文档内容
专题 1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量数量积的计算】..........................................................................................................................2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】......................................................................................................................4
【题型3 利用空间向量的数量积求模】..................................................................................................................6
【题型4 向量垂直的应用】......................................................................................................................................8
【题型5 投影向量的求解】....................................................................................................................................11
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b
的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作
a·b.
定义
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
①a⊥b a·b＝0
性质
②a·a＝a2＝|a|2
⇔
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
运算律 ②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式 ＝ 求 ，进而确定 ．
学科网（北京）股份有限公司4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入 求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC等于（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．不确定
【解题思路】令⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b,⃗AD=⃗c，利用空间向量的数量积运算律求解.
【解答过程】令⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b,⃗AD=⃗c，
则⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC，
，
=⃗a·(⃗c−⃗b)+⃗b·(⃗a−⃗c)+⃗c·(⃗b−⃗a)
=⃗a·⃗c−⃗a·⃗b+⃗b·⃗a−⃗b·⃗c+⃗c·⃗b−⃗c·⃗a=0.
故选：B.
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 ⃗CE = ⃗ED，
⃗AF =2 ⃗FD，则向量⃗BE⋅⃗CF=（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
3 3 2 2
1 1 2
【解题思路】由向量的运算可得⃗BE= (⃗BC+⃗BD)，⃗CF= ⃗BA−⃗BC+ ⃗BD，由向量数量积的定义即可
2 3 3
得到答案.
π
【解答过程】由题得⃗BA,⃗BC夹角，⃗BD,⃗BC夹角，⃗BD,⃗BA夹角均为 ，
3
∵⃗CE=⃗ED,⃗AF=2⃗FD，
1 2
∴⃗BE= (⃗BC+⃗BD),⃗AF= ⃗AD，
2 3
∴⃗CF=⃗BF−⃗BC=⃗BA+⃗AF−⃗BC
学科网（北京）股份有限公司2 2 1 2
=⃗BA+ ⃗AD−⃗BC=⃗BA+ (⃗BD−⃗BA)−⃗BC= ⃗BA−⃗BC+ ⃗BD，
3 3 3 3
∴⃗BE⋅⃗CF= 1 (⃗BC+⃗BD)⋅ (1 ⃗BA−⃗BC+ 2 ⃗BD )
2 3 3
1 1 1 1 1
= ⃗BA⋅⃗BC− ⃗BC2− ⃗BC⋅⃗BD+ ⃗BA⋅⃗BD+ ⃗BD2
6 2 6 6 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×2×2× − ×22− ×2×2× + ×2×2× + ×22=−
6 2 2 6 2 6 2 3 3
故选：A.
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，
，则 等于（ ）
PA=AB=2 ⃗PO⋅(⃗PA+⃗PB)
10 2√6 8√2 16
A． B． C． D．
9 3 3 3
【解题思路】将⃗PA转化为⃗PO+⃗OA，⃗PB转化为⃗PO+⃗OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，
PO⊥BO，即可将⃗PO⋅⃗PA转化为|⃗PO|2，⃗PO⋅⃗PB转化为|⃗PO|2，结合勾股定理即可求解．
【解答过程】∵P−ABC为正三棱椎，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，
∴PO⊥AO，PO⊥BO，
△ABC是等边三角形，
1 |AB| 2√3 1 |AB| 2√3
∴⃗PO⋅⃗OA=0，|AO|= ⋅ = ，⃗PO⋅⃗OB=0，|BO|= ⋅ = ，
2 sin60∘ 3 2 sin60∘ 3
故⃗PO⋅⃗PA=⃗PO⋅(⃗PO+⃗OA)=|⃗PO| 2 =|PA| 2 −|OA| 2=4− 4 = 8 ，
3 3
⃗PO⋅⃗PB=⃗PO⋅(⃗PO+⃗OB)=|⃗PO| 2 =|PB2|−|OB| 2=4− 4 = 8 ，
3 3
16
则⃗PO⋅(⃗PA+⃗PB)=⃗PO⋅⃗PA+⃗PO⋅⃗PB= ．
3
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，EF是正方
1 1 1 1
体ABCD−A B C D 外接球的直径，点P是正方体ABCD−A B C D 表面上的一点，则⃗PE⋅⃗PF的
1 1 1 1 1 1 1 1
取值范围是（ ）
A．[−2,0] B．[−1,0] C．[0,1] D．[0,2]
【解题思路】求出正方体ABCD−A B C D 的外接球O的半径R，可得出⃗PE⋅⃗PF=PO2−3，求出OP
1 1 1 1
的取值范围，进而可求得⃗PE⋅⃗PF的取值范围.
