文档内容
专题 1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量概念的理解】..............................................................................................................................2
【题型2 空间向量的加减运算】..............................................................................................................................4
【题型3 空间向量的线性运算】..............................................................................................................................6
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】..............................................................................................................8
【题型5 向量共线的判定及应用】........................................................................................................................11
【题型6 由空间向量共线求参数】........................................................................................................................14
【题型7 向量共面的判定及应用】........................................................................................................................16
【题型8 由空间向量共面求参数】........................................................................................................................18
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|
a|或|AB|.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
共线向量
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都
(平行向量)
有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
学科网（北京）股份有限公司(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量
可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果|⃗a|=0，则⃗a=0⃗
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【解答过程】对于A，零向量0⃗的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果|⃗a|=0，则⃗a=0⃗，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能
比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；
对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；
对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；
对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量⃗a，⃗b满足
|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b；③若空间向量⃗m，⃗n，⃗p满足⃗m=⃗n，⃗n=⃗p，则⃗m=⃗p；④空间中任意两个单位向量必
相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单
位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.
【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量⃗a与⃗b的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b；
④若空间向量⃗m,⃗n,⃗p满足⃗m=⃗n,⃗n=⃗p，则⃗m=⃗p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相
同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量⃗a与⃗b的方向
不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
加法 a＋b＝OA＋ AB ＝OB
空间向
减法 a－b＝OA－OC＝CA
量的线
当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；
性运算
数乘 当λ<0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三
角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干
向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，⃗OA+⃗AB−⃗CB等于（ ）
A．⃗OA B．⃗AB C．⃗OC D．⃗AC
【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.
【解答过程】⃗OA+⃗AB−⃗CB=⃗OA+⃗AB+⃗BC=⃗OB+⃗BC=⃗OC.
故选：C.
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A B C D 中，化简
1 1 1 1
⃗AB+⃗BD−⃗AC =（ ）
1
A．⃗C B B．⃗BC C．⃗C D D．⃗DC
1 1 1 1
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】⃗AB+⃗BD−⃗AC =⃗AD−⃗AC =⃗C D.
1 1 1
故选：C.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角
学科网（北京）股份有限公司1 3
形，且E 为其重心，则⃗AB+ ⃗BC− ⃗DE−⃗AD=（ ）
2 2
A．⃗AB B．2⃗BD C．0⃗ D．2⃗DE
【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】
1
取BC的中点为F,则 ⃗BC=⃗BF,
2
又因为E 为△BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，
3
⃗DE=⃗DF,
2
1 3
则⃗AB+ ⃗BC− ⃗DE−⃗AD=⃗AB+⃗BF−⃗DF−⃗AD=⃗AF+⃗FD−⃗AD=⃗AD−⃗AD=0⃗
.
2 2
故选:C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、
DA边上的中点，则下列各式中成立的是
→ →
A．⃑EB+⃑BF+⃑EH+⃑GH=0 B．⃑EB+⃑FC+⃑EH
–⃑EG=0
→ →
C．⃑EF+⃑FG+⃑EH+⃑GH=0 D．⃑EF–⃑FB+⃑CG+⃑GH=0
【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.
