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专题 1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求空间点的坐标】......................................................................................................................................1
【题型2 空间向量运算的坐标表示】......................................................................................................................2
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】.........................................................................................................3
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】.........................................................................................................3
【题型5 空间向量模长的坐标表示】......................................................................................................................4
【题型6 空间向量平行的坐标表示】......................................................................................................................6
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】......................................................................................................................7
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】..............................................................................................................8
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为
正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了
一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别
称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的
正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位
置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单位
正交基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记
作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A(−1,1,3)，则点A关于yOz平面
的对称点的坐标为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．(1,1,−3) B．(−1,−1,−3) C．(1,1,3) D．(−1,−1,3)
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量⃗AB=(−1,6,−3)，则点B的
坐标是（ ）
A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A(1,2,3)，点B(4,−1,0)，且⃗AC=2⃗CB，则点C的
坐标为（ ）
A．(3,0,1) B．(2,1,2)
(3 3 3) (5 1 3)
C． ,− ,− D． , ,
2 2 2 2 2 2
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P (x,−y,z)
1
②点P关于yOz平面的对称点是P (−x,y,z)
2
③点P关于y轴的对称点是P (x,−y,z)
3
④点P关于原点的对称点是P (−x,−y,−z)
4
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，
y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝
(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，有
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa λa＝(λa，λa，λa)，λ∈R
1 2 3
数量积 a·b a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量 ， ，则 （ ）
⃗a=(3,−4,2) ⃗b=(2,−3,1) ⃗a−2⃗b=
A．(7,−10,4) B．(5,−7,3) C．(1,−1,1) D．(−1,2,0)
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量⃗AB=(2,3,1),⃗AC=(4,5,3)，那么⃗BC=（
）
学科网（北京）股份有限公司A．(−2,−2,−2) B．（8，15，3）C．（6，8，4） D．（2，2，2）
1
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量⃗a=(2,3,−4),⃗b=(−4,−3,−2),⃗b= ⃗c−2⃗a,则⃗c=
2
（ ）
A．(0,3,−6) B．(0,6,−20) C．(0,6,−6) D．(6,6,−6)
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量⃑AB=（﹣3，5，
2），⃑CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则⃑EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则⃗CA⋅⃗CB=（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若 ，则 的值为（ ）
⃗a=(2,3,2),⃗b=(1,2,2),⃗c=(−1,2,2) (⃗a−⃗b)⋅⃗c
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A B C D 的上底
1 1 1 1
面A B C D 的中心为O ，则⃑AO ⋅⃑AC 的值为（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．-1 B．0 C．1 D．2
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A B C D E F 的底面边长
1 1 1 1 1 1
为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则⃗AP⋅⃗AB的取值范围是（ ）
1 3 3 1
A．(− , ) B．(− , )
2 2 2 2
1 3
C．(− ,1) D．(0, )
2 2
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）⃗a=(2，-1，3)，⃗b=(-1，4，-2)，⃗c=(3，2，λ)，若⃗c=2⃗a+⃗b，
则实数λ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知 ， ，且 ，则 的值
⃗a=(−3,2,5) ⃗b=(1,x,−1) ⃗a⋅⃗b=2 x
是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量 ，满足条
⃗a=(1,−1,λ),⃗b=(1,−2,1),⃗c=(1,1,1)
件 ，则 （ ）
(⃗c−⃗a)⋅⃗b=−1 λ=
A．−1 B．−2 C．1 D．2
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A(1,−1,2)，B(2,−1,1)，C(3,3,2)，又点
P(x,7,−2)在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．11 B．9 C．1 D．−4
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有
1 2 3 1 2 3
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0；
1 1 2 2 3 3
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
2．空间两点间的距离公式
设P(x，y，z)，P(x，y，z)是空间中任意两点，则PP＝|P1P2|＝.
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，
1 1 1 1 1
1
BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C G的中点．求|⃗FH|.
1
4
学科网（北京）股份有限公司【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A B C D 中，AB//CD，
1 1 1 1
AB⊥AD，A A =AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD ，A D ，BB 的中点.
1 1 1 1 1
(1)求线段FG的长度；
(2)求⃗CG⋅⃗EF.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，CA=CB=1，
1 1 1
∠BCA=90°，A A =2，M,N分别是B C ，A A的中点．
1 1 1 1
(1)求M,N的距离；
(2)求 的值．
cos⟨⃗BA ,⃗CB ⟩
1 1
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，且 ，点 是 的中点，求 的值．
|⃗AD|=√7 ∠DAB=∠DAC=60° P BC |⃗DP|
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设
.若 ，求实数k的值．
⃗a=⃗AB,⃗b=⃗AC (k⃗a+⃗b)//(⃗a−3⃗b)
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶
点D的坐标．
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知 ， .
⃗a=(1,4,−2) ⃗b=(−2,2,4)
1
(1)若⃗c= ⃗b，求cos<⃗a,⃗c>的值；
2
(2)若 ，求实数 的值.
(k⃗a+⃗b)∥(⃗a−3⃗b) k
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDABC D 中，E是棱DD的中点，P、Q分别为线段
1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司BD，BD上的点，且3 ＝ ，若PQ⊥AE， ＝λ ，求λ的值．
1 1 ⃗B P ⃗PD ⃗BD ⃗DQ
1 1
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设⃗a=⃗AB,
.若 与 垂直，求 满足的关系式.
⃗b=⃗AC m(⃗a+⃗b)+n(⃗a−⃗b) 2⃗a−⃗b m,n
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知 ， ．
⃗a=(3,2,−1) ⃗b=(2,1,2)
(1)求 ；
(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)
(2)当 时，求实数k的值．
(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+k⃗b)
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,3)，
C(3,0,1)，设⃗a=⃗AB，⃗b=⃗AC.
学科网（北京）股份有限公司(1)若|⃗c|=3，且⃗c∥⃗BC，求向量⃗c；
(2)已知向量⃗a+k⃗b与⃗b互相垂直，求k的值.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知 ， ，点 ，
⃗a=(1,−4,5) ⃗b=(−2,3,2) A(−3,−2,3)
B(−2,−3,2)．
(1)求 的值．
|2⃗a+⃗b|
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得⃗OE⊥⃗b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（O为坐标原点）
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，
1 1 1 1 1
1
BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD．求cos⟨⃗EF,⃗C G⟩．
4 1
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量⃗a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
学科网（北京）股份有限公司(1)求|a|；
(2)求向量⃑a与⃑b夹角的余弦值.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，⃗a=⃗PM，
⃗b=⃗PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当k⃗a+⃗b与k⃗a−2⃗b的夹角为钝角时，求k的范围．
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD 、DB的中点，G在棱
1
1
CD上，且CG= CD，H是C G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
3 1
(1)求证：EF⊥B C；
1
(2)求cos<⃑EF,⃑C G>；
1
(3)求FH的长．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
