引切线 PQ Q |PQ|2|PA| ，切点为 ，且满足 ． （1）求动点P的轨迹方程C； PQ （2）求线段 长的最小值． PQOQ PQ2 OP2 OQ2_4PA2 【分析】（1）依题意得 ，由勾股定理可得 ，代入点的坐标即可求 得动点P的轨迹方程； PQ （2）求出线段PA长的最小值，即可求出线段 长的最小值． OQ Q PQOQ PQ2 OP2 OQ2 【解答】解：（1）连接 ，切点为 ， ，由勾股定理可得 ， |PQ|2|PA| PQ2 4PA2 x2  y2 14(x2)2 4(y1)2 由已知 ．可得 ，即 ， 3x2 3y2 16x8y210 化简可得 ． 8 4 17 (x )2 (y )2  （2）方程 3x2 3y2 16x8y210 ，可化为 3 3 9 ， 8 4 17 C( , ) 所以P的轨迹是圆心为 3 3 ，半径为 3 的圆， 8 4 5 |CA| (2 )2 (1 )2   3 3 3 ， 17 5 |PA|    min 3 3 ，又 |PQ|2|PA| ， 学科网（北京）股份有限公司17 5 2(  ) 线段 PQ 长的最小值为 3 3 ． 【点评】本题考查了动点的轨迹方程，考查了圆的方程和性质，考查了方程思想，属于中档题． C:x2  y2 4x2y40 P(1,0) 7．（2023秋•通州区期末）已知圆 ，点 ． （Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径； （Ⅱ）求过P点的圆C的切线方程． 【分析】（Ⅰ）将圆的方程化成标准式，即可求出圆心与半径； （Ⅱ）设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离为半径求出切线斜率． x2  y2 4x2y40 (x2)2 (y1)2 1 【解答】解：（Ⅰ）由 得 ， 所以圆心 C(2,1) ，半径r1； yk(x1) kx yk 0 （Ⅱ）设切线方程为 ，即 ， |2k1k| 3 1 则 k2 1 ，解得k 0或4 ， 3 y (x1) 所以切线方程为 y0 或 4 ． 【点评】本题考查圆的标准方程以及圆的切线方程的求法，属于中档题． 8．（2023秋•济南期末）已知圆C与 y 轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2 3，且圆心C 1 y x 在直线 2 上． （1）求圆心C的坐标； （2）若圆C与直线 x2y10 相切，且与圆 Q:x2 (y2)2 1 相外切，判断是否存在符合题目 要求的圆． 【分析】（1）设圆心为 (2a,a) ，可得 r2|a| ，再由垂径定理列式求得a值，则圆C的方程可求； （2）设圆心为 (2a,a) ，由半径相等可得关于a的方程，由判别式小于0，可知方程无解，即圆C 不存在． 学科网（北京）股份有限公司1 y x 【解答】解：（1）由圆C的圆心在直线 2 上，可设圆心为 (2a,a) ． 圆C与 y 轴相切，半径 r2|a| ． 又该圆截x轴正半轴所得弦的长为2 3，可得a0， a2 ( 3)2 (2a)2 ，解得a1． 因此，圆心为 (2,1) ，半径r 2． 圆C的标准方程为 (x2)2 (y1)2 4 ； （2）设圆心为 (2a,a) ，圆C与直线 x2y10 相切，且与圆 Q:x2 (y2)2 1 相外切， |2a2a1|  (2a)2 (a2)2 1 则 14 ， 1  5a2 4a41 即 5 ，整理得25a2 20a162 5 ． (20)2425(162 5)200( 54)0 △ ，方程无解． 故圆C不存在． 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 9．（2023 秋•宁河区期末）已知圆心为C的圆经过 A(1,0) ， B(3,0) 两点，且圆心C在直线 l:y2x 上． （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）若过点 (2,1) 且平行于l的直线与圆C相交于M ，N两点，求弦MN 的长． 【分析】（Ⅰ）利用圆的几何性质，圆心在 AB的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点 的距离即为半径，从而得到圆的标准方程； （Ⅱ）先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设AB的中点为D，则 D(1,0) ， 由圆的性质得CD AB， 学科网（北京）股份有限公司A(1,0) ， B(3,0) ，而 k AB 0 ，即CD斜率不存在， 所以线段AB的垂直平分线方程是x1， 圆心C在直线 l:y2x 上，可得圆心C为x1和直线 l:y2x 的交点， C(1,2) r|CA| (11)2 (20)2 2 2 即圆心 ， ， 所以圆C的标准方程为 (x1)2 (y2)2 8 ； (2,1) l:y2x （Ⅱ）因为过点 且平行于 ， y12(x2) 2x y50 则直线的方程为 ，即 |225| d   5 圆心 C(1,2) 到直线l的距离为 41 ， 所以MN 2 r2 d2 2 852 3． 