【解答过程】设正方体ABCD−A B C D 的外接球的球心为O，设球O的半径为R，
1 1 1 1
则2R=2√3，可得R=√3，所以，OE=OF=√3，
2 2
⃗PE⋅⃗PF=(⃗PO+⃗OE)⋅(⃗PO+⃗OF)=(⃗PO+⃗OE)⋅(⃗PO−⃗OE)=|⃗PO| −|⃗OE|
=PO2−3，
当点OP与正方体ABCD−A B C D 的侧面或底面垂直时，OP的长取最小值，即OP =1，
1 1 1 1 min
当点 与正方体 的顶点重合时， 的长取最大值，即 ，
P ABCD−A B C D OP OP =√3
1 1 1 1 max
所以，1≤OP≤√3，所以，⃗PE⋅⃗PF=PO2−3∈[−2,0].
故选：A.
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为
⃑a ⃑b |⃑a|=|⃑b| (2⃑a−⃑b)⋅⃑b=0 ⃑a ⃑b
（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
1
【解题思路】设 ⃑a与⃑b的夹角为θ，则由(2⃑a−⃑b)⋅⃑b=0，|⃑a|=|⃑b|，可得cosθ= ，从而可求得 ⃑a与⃑b的夹角
2
【解答过程】设⃑a与⃑b的夹角为θ，
因为(2⃑a−⃑b)⋅⃑b=0，所以2⃑a⋅⃑b=⃑b2，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
2
2|⃑a||⃑b|cosθ=|⃑b|
因为非零向量 ， 满足 ，
⃑a ⃑b |⃑a|=|⃑b|
1
所以cosθ= ，
2
π
因为θ∈[0,π]，所以θ= ，即θ=60°，
3
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量 满足 ， ，则
⃑a,⃑b,⃑c ⃑a+⃑b+⃑c=0⃑ |⃑a|=2,|⃑b|=3,|⃑c|=4
⃑a与⃑b的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解题思路】设⃑a与⃑b的夹角为θ，由 ⃑a+⃑b+⃑c=0⃑，得 ⃑a+⃑b=−⃑c，两边平方化简可得答案
【解答过程】设⃑a与⃑b的夹角为θ，
由 ⃑a+⃑b+⃑c=0⃑，得 ⃑a+⃑b=−⃑c，
两边平方，得⃑a2+2⃑a⋅⃑b+⃑b2=⃑c2，
因为 ，
|⃑a|=2,|⃑b|=3,|⃑c|=4
1
所以4+2×2×3cosθ+9=16，解得cosθ= ，
4
故选：D.
π
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC= ，则
3
cos⟨⃑OA,⃑BC⟩的值是（ ）
1 √2 1
A． B． C．− D．0
2 2 2
【解题思路】利用OB=OC，以及⃑OA⋅⃑BC的数量积的定义化简cos⟨⃑OA,⃑BC⟩的值，
【解答过程】解：∵OB=OC，
所以⃑OA⋅⃑BC=⃑OA⋅(⃑OC−⃑OB)=⃑OA⋅⃑OC−⃑OA⋅⃑OB
π π 1
=|⃑OA|⋅|⃑OC|cos −|⃑OA|⋅|⃑OB|cos = |⃑OA|(|⃑OC|−|⃑OB|)=0
3 3 2
所以cos⟨⃑OA,⃑BC⟩=0，
学科网（北京）股份有限公司故选：D．
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知⃑e ，⃑e 是夹角为60°的两个单位向量，则⃑a=⃑e +⃑e 与
1 2 1 2
的夹角为（ ）
⃑b=⃑e −2⃑e
1 2
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ |⃑ | 1 3
【解答过程】a⋅b=(e +e )⋅(e −2e )=e 2−e ⋅e −2e 2=1−|e | e × −2=− ,
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2
|⃑a|=√ ⃑a2=√(⃑e +⃑e ) 2=√ ⃑e 2+2⃑e ⋅⃑e +⃑e 2=√1+1+1=√3
1 2 1 1 2 2
|⃑b|=√⃑b2=√(⃑e −2⃑e ) 2=√ ⃑e 2−4⃑e ⋅⃑e +4⃑e 2=√1−2+4=√3
1 2 1 1 2 2
3
−
所以 ⃑a⋅⃑b 2 1．
cos⟨⃑a,⃑b⟩= = =−
|⃑a||⃑b| 3 2
所以⟨⃑a,⃑b⟩=120°．
故选：B.