【解答过程】画出图形，如图所示，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴⃑FC=⃑BF，⃑GH=⃑FE，
对于A，⃑EB+⃑BF+⃑EH+⃑GH=⃑EF+⃑EH+⃑GH=⃑HG+⃑EH+⃑GH=⃑EH；
→
对于B，⃑EB+⃑FC+⃑EH –⃑EG=⃑EB+⃑BF+（⃑EH –⃑EG）=⃑EF+⃑GH=⃑EF–⃑EF=0 ；
对于C，⃑EF+⃑FG+⃑EH+⃑GH=⃑EF+⃑FG+⃑GH+⃑EH=⃑EH+⃑EH=2⃑EH；
对于D，⃑EF–⃑FB+⃑CG+⃑GH=⃑EF+⃑BF+⃑CG+⃑GH=⃑EF+⃑FC+⃑CG+⃑GH=⃑EH．
故选B．
学科网（北京）股份有限公司【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是
（ ）
A．⃗AB+2⃗BC+2⃗CD+⃗DC
B．2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC
C．⃗AB+⃗DA+⃗BD
D．⃗AB−⃗CB+⃗CD−⃗AD
【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【解答过程】对于A，⃗AB+2⃗BC+2⃗CD+⃗DC=(⃗AB+⃗BC)+(⃗BC+⃗CD)+(⃗CD+⃗DC)=⃗AC+⃗BD；
对于B，2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC=2(⃗AB+⃗BC)+3(⃗CD+⃗DA)+⃗AC=3⃗AC+3⃗CA=0⃗；
对于C，⃗AB+⃗DA+⃗BD=⃗DA+⃗AB+⃗BD=⃗DB+⃗BD=0⃗；
对于D，⃗AB−⃗CB+⃗CD−⃗AD=(⃗AB−⃗AD)+(⃗CD−⃗CB)=⃗DB+⃗BD=0⃗.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点
1
F是AE的三等分点，且AF= EF，则⃗AF等于（ ）．
2
1 1 1 1 1
A． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD B． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD D． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD
2 6 6 3 6 6
1 1
【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得⃗AF= ⃗AE，⃗AE=⃗ A A′+⃗ A′E， ⃗ A′E= ⃗ A′C′ ，
3 2
⃗ A′C′=⃗ A′D′+⃗ A′B′，⃗ A′D′=⃗AD，⃗ A′B′=⃗AB，代入⃗AF= 1(⃗ A A′+ 1 ⃗ A′C′) 化简即可得出答案．
3 2
学科网（北京）股份有限公司【解答过程】如图所示，
1 1 1
由于AF= EF，故⃗AF= ⃗AE，⃗AE=⃗ A A′+⃗ A′E， ⃗ A′E= ⃗ A′C′ ，
2 3 2
⃗ A′C′=⃗ A′D′+⃗ A′B′，⃗ A′D′=⃗AD，⃗ A′B′=⃗AB，
∴⃗AF= 1 ⃗AE= 1(⃗ A A′+ 1 ⃗ A′C′) = 1 ⃗ A A′+ 1 ( ⃗ A′B′+⃗ A′D′ )
3 3 2 3 6
1 1 1 1 1
= ⃗ A A′+ (⃗AB+⃗AD)= ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD，
3 6 3 6 6
故选：D．
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A B C D 中，点E满足
1 1 1 1
1 1
⃗AE=− ⃗A A +⃗AB + ⃗AD ，则（ ）
3 1 1 3 1
A．3⃗B E=⃗B C B．3⃗B E=2⃗B C C．⃗B E=3⃗B C D．2⃗B E=3⃗B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用B 作为起点的向量来表示，然后整理即可.
1
1 1
【解答过程】由⃗AE=− ⃗A A +⃗AB + ⃗AD 得
3 1 1 3 1
1 1
⃗B E−⃗B A=− (⃗B A −⃗B A)−⃗B A+ (⃗B D −⃗B A)，
1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
整理得3⃗B E=⃗B D −⃗B A =⃗A D =⃗B C .
1 1 1 1 1 1 1 1 1
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，E、F分别是BC、
1 1 1
CC 的中点，G为△ABC的重心，则⃗GF=（ ）
1
1 2 1 1 2 1
A．− ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗A A B． ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗A A
3 3 2 1 3 3 2 1
2 1 1 1 2 1
C．− ⃗AB+ ⃗AC− ⃗A A D． ⃗AB− ⃗AC+ ⃗A A
3 3 2 1 3 3 2 1
【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【解答过程】解：由题意可得：
⃗GF=⃗GE+⃗EF
1 1
= ⃗AE+ ⃗BC
3 2 1
1 1 1
= × (⃗AB+⃗AC)+ (⃗BC+⃗BB )
3 2 2 1
1 1 1
= ⃗AB+ ⃗AC+ (⃗AC−⃗AB+⃗BB )
6 6 2 1
1 2 1
=− ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗BB
3 3 2 1
1 2 1
=− ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗A A .