【点评】本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关 系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法． A(1,1) O:x2  y2 4 10．（2023秋•闵行区校级期末）已知定点 ，圆 ． （1）求圆心O到点A的距离； （2）若以 A(1,1) 为圆心，R为半径的圆与圆O有两个不同公共点，求R的取值范围． 【分析】（1）确定圆心坐标，利用两点间距离公式即可求解； （2）圆与圆O有两个不同公共点，即两圆相交，利用圆心距介于半径差与和之间求解即可． O:x2  y2 4 【解答】解：（1）因为圆 ， O(0,0) 所以圆心 ， A(1,1) 又定点 ， |OA| (10)2 (10)2  2 所以 ； A(1,1) (x1)2 (y1)2 R2 （2）以 为圆心，R为半径的圆的方程为： ， 学科网（北京）股份有限公司因为与圆O有两个不同公共点， |2R||AO|2R 所以 ， |2R| 2 2R 即 ，   2 2R  即 |2R| 2 ， 因为R0，所以 22R，恒成立， 所以 22R 2， 即2 2 R2 2， 所以R的取值范围是 (2 2,2 2) ． 【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题． l:2x y0 C:x2 (y4)2 1 11．（2023秋•甘肃期末）已知直线 和圆 ． （1）判断直线l和圆C的位置关系，并求圆C上任意一点M 到直线l的最大距离； （2）过直线l上的点P作圆C的切线PA，切点为A，求证：经过 A，P，C三点的圆与圆C的 公共弦必过定点，并求出该定点的坐标． 【分析】（1）求出圆心与直线的距离与半径比较即可判断直线l和圆C的位置关系，再利用圆C 上任意一点M 到直线l的最大距离为d r即可； （2）利用圆与圆的位置关系式的应用和定点的直线系的应用求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件直线 l:2x y0 和圆 C:x2 (y4)2 1 知：圆心 (0,4) 到直线l的距离 |204| 4 5 d   r 1 22 (1)2 5 ， 4 5 d r 1 故直线l和圆C相离，则有圆C上任意一点M 到直线l的最大距离为 5 ； P(a,2a) （2）证明：设点 ， 学科网（北京）股份有限公司过点A，P，C三点的圆，即以PC为直径的圆， x(xa)(y4)(y2a)0 其方程为 ， x(xa)(y4)(y2a)0 x2 (y4)2 1 (42a)yax8a150 与 相减得到直线的方程为 ， (42a)yax8a150 为过A，P，C三点的圆与圆C的公共弦所在直线方程， a(x2y8)4y150 整理得 ；  1 x   2 4y150  15  y 由于x2y80 ，解得  4 ， 1 15 P( ) 故点 2， 4 ， 1 15 P( ) 即经过A，P，C三点的圆与圆C的公共弦必过定点 2， 4 ． 【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用，圆与直线的位置关系，主要考查学生的运算能力 和数学思维能力，属于中档题． 12．（2023秋•成都期末）圆C经过点 E(1,0) 和点 F(2,1) ，且圆心C在直线 yx2 上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点 P(m ， m)(mR) 作圆C的两条切线，切点分别为 A，B，求直线AB的方程及原点O 到直线AB距离最大时m的值． 【分析】（1）求出线段EF 的垂直平分线，联立直线 yx2 ，求出圆心和半径，即得答案； （2）求出以线段PC为直径的圆的标准方程，和圆C方程相减，即可求得直线AB的方程，求出直 线AB所过定点N，确定当ON  AB时，原点O到直线AB的距离最大，根据斜率之间的关系，求 得答案． 【解答】解：（1）由题意知圆C经过点 E(1,0) 和点 F(2,1) ， 3 1 ( , ) 线段EF 的中点坐标为 2 2 ， 1 3 y (x ) 则线段EF 的垂直平分线方程为 2 2 ， 学科网（北京）股份有限公司yx2 即 ， yx2  联立yx2 ，得 C(2,0) ，则 CE|1 ， 圆C的标准方程为 (x2)2  y2 1 ； m2 m ( , ) （2）线段PC的中点坐标为 2 2 ， 1 1 |PC| (m2)2 m2 2 2 ， m2 m (m2)2 m2 (x )2 (y )2  以线段PC为直径的圆的标准方程为 2 2 4 ， x2 (m2)x y2 my2m0 即 ， 圆C方程化为 x24x y2 30 ， 两式相减得 (2m)xmy2m30 ，即为直线AB的方程， (2x y)m2x30 即 ；  3 x   2 2x y0  1  y 由2x30 ， 2 ， 3 1 N( , ) 直线AB经过定点 2 2 ， 当ON  AB时，原点O到直线AB的距离最大， 学科网（北京）股份有限公司1 k   ON 3， 2m k  3  AB m ， 解得m1． 