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专题 1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量概念的理解】..............................................................................................................................2
【题型2 空间向量的加减运算】..............................................................................................................................3
【题型3 空间向量的线性运算】..............................................................................................................................3
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】..............................................................................................................4
【题型5 向量共线的判定及应用】..........................................................................................................................6
【题型6 由空间向量共线求参数】..........................................................................................................................8
【题型7 向量共面的判定及应用】..........................................................................................................................9
【题型8 由空间向量共面求参数】........................................................................................................................10
【知识点1 空间向量的概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|
a|或|AB|.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
共线向量
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都
(平行向量)
有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
学科网（北京）股份有限公司(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量
可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
【题型1 空间向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果|⃗a|=0，则⃗a=0⃗
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量⃗a，⃗b满足
|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b；③若空间向量⃗m，⃗n，⃗p满足⃗m=⃗n，⃗n=⃗p，则⃗m=⃗p；④空间中任意两个单位向量必
相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量 满足 ，则 ；
⃗a,⃗b |⃗a|=|⃗b| ⃗a=⃗b
④若空间向量⃗m,⃗n,⃗p满足⃗m=⃗n,⃗n=⃗p，则⃗m=⃗p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
空间向 加法 a＋b＝OA＋ AB ＝OB
学科网（北京）股份有限公司减法 a－b＝OA－OC＝CA
量的线
性运算 当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；
数乘 当λ<0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三
角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干
向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
【题型2 空间向量的加减运算】
【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，⃗OA+⃗AB−⃗CB等于（ ）
A．⃗OA B．⃗AB C．⃗OC D．⃗AC
【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A B C D 中，化简
1 1 1 1
（ ）
⃗AB+⃗BD−⃗AC =
1
A． B． C． D．
⃗C B ⃗BC ⃗C D ⃗DC
1 1 1 1
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角
1 3
形，且E 为其重心，则⃗AB+ ⃗BC− ⃗DE−⃗AD=（ ）
2 2
A．⃗AB B．2⃗BD C．0⃗ D．2⃗DE
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、
DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A． + + + → B． + + →
⃑EB ⃑BF ⃑EH
⃑GH=0
⃑EB ⃑FC
⃑EH –⃑EG=0
C． + + + → D． + + →
⃑EF ⃑FG ⃑EH
⃑GH=0
⃑EF–⃑FB ⃑CG
⃑GH=0
学科网（北京）股份有限公司【题型3 空间向量的线性运算】
【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是
（ ）
A．⃗AB+2⃗BC+2⃗CD+⃗DC
B．2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC
C．⃗AB+⃗DA+⃗BD
D．⃗AB−⃗CB+⃗CD−⃗AD
【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点
1
F是AE的三等分点，且AF= EF，则⃗AF等于（ ）．
2
1 1 1 1 1
A． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD B． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD D． ⃗ A A′+ ⃗AB+ ⃗AD
2 6 6 3 6 6
【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A B C D 中，点E满足
1 1 1 1
1 1
⃗AE=− ⃗A A +⃗AB + ⃗AD ，则（ ）
3 1 1 3 1
A． B． C． D．
3⃗B E=⃗B C 3⃗B E=2⃗B C ⃗B E=3⃗B C 2⃗B E=3⃗B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，E、F分别是BC、
1 1 1
CC 的中点，G为△ABC的重心，则⃗GF=（ ）
1
1 2 1 1 2 1
A．− ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗A A B． ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗A A
3 3 2 1 3 3 2 1
学科网（北京）股份有限公司2 1 1 1 2 1
C．− ⃗AB+ ⃗AC− ⃗A A D． ⃗AB− ⃗AC+ ⃗A A
3 3 2 1 3 3 2 1
【题型4 由空间向量的线性运算求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，
，点 在 上，且 为 的中点， → → → →，则
⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC=⃗c M ⃗OA ⃗OM=2⃗MA,N BC
MN=xa+ yb+zc
x,y,z
的值分别为（ ）
1 2 1 1 1 2
A． ,− , B． , ,−
2 3 2 2 2 3
2 1 1 2 2 1
C．− , , D． , ,−
3 2 2 3 3 2
【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A B C 中，D是CC 的中点，F是
1 1 1 1
A B的中点，且⃑DF=α⃑AB+β⃑AC，则
1
1 1
A．α= , β=−1 B．α=− , β=1
2 2
1 1
C．α=1, β=− D．α=−1, β=
2 2
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A B C D 中，点E
1 1 1 1
为上底面对角线A C 的中点，若⃑BE=⃑A A +x⃑AB+ y⃑AD，则（ ）
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
A．x=− ,y= B．x= ,y=−
2 2 2 2
1 1 1 1
C．x=− ,y=− D．x= ,y=
2 2 2 2
【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A B C D 中，点P在A C上，且
1 1 1 1 1
1
⃗A P= ⃗A C，若⃗AP=x⃗A A + y⃗AB+z⃗AD，则x+ y+z=（ ）
1 4 1 1
3 5 7
A． B．1 C． D．
4 4 4
【知识点3 共线向量与共面向量】
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共
线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直
接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共
面向量．
学科网（北京）股份有限公司(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
【题型5 向量共线的判定及应用】
【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是
AC､BF的中点，判断⃗CE与⃗MN是否共线？
【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E在A D 上，且
1 1 1 1 1 1
2
⃗A
1
E=2⃗ED
1
，F在对角线A
1
C上，且⃗A
1
F=
3
⃗FC.若⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b,⃗A A
1
=⃗c.