3 3 2 1
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，
→ → → →
⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC=⃗c，点M在⃗OA上，且⃗OM=2⃗MA,N为BC的中点，
MN=xa+ yb+zc
，则x,y,z
的值分别为（ ）
1 2 1 1 1 2
A． ,− , B． , ,−
2 3 2 2 2 3
2 1 1 2 2 1
C．− , , D． , ,−
3 2 2 3 3 2
【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.
1 2 2 1 1
【解答过程】⃗MN=⃗ON−⃗OM= (⃗OB+⃗OC)− ⃗OA=− ⃗a+ ⃗b+ ⃗c，
2 3 3 2 2
2 1 1
所以x=− ,y= ,z= ，
3 2 2
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A B C 中，D是CC 的中点，F是
1 1 1 1
A B的中点，且⃑DF=α⃑AB+β⃑AC，则
1
1 1
A．α= , β=−1 B．α=− , β=1
2 2
1 1
C．α=1, β=− D．α=−1, β=
2 2
【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得，
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1 1 1
⃑DF=⃑DC+⃑CB+⃑BF= ⃑CC +⃑CB+ ⃑BA = ⃑A A+⃑AB−⃑AC+ ⃑BA + ⃑A A = ⃑AB−⃑AC 从而可
2 1 2 1 2 1 2 ❑ 2 1 2
求α，β，
【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
1 1 1 1 1 1
⃑DF=⃑DC+⃑CB+⃑BF= ⃑CC +⃑CB+ ⃑BA = ⃑A A+⃑AB−⃑AC+ ⃑BA + ⃑A A = ⃑AB−⃑AC，
2 1 2 1 2 1 2 ❑ 2 1 2
1
∴α= ，β=﹣1，
2
故选A．
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A B C D 中，点E
1 1 1 1
为上底面对角线A C 的中点，若⃑BE=⃑A A +x⃑AB+ y⃑AD，则（ ）
1 1 1
1 1 1 1
A．x=− ,y= B．x= ,y=−
2 2 2 2
1 1 1 1
C．x=− ,y=− D．x= ,y=
2 2 2 2
【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.
1
【解答过程】根据题意，得；⃑BE=⃑BB + (⃑BA+⃑BC)
1 2
1 1
=⃑A A + ⃑BA+ ⃑BC
1 2 2
1 1
=⃑A A − ⃑AB+ ⃑AD,
1 2 2
又∵⃑BE=⃑A A +x⃑AB+ y⃑AD
1
1 1
∴x=− ,y= ,
2 2
故选：A.
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A B C D 中，点P在A C上，且
1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司1
⃗A P= ⃗A C，若⃗AP=x⃗A A + y⃗AB+z⃗AD，则x+ y+z=（ ）
1 4 1 1
3 5 7
A． B．1 C． D．
4 4 4
【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.
【解答过程】
1 1
如图，⃗AP=⃗A A +⃗A P=⃗A A + ⃗A C=⃗A A + (⃗AC−⃗A A )
1 1 1 4 1 1 4 1
3 1 3 1 1
= ⃗A A + (⃗AB+⃗AD)= ⃗A A + ⃗AB+ ⃗AD,
4 1 4 4 1 4 4
3 1 1
所以x= ,y= ,z= ，
4 4 4
5
所以x+ y+z= ，
4
故选:C.
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共
线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直
接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
学科网（北京）股份有限公司如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共
面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是
AC､BF的中点，判断⃗CE与⃗MN是否共线？
【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，
1 1
所以⃗MN=⃗MA+⃗AF+⃗FN= ⃗CA+⃗AF+ ⃗FB.
2 2
1 1
又⃗MN=⃗MC+⃗CE+⃗EB+⃗BN=− ⃗CA+⃗CE−⃗AF− ⃗FB，
2 2
1 1 1 1
所以 ⃗CA+⃗AF+ ⃗FB=− ⃗CA+⃗CE−⃗AF− ⃗FB.
2 2 2 2
所以⃗CE=⃗CA+2⃗AF+⃗FB=2(⃗MA+⃗AF+⃗FN)=2⃗MN，
即⃗CE=2⃗MN，即⃗CE与⃗MN共线.
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E在A D 上，且
1 1 1 1 1 1
2
⃗A E=2⃗ED ，F在对角线AC上，且⃗A F= ⃗FC.若⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b,⃗A A =⃗c.