【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题． 13．（2023秋•峡江县校级期末）已知圆C的圆心为 C(a ， b)(a0 且 b0) ，ab1，圆C与x轴、 y 轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段AB为圆C的一条直径． （1）求证：AOB的面积为定值； （2）若直线 x y0 经过圆C的圆心，设P是直线 l:x2y20 上的一个动点，过点P作圆C 的切线PG，PH ，切点为G ，H ，求线段 |GH | 长度的最小值． 【分析】（1）求出圆C的方程，分别令x0， y0 求出 A(2a,0) ， B(0,2b) ，即可求出AOB的 面积，即可证明； （2）因为直线 x y0 经过圆C的圆心，可解出ab1，可得P，G ，C，H 四点共圆，且 PC为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆N，可得圆N的方程，由点到直线的距离、圆的弦 |GH | |GH | 长公式表示出 ，再由二次函数的性质即可求出求线段 长度的最小值． 【解答】（1）证明：设圆C的方程为 (xa)2 (yb)2 r2 ，由题可知点O在圆C上， 则圆C的方程为 (xa)2 (yb)2 a2 b2 ，整理得 x2  y2 2ax2by0 ， 因为圆C与x轴、 y 轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合）， 令x0，解得： y2b ；令 y0 ，解得：x2a， A(2a,0) B(0,2b) 则 ， ． 1 S  2a2b2ab2 所以 AOB 2 ，为定值． （2）解：因为直线 x y0 经过圆C的圆心，所以ab．又ab1，a0且b0， 学科网（北京）股份有限公司解得ab1．所以圆C的方程为 (x1)2 (y1)2 2 ． 过点P作圆C的切线PG，PH ，切点为G ，H ， 显然P，G ，C，H 四点共圆，且PC为该圆的一条直径， 设这四点所在的圆为圆N， P(2m2,m) ， 12m 1m 32m 1m (x )2 (y )2 ( )2 ( )2 则圆N的方程为 2 2 2 2 ， x2  y2 (2m1)x(m1)ym20 即 ，① 又圆C的半径r  2，方程可化为 x2  y2 2x2y0 ，②， ①②，得圆C与圆N的相交弦GH 所在直线的方程为 (2m3)x(1m)ym20 ， 2 2 d   点 C(1,1) 到直线GH 的距离 (2m3)2 (1m)2 5m2 10m10 ， 4 2 |GH |2 r2 d2 2 2 2 2 1 所以 5m2 10m10 5m210m10 2 2 30 2 2 1 5(m1)2 5 ，所以当m1时， |GH | 取得最小值 5 ， 2 30 故线段GH 长度的最小值为 5 ． 【点评】本题考查直线与圆的综合问题，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司14．（2023 秋•固原期末）已知圆心为C的圆经过 M(0, 3),N(0, 3) 两点，且圆心C在直线 l :x y10 1 上． （1）求圆C的方程； 8 （2）若直线 l 2 :xmy10 与圆C交于A，B两点，ABC 的面积是5，求m的值． 【分析】（1）根据题意，求出 MN 的垂直平分线方程为 y0 ，分析可得圆心为直线 y0 和 x y10 的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得 答案； （2）由题意直线 l 2恒过点 A(1,0) ，此点同时为圆C与x轴负半轴的交点，又圆心 C(1,0) ，求得 |AC|2 ，根据三角形面积可求得点B的纵坐标，可得点B的坐标，得解． 【解答】解：（1）易知线段MN 的中点为坐标原点 O(0,0) ， 因为直线MN 的斜率不存在， 所以线段MN 的垂直平分线的方程是 y0 ． 由垂径定理可知，圆心C也在线段MN 的垂直平分线上， y0, x1   由x y10 ，解得y0 ， 所以圆心C的坐标是 (1,0) ， r  (10)2 (0 3)2 2 又圆C的半径 ， 所以圆C的方程为 (x1)2  y2 4 ； l A(1,0) （2）由题意可知，直线 2恒过点 ， 此点同时为圆C与x轴负半轴的交点， 学科网（北京）股份有限公司C(1,0) |AC|2 又圆心 ，则 ， 1 8 S  |AC|| y || y | 所以 ABC 2 B B 5， 8 y  解得 B 5，代入 (x1)2  y2 4 ， 11 1 x  x  可得 B 5 或 B 5， 11 8 11 8 1 8 1 8 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 所以满足条件的点B可以为 5 5 或 5 5 或 5 5 或 5 5 ， 1 1 m m 依次代入直线方程 xmy10 ，得m2或m2或 2或 2． 