文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知点A(2，0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为
【答案】π3（或60°）
【解析】由题意得直线AB的斜率k＝3)－03－2＝3，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝3；因为0°≤α<180°，所以α＝60°；
2．过点P(－1，3)且倾斜角为30°的直线方程为________．
【答案】x－3y＋4＝0
【解析】由点斜式可得y－3＝tan 30°(x＋1)，即y－3＝3)3(x＋1)，化简得x－3y＋4＝0.
3．直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为
_______________
【答案】2x－y＝0. ；
【解析】方法1：联立2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，)解得x＝－1，y＝－2，)所以两直线的交点为
(－1，－2)，
所以直线l的斜率为－2－0－1－0＝2，则直线l的方程为2x－y＝0；
方法2：设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ R).
因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8；所以直线l的方程为2x－y＝0；
∈
4．已知圆方程x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是
【答案】 (2，0)；
【解析】依题意，圆x2＋y2－4x－1＝0转化为标准方程得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)；
5．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________
【答案】3x＋4y＋5＝0；
【解析】设所求对称直线的点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，
所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0；
1 / 96．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________________．
【答案】(x－2)2＋y2＝10
【解析】圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，
即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝10，
故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
7．长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________.
【答案】x2＋y2＝a2
【解析】如图，设线段AB的中点为M(x，y)，点M运动时，它到原点O的距离为定长，即Rt△AOB
的斜边上的中线长为定长．
因为|AB|＝2a，即点M {M||OM|＝a}，点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
8．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为________________．
∈
【答案】y＝1或4x－3y－5＝0
【解析】设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，所以|1－2k|\r(k2＋1)＝1，解得k＝0或43，
因此所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0；
9．已知椭圆C：x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作直线交椭圆C于A，B两点，
1 2 1
则△ABF 的周长为
2
【答案】20；
【解析】由题意，椭圆的长轴长为2a＝225＝10，由椭圆的定义得|AF |＋|AF |＝2a＝10，
1 2
|BF |＋|BF |＝2a＝10，所以△ABF 的周长是20.
1 2 2
10．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.
现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，
若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
2 / 9【答案】
【解析】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点 在该双曲线上．
设该双曲线的方程为 ，
则 解得 ， ，
故该双曲线的标准方程是 ．
11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小
值为
【答案】4；
【解析】由抛物线y2＝4x知p＝2，则F(1，0)，准线l方程为x＝－1.如图所示，点A在抛物线内，过
点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点P′，过点A作AH l于点H.由抛物线的定义得|PF|＝|PP′|，
⊥
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AH|，
当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点(即A，P，H三点共线)时取等号．
故|PA|＋|PF|的最小值为|AH|＝3＋p2＝4；
12．若曲线 与直线 没有公共点，则实数 、 分别应满足的条件是
【提示】由条件作出曲线 的图象，根据图象分析出当直线 与 轴垂直且夹在直线
之间.
【答案】 且
【解析】方法1：曲线 ,作出其图像，如图所示，
曲线 的图象关于 轴对称
3 / 9若 ，当 时，一次函数 的增加的速度比函数 快.
所以当 时，若 ，则 的图象与曲线 的图象一定有交点.
所以当 时，若 时，根据 的图象与曲线 的图象变化情况
可得 的图象与曲线 的图象一定有交点，
所以当 时，不满足条件.
所以 ，根据图象可得 ．
故答案为： 且
方法2：当k＝0时， ⇒b2＝｜x｜＋1≥1，所以，只需｜b｜＜1，
方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1即可；
当k≠0时，因为，y＝kx＋b与y＝kx平行，
若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点，
k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，所以有公共点则，k＝0且｜b｜＜1；
二、选择题(本题⇒共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选
项)
13．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形
【答案】D；
【解析】直线AB的斜率k ＝1－(－1)1－5＝－12，直线BC的斜率k ＝3－12－1＝2，由k ·k ＝－1，
AB BC AB BC
所以AB BC，故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形；答案：D；
14． “2＜m＜6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆”的（ ）
⊥
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B；
【解析】若方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆，则m－2＞0，6－m＞0，m－2≠6－m，解
得2＜m＜6，且m≠4，
故“2＜m＜6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件；答案：B
15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光
学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于 轴的
入射光线的一束光线与抛物线 的交点为 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为
（ ）
4 / 9A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ，则焦点为
，
又因为反射光线经过点 及焦点 ， ，
所以反射光线 的方程为 ，
联立抛物线方程得 ，解得 或 ，所以反射光线 与抛物线的交点为 ，
由两点间距离公式可得 ，
所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 ；
故选：C；
16．已知点P(m，n)是函数y＝2－－x2－2x图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ）
A．22－34 B．22＋34
C．34)2－1 D．34)2＋1