1 1 1 1 3 1
学科网（北京）股份有限公司（1）用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
2
【解题思路】（1）由已知得⃗EB=⃗EA +⃗A A+⃗AB= ⃗D A +⃗A A+⃗AB，由此可得答案；
1 1 3 1 1 1
3
（2）由已知得⃗FB = ⃗EB，由此可得证.
5
【解答过程】解：（1）因为⃗A E=2⃗ED ， ⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b,⃗A A =⃗c，
1 1 1
2 2
所以⃗EB=⃗EA +⃗A A+⃗AB= ⃗D A +⃗A A+⃗AB=− ⃗b−⃗c+⃗a，
1 1 3 1 1 1 3
2
所以⃗EB=⃗a− ⃗b−⃗c；
3
2
（2）⃗A F= ⃗FC.
1 3
2
⃗FB=⃗F A +⃗A A+⃗AB= ⃗C A +⃗A A+⃗AB
1 1 5 1 1
2
= (⃗CB+⃗BA+⃗A A )+⃗A A+⃗AB
5 1 1
2
= (−⃗b−⃗a+⃗c)−⃗c+⃗a
5
3 2 3 3 2 3
= ⃗a− ⃗b− ⃗c= (⃗a− ⃗b−⃗c)= ⃗EB，
5 5 5 5 3 5
又⃗EB与⃗FB相交于B，所以E，F，B三点共线.
学科网（北京）股份有限公司【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，
2 2
点F，G分别是CB，CD上的点，且⃗CF= ⃗CB，⃗CG= ⃗CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.
3 3
【解题思路】根据题意得出EH∥BD，利用空间向量共线定理证明即可.
【解答过程】证明：连接BD.
2 2
∵点E，H分别是边AB，AD的中点，且⃗CF= ⃗CB，⃗CG= ⃗CD，
3 3
1 1 1 3 3 3 3
∴ ⃗EH= ⃗BD= (⃗CD−⃗CB)= ( ⃗CG− ⃗CF)= (⃗CG−⃗CF)= ⃗FG，
2 2 2 2 2 4 4
3
∴ ⃗EH∥⃗FG且|⃗EH|= |⃗FG|≠|⃗FG| .
4
又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且
⃑OE=k⃑OA，⃑OF=k⃑OB，⃑OH=k⃑OD，⃑AC=⃑AD+m⃑AB，⃑EG=⃑EH+m⃑EF，k≠0,m≠0.
学科网（北京）股份有限公司求证：（1）⃑AC//⃑EG；
（2）⃑OG=k⃑OC.
【解题思路】（1）由题意，⃑EG=⃑EH+m⃑EF，转化⃑EH=⃑OH−⃑OE,⃑EF=⃑OF−⃑OE，代入结合题干条件
运算即得证；
（2）由题意，⃑OG=⃑OE+⃑EG，又⃑OE=k⃑OA,⃑EG=k⃑AC，运算即得证
【解答过程】证明：（1）⃑EG=⃑EH+m⃑EF=⃑OH−⃑OE+m(⃑OF−⃑OE)
=k(⃑OD−⃑OA)+km(⃑OB−⃑OA)
=k⃑AD+km⃑AB=k(⃑AD+m⃑AB)=k⃑AC
∴⃑AC//⃑EG.
（2）⃑OG=⃑OE+⃑EG=k⃑OA+k⃑AC=k(⃑OA+⃑AC)=k⃑OC.
【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量⃗e ，⃗e ，⃗e 不共面，已知⃗AB=⃗e +⃗e +⃗e ，
1 2 3 1 2 3
⃗BC=⃗e +λ⃗e +⃗e ，⃗CD=4⃗e +8⃗e +4⃗e ，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）
1 2 3 1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得⃗AC//⃗CD，则存在唯一实数μ，使得⃗AC=μ⃗CD，再根据空
间向量共线定理即可得解.