【点评】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，属中档题． 圆与圆的关系（共3题） C:(x3)2 (y4)2 4 1．（2023秋•洛阳期末）已知圆 ． （1）若直线l过定点 A(1,3) ，且与圆C相切，求l的方程； （2）若圆D的半径为1，圆心在直线 m:x y40 上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【分析】（1）待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求 出切线； （2）根据圆心D在直线m上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【解答】解：由圆 C:(x3)2 (y4)2 4 得圆心 C(3,4) ，半径r 2， 学科网（北京）股份有限公司l:y3k(x1) kx y3k 0 （1）设 ，即 ， |3k43k| 3 2 k  所以 k2 1 ，解得 4， 3x4y150 所以切线为 ， 经验证x1也是圆C的切线， 所以直线l的方程为： 3x4y150 或x1；  ab40  （2）设 D(a,b) ，则  (a3)2 (b4)2 12 ， 解得a0，b4；或a3，b1， x2 (y4)2 1 (x3)2 (y1)2 1 故所求圆D的方程为 或 ． 【点评】本题考查圆的切线的求法以及圆与圆外切时的性质，属于中档题． C :x2 (y2)2 9 2 ． （ 2023 秋 • 拉 萨 期 末 ） 已 知 1 ， C :x2  y2 2ax2(2a)y(a2)2 0(a0) 2 ． （1）当a2时， C 1与 C 2相交于A，B两点，求直线AB的方程； （2）若 C 1与 C 2相切，求a的值． 【分析】（1）两圆相交，两个方程作差即为交点弦所在直线方程； （2）两圆相切，分内切与外切分别讨论求参数a的值． 【解答】解：（1）当a2时， C 2 :x2  y2 4x0 ， C :x2 (y2)2 9 C :x2  y2 4x0 则用 1 与 2 ， x2 (y2)2 9(x2  y24x)0 作差得： ， 4x4y50 化简得 ， 学科网（北京）股份有限公司即直线AB的方程为 4x4y50 ； C :(xa)2 (y2a)2 a2 （2） 2 ， C (a,a2) C (0,2) |CC | 2a 2 ， 1 ， 1 2 ， C r 3 C r a 1半径 1 ， 2半径 2 ， |CC |r r 3a 2a 当两圆外切时， 1 2 1 2 ， 解得a3 23， |CC ||r r ||3a| 2a 当两圆内切时， 1 2 1 2 ， 解得a3 23． 【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题． M :(x2)2  y2 4 P(1 t)(tR) 3．（2021秋•江苏期末）已知圆 ，点 ， ． （1）若t 1，半径为1的圆N过点P，且与圆M 相外切，求圆N的方程； 3 |ST | （2）若过点P的两条直线被圆M 截得的弦长均为2 3，且与 y 轴分别交于点S，T ， 4 ， 求t． 【分析】（1）设圆心N为 (a,b) ，根据题意建立方程组即可求解； （2）先排除过P且斜率不存在的直线，从而设过 P(1,t) 的直线方程为 yt k(x1) ，再根据题 意建立方程，结合根与系数的关系，从而可得t的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设圆心N为 (a,b) ，又圆N的半径为1， 又圆心M 为 (2,0) ，圆M 的半径为2，P为 (1,1) ， |MN|213  根据题意可得|NP|1 ， (a2)2 b2 3 (a1)2 (b1)2 1  且 ， 学科网（北京）股份有限公司 2 a   5 a1  9  b 解得b0 或  5 ， 2 9 (x )2 (y )2 1 圆N的方程为 (x1)2  y2 1 或 5 5 ； （2）若过 P(1,t) 的直线与x轴垂直时，直线方程为x1， 圆心M 到直线x1的距离为3，不满足题意， P(1,t) yt k(x1) kx ykt 0 设过 的直线方程为 ，即 ， |3kt|  22 31 由题意可得 k2 1 ，化简可得： 8k2 6tkt2 10，设直线PS ，直线PT 的斜率分别为 k 1， k 2，  3t k k    1 2 4  t2 1  kk  则  1 2 8 ，且△ 36t2 32(t2 1)4t2 320 ， 对过 P(1,t) 的直线： yt k(x1) ，令x0，可得 ykt ， S(0,k t) T(0,k t) 1 ， 2 ， t2 8 3 |ST ||k k | (k k )2 4kk   1 2 1 2 1 2 4 4， 解得t1． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，方程思想，一元二次方程根与系数的 关系的应用，属中档题． 学科网（北京）股份有限公司