【答案】A；
【解析】式子y＝2－－x2－2x变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，又y≤2，
因此函数y＝2－－x2－2x图象是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1在y＝2下方的半圆，
5 / 9如图，作出直线3x＋5y＋15＝0，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，
|3m＋5n＋15|\r(34)表示点P(m，n)到直线3x＋5y＋15＝0的距离．
圆心为C(－1，2)，半径为1，d＝|3×(－1)＋5×2＋15|\r(32＋52)＝22\r(34)，
因此P到直线3x＋5y＋15＝0的距离的最小值是22\r(34)－1，
所以|3m＋5n＋15|的最小值是\a\vs4\al\co1(\f(22\r(34))－1)×34＝22－34；答案：A；
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．已知直线l ：ax＋2y＋6＝0和直线l ：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
1 2
（1）试判断a为何值时，l 与l 平行；
1 2
（2）当l l 时，求a的值；
1 2
【解析】（1）方法1：当a＝1时，l：x＋2y＋6＝0，l：x＝0，l 不平行于l；【1分】
⊥ 1 2 1 2
当a＝0时，l：y＝－3，l：x－y－1＝0，l 不平行于l；【2分】
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l：y＝－a2x－3，l：y＝11－ax－(a＋1)，【3分】
1 2
l l －\f(a11－aa＋1)，解得a＝－1，【5分】综上可知，当a＝－1时，l l；【7分】
1 2 1 2
方法2：显然a≠0，l l，则1a＝a－12≠a2－16 a(a－1)－1×2＝0，a(a2－1)－1×6≠0) a2－a－2＝0，
∥ ⇔ 1 2 ∥
a(a2－1)≠6，)【5分】
∥ ⇔ ⇒
可得a＝－1，【6分】故当a＝－1时，l l . 【7分】
1 2
（2）方法1：当a＝1时，l ：x＋2y＋6＝0，l ：x＝0，l 与l 不垂直，故a＝1不成立；【1分】
1 ∥2 1 2
当a＝0时，l ：y＝－3，l ：x－y－1＝0，l 不垂直于l ，故a＝0不成立；【2分】
1 2 1 2
当a≠1且a≠0时，l ：y＝－a2x－3，l ：y＝11－ax－(a＋1)，【4分】
1 2
由\a\vs4\al\co1(－\f(a2))·11－a＝－1，得a＝23；【7分】
方法2：由A A ＋B B ＝0，得a＋2(a－1)＝0，【6分】可得a＝23；【7分】
1 2 1 2
18．已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2；【2分】
6 / 9（1）因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．【3分】
又k ＝2)－2\r(2)＋1－1＝－1，【4分】
PC
所以过点P的切线的斜率为－1kPC＝1，【5分】
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0【7分】（2）因为
(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外．【9分】
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝|k－2＋1－3k|\r(k2＋1)＝r＝2，解得k＝34;
所以切线方程为y－1＝34(x－3)，【12分】
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1；
【14分】
19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆经过P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；
（3）已知椭圆与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方
程；
【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）x215＋y25＝1；（3）x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；
【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，
故设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
显然c＝1，b＝3，则a2＝b2＋c2＝4，
故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1; 【4分】
（2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有12m＋n＝1，3m＋4n＝1，)解得m＝\f(11515)，
则所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1; 【8分】
（3）椭圆x24＋y23＝1的离心率是e＝12，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，43b2)＝1，解得a2＝8，b2＝6，)
所以所求椭圆方程为x28＋y26＝1.
7 / 9当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，34b2)＝1，所以a2＝\f(253254)，
所以椭圆的标准方程为y2253＋x2254＝1.
所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；【14分】
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k R）；
（1）证明：直线l过定点；
∈
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，
求：S的最小值，并求此时直线l的方程；
【解析】（1）[证明] 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝0，1－y＝0，)解得x＝－2，y＝1.)
所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】
（2）[解] 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有－\f(1＋2kk1＋2k≥1，解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】
（3）[解] 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2kk)，0)，B(0，1＋2k).
依题意得－\f(1＋2kk1＋2k＞0，解得k>0.
因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·\f(1＋2kk))·|1＋2k|
＝12·(1＋2k)2k＝12\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1k)＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝1k，即k＝12，
所以S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】
min
【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；
2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次
函数)求解最值；
3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本
不等式求解；
21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的
绝对值等于4.
（1）双曲线C的标准方程；
（2）过点 作直线 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 的中点，求直线 的方程；
8 / 9（3）已知定点 ，点D是双曲线右支上的动点，求 的最小值；
【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程.
（3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】（1）依题意，双曲线焦点在 轴上，半焦距 ，
实半轴长 ，则虚半轴长 ，
所以双曲线C的标准方程为 ；【4分】
（2）显然直线 不垂直于 轴，否则弦 中点纵坐标为0，
设直线 的方程为 ，即 ，设 ，
由 消去 得： ，
依题意， ，由M为 的中点，得 ，解得 ，
此时方程为 ， ，符合题意，
所以直线 的方程为 ；【10分】
（3）由 ，得点 在双曲线夹含虚轴的区域内，
又点 在双曲线右支上，即 ，
因此 ，
当且仅当 是线段 与双曲线右支的交点时取等号，
所以 的最小值为 ；【18分】
9 / 9