【解答过程】由⃗AB=⃗e +⃗e +⃗e ，⃗BC=⃗e +λ⃗e +⃗e ，
1 2 3 1 2 3
得⃗AC=⃗AB+⃗BC=2⃗e +(1+λ)⃗e +2⃗e ，
1 2 3
因为A，C，D三点共线，所以⃗AC//⃗CD，
则存在唯一实数μ，使得⃗AC=μ⃗CD，
则¿，解得¿.
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量⃗a,⃗b不共线，且⃗a−y⃗b=x⃗a+3⃗b，那
么x,y的值分别是（ ）
A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3
C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3
【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.
【解答过程】由题意可知空间向量⃗a,⃗b不共线，且⃗a−y⃗b=x⃗a+3⃗b，即(x−1)⃗a−(y+3)⃗b=0⃗，
则x−1=0,−(y+3)=0，即x=1,y=−3，
故选：C.
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{⃑a,⃑b,⃑c}是空间的一个基底，若⃑m=⃑a+2⃑b−3⃑c，
x
⃑n=x(⃑a+⃑b)−y(⃑b+⃑c)+3(⃑a+⃑c)，若⃑m∥⃑n，则 =（ ）
y
1 1
A．−3 B．− C．3 D．
3 3
【解题思路】由⃑m∥⃑n，可得存在实数λ，使⃑n=λ⃑m，然后将⃑m,⃑n代入化简可求得结果
【解答过程】⃑m=⃑a+2⃑b−3⃑c，⃑n=x(⃑a+⃑b)−y(⃑b+⃑c)+3(⃑a+⃑c)=(x+3)⃑a+(x−y)⃑b+(3−y)⃑c，
因为⃑m∥⃑n，所以存在实数λ，使⃑n=λ⃑m，
所以(x+3)⃑a+(x−y)⃑b+(3−y)⃑c=λ(⃑a+2⃑b−3⃑c)，
所以¿，
所以¿，得2x+2y=3x−y，x=3 y，
x
所以 =3，
y
故选：C.
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量⃑a=3⃑m−2⃑n−4⃑p，⃑b=(x+1)⃑m+8⃑n+2y⃑p，且⃑m、
⃑n、⃑p不共面．若⃑a//⃑b，则x+ y=（ ）
A．−13
B．−5
C．8
D．13
【解题思路】先由向量平行，得到⃑b=λ⃑a，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.
【解答过程】∵⃑a//⃑b且⃑a≠0，∴⃑b=λ⃑a，即(x+1)⃑m+8⃑n+2y⃑p=3λ⃑m−2λ⃑n−4λ⃑p，
又⃑m、⃑n、⃑p不共面，∴¿，解得x=−13，y=8，x+ y=−5.
学科网（北京）股份有限公司故选：B.
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下
列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)⃗OB+⃗OM=3⃗OP−⃗OA；
(2)⃗OP=4⃗OA−⃗OB−⃗OM．
【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若⃗OB+⃗OM=3⃗OP−⃗OA，
1 1 1
即⃑OP= ⃑OA+ ⃑OB+ ⃑OM，
3 3 3
1 1 1
又因为 + + =1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M共面.
3 3 3
（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若⃗OP=4⃗OA−⃗OB−⃗OM，此时4−1−1=2≠1，
根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．
【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i⃗,⃗j,⃗k是不共面向量，
⃗a=i⃗−2⃗j+⃗k,⃗b=−i⃗+3⃗j+2⃗k,⃗c=−3i⃗+7⃗j，证明这三个向量共面.
【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.
【解答过程】由i⃗,⃗j,⃗k是不共面向量，得⃗a与⃗b不共线，
设⃗a=x⃗b+ y⃗c，则i⃗−2⃗j+⃗k=x(−i⃗+3⃗j+2⃗k)+ y(−3i⃗+7⃗j)，
1 1
所以¿，解得¿，所以⃗a= ⃗b− ⃗c，
2 2
所以这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，
DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量⃗EG，⃗EF，⃗EH共面，结合向量的线性运
算及共面向量定理证明即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明．
【解答过程】（1）如图，连接EG，BG．
1
因为⃗EG＝⃗EB＋⃗BG＝⃗EB＋ (⃗BC＋⃗BD)＝⃗EB＋⃗BF＋⃗EH＝⃗EF＋⃗EH，
2
由向量共面的充要条件可知，向量⃗EG，⃗EF，⃗EH共面，
又⃗EG，⃗EF，⃗EH过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
1 1 1 1
（2）因为⃗EH＝⃗AH－⃗AE＝ ⃗AD－ ⃗AB＝ (⃗AD－⃗AB)＝ ⃗BD，
2 2 2 2
又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH．
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量⃑OE=k⃑OA，
⃑OF=k⃑OB，⃑OG=k⃑OC，⃑OH=k⃑OD.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)平面AC∥平面EG.