（1）用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗EB.
（2）求证：E，F，B三点共线.
学科网（北京）股份有限公司【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，
2 2
点F，G分别是CB，CD上的点，且⃗CF= ⃗CB，⃗CG= ⃗CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.
3 3
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且
⃑OE=k⃑OA，⃑OF=k⃑OB，⃑OH=k⃑OD，⃑AC=⃑AD+m⃑AB，⃑EG=⃑EH+m⃑EF，k≠0,m≠0.
求证：（1）⃑AC//⃑EG；
（2）⃑OG=k⃑OC.
学科网（北京）股份有限公司【题型6 由空间向量共线求参数】
【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量 ， ， 不共面，已知 ，
⃗e ⃗e ⃗e ⃗AB=⃗e +⃗e +⃗e
1 2 3 1 2 3
， ，若A，C，D三点共线，则 （ ）
⃗BC=⃗e +λ⃗e +⃗e ⃗CD=4⃗e +8⃗e +4⃗e λ=
1 2 3 1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量⃗a,⃗b不共线，且⃗a−y⃗b=x⃗a+3⃗b，那
么x,y的值分别是（ ）
A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3
C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3
【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{⃑a,⃑b,⃑c}是空间的一个基底，若⃑m=⃑a+2⃑b−3⃑c，
x
⃑n=x(⃑a+⃑b)−y(⃑b+⃑c)+3(⃑a+⃑c)，若⃑m∥⃑n，则 =（ ）
y
1 1
A．−3 B．− C．3 D．
3 3
【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量⃑a=3⃑m−2⃑n−4⃑p，⃑b=(x+1)⃑m+8⃑n+2y⃑p，且⃑m、
⃑n、⃑p不共面．若⃑a//⃑b，则x+ y=（ ）
A．−13
B．−5
C．8
D．13
【题型7 向量共面的判定及应用】
【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下
列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)⃗OB+⃗OM=3⃗OP−⃗OA；
(2)⃗OP=4⃗OA−⃗OB−⃗OM．
学科网（北京）股份有限公司【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i⃗,⃗j,⃗k是不共面向量，
⃗a=i⃗−2⃗j+⃗k,⃗b=−i⃗+3⃗j+2⃗k,⃗c=−3i⃗+7⃗j，证明这三个向量共面.
【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，
DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量⃑OE=k⃑OA，
⃑OF=k⃑OB，⃑OG=k⃑OC，⃑OH=k⃑OD.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)平面AC∥平面EG.
【题型8 由空间向量共面求参数】
【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三
点不共线．如果⃗BP=m⃗OA+⃗OB+⃗OC，则m的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，
实数x,y满足⃗OD=x⃗OA+ y⃗OB−⃗OC，则x2+ y2的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司4 2√5
A． B． C．1 D．2
5 5
【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若
2 1
⃗OM=2λ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）
5 6
13 17 17 13
A．λ= B．λ= C．λ=− D．λ=−
60 60 60 60
【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O
为平面ABC外一点,设⃗OP=m⃗OA+n⃗OB+2⃗OC,则m+n的值为（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
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