【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得⃑EG=⃑EF+⃑EH,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.
（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.
【解答过程】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴⃑AC=⃑AB+⃑AD，
∵⃑EG=⃑OG−⃑OE，
=k⋅⃑OC−k⋅⃑OA=k(⃑OC−⃑OA)=k⃑AC=k(⃑AB+⃑AD)
=k(⃑OB−⃑OA+⃑OD−⃑OA)=⃑OF−⃑OE+⃑OH−⃑OE=⃑EF+⃑EH
∴E、F、G、H四点共面；
（2）∵⃑EF=⃑OF−⃑OE=k(⃑OB−⃑OA)=k⋅⃑AB，∴EF∥AB
又因为EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD
又∵⃑EG=k⋅⃑AC，∴EG∥AC，
学科网（北京）股份有限公司EG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,EG∥平面ABCD，
又EF∩EG=E，EF,EG⊂平面EG
所以，平面EG∥平面AC.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三
点不共线．如果⃗BP=m⃗OA+⃗OB+⃗OC，则m的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【解题思路】由题设条件推得⃗OP=m⃗OA+2⃗OB+⃗OC，再由四点共面可求得m=−2
【解答过程】因为⃗BP=⃗OP−⃗OB，
所以由⃗BP=m⃗OA+⃗OB+⃗OC
得⃗OP−⃗OB=m⃗OA+⃗OB+⃗OC，
即⃗OP=m⃗OA+2⃗OB+⃗OC，
因为O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面，
所以m+2+1=1，故m=−2.
故选：A.
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，
实数x,y满足⃗OD=x⃗OA+ y⃗OB−⃗OC，则x2+ y2的最小值为（ ）
4 2√5
A． B． C．1 D．2
5 5
【解题思路】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】因为⃗OD=x⃗OA+ y⃗OB−⃗OC，点D在△ABC确定的平面内，
所以x+ y−1=1，即x=2−y，所以x2+ y2=(2−y) 2+ y2=2y2−4 y+4=2(y−1) 2+2≥2，
所以当y=1时，x2+ y2的有最小值2．
故选：D.
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若
2 1
⃗OM=2λ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）
5 6
13 17 17 13
A．λ= B．λ= C．λ=− D．λ=−
60 60 60 60
【解题思路】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【解答过程】A,B,C,M四点共面的充要条件是⃗AM=x⃗BM+ y⃗CM，
学科网（北京）股份有限公司，整理可得 ，
⃗OM−⃗OA=x(⃗OM−⃗OB)+ y(⃗OM−⃗OC) (1−x−y)⃗OM=⃗OA−x⃗OB−y⃗OC
2 1 13
由⃗OM=2λ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC，则¿，解得λ= ，
5 6 60
故选：A.
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O
为平面ABC外一点,设⃗OP=m⃗OA+n⃗OB+2⃗OC,则m+n的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【解题思路】先将⃗OP写为⃗OA+⃗AP,再根据平面向量基本定理,将⃗AP写为x⃗AB+ y⃗AC,代入⃗OP中,利用向
量的加减,化为⃗OA,⃗OB,⃗OC的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
【解答过程】由题知⃗OP=⃗OA+⃗AP，
∵A,P,B,C四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC,(x,y∈R)，
则⃗OP=⃗OA+x⃗AB+ y⃗AC
=⃗OA+x(⃗OB−⃗OA)+ y(⃗OC−⃗OA)
=(1−x−y)⃗OA+x⃗OB+ y⃗OC,
∵⃗OP=m⃗OA+n⃗OB+2⃗OC，
∴¿,
∴m+n=1−x−y+x =1−y=−1.
故选:B.
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