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量 ， ， 中， ， ，
⃗a ⃗b ⃗c ⃗a⊥⃗b ⟨⃗a,⃗c⟩=⟨⃗b,⃗c⟩=60°
则 （ ）
|⃗a−⃗b+2⃗c|=
A．√5 B．5 C．6 D．√6
【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为 ， ，且 ， ， 为单位向量，
⃗a⊥⃗b ⟨⃗a,⃗c⟩=⟨⃗b,⃗c⟩=60° ⃗a ⃗b ⃗c
则 |⃗a−⃗b+2⃗c|=√(⃗a−⃗b+2⃗c) 2 = √ |⃗a| 2+|⃗b| 2 +4|⃗c| 2 −2⃗a⋅⃗b+4⃗a⋅⃗c−4⃗b⋅⃗c
√ 1 1
= 1+1+4−0+4×1×1× −4×1×1× =√6.
2 2
故选：D.
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A B C D 中，向量⃗AB，⃗AD，
1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司两两的夹角均为 ，且 ， ， ，则 （ ）
⃗A A 60° |⃗AB|=1 |⃗AD|=2 |⃗A A |=3 |⃗AC |=
1 1 1
A．5 B．6 C．4 D．8
【解题思路】利用向量的数量积公式即可求解.
【解答过程】如图，平行六面体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
向量 、 、 两两的夹角均为 ，
⃗AB ⃗AD ⃗A A 60∘
1
且 ， ， ，
|⃗AB|=1 |⃗AD|=2 |⃗A A |=3
1
∴⃗AC =⃗AB+⃗BC+⃗CC
1 1
∴ ⃗AC 2=(⃗AB+⃗BC+⃗CC ) 2
1 1
=⃗AB2+⃗BC2+⃗CC 2+2⃗AB·⃗BC+2⃗AB·⃗CC +2⃗BC·⃗CC
1 1 1
=1+4+9+2×1×2×cos60∘+2×1×3×cos60∘+2×2×3×cos60∘
=25.
，
∴|⃗AC |=5
1
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、
CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．√2 B．√3 C．√3−√2 D．√3+√2
【解题思路】利用二面角的定义可得出∠AED=45∘，由空间向量的线性运算可得出⃗DB=⃗EA−⃗ED+⃗AB，
学科网（北京）股份有限公司利用空间向量数量积的运算性质可求得 ，即为所求.
|⃗DB|
【解答过程】因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则AE⊥EF，DE⊥EF，
又因为二面角 的大小为 ，即 ，则 ，
A−EF−C 45∘ ∠AED=45∘ ⟨⃗EA,⃗ED⟩=45∘
因为⃗DB=⃗DE+⃗EA+⃗AB=⃗EA−⃗ED+⃗AB，由图易知⃗AB⊥⃗EA，⃗AB⊥⃗ED，
所以，
|⃗DB|=√(⃗EA−⃗ED+⃗AB) 2 =√⃗EA2+⃗ED2+⃗AB2−2⃗EA⋅⃗ED+2⃗EA⋅⃗AB−2⃗ED⋅⃗AB
.
=√1+1+1−2×1×1×cos45∘+0−0=√3−√2
故选：C.
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱
AB的中点，点E在棱OC上，且⃗OE=λ⃗OC，则DE的最小值为（ ）
1 √2 √3
A． B． C． D．1
2 2 2
【解题思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cos∠DOE，然后由空间向量的运算法则可得
|⃗DE| 2 =|⃗OE−⃗OD| 2，变形可得|⃗DE| 2 =λ2−λ+ 3 ，由二次函数的知识可得答案.
4
√3
【解答过程】根据题意，在△DOC中， OD=CD= ,OC=1，
2
3 3
1+ −
4 4 √3
所以cos∠DOE= =
√3 3
2×1×
2
√3 √3 3 1 2 1
所以|⃗DE| 2 =|⃗OE−⃗OD| 2 =|⃗OE| 2 −2⃗OE⋅⃗OD+|OD| 2=λ2−2×λ× × + =(λ− ) +
2 3 4 2 2
1 1
则λ= 时，|⃗DE| 2取得最小值 ，
2 2
学科网（北京）股份有限公司√2
则|⃗DE|的最小值为 .
2
故选：B.
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知⃗e ，⃗e 为单位向量，且⃗e ⊥⃗e ，若⃗a=2⃗e +3⃗e ，
1 2 1 2 1 2
⃗a=k⃗e −4⃗e ，⃗a⊥⃗b，则实数k的值为（ ）
1 2
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【解题思路】由⃗a和⃗b的数量积为0，解出k的值.
【解答过程】由题意可得 ， ， ，
⃗a⋅⃗b=0 ⃗e ⋅⃗e =0 |⃗e |=|⃗e |=1
1 2 1 2
所以(2⃗e +3⃗e )⋅(k⃗e −4⃗e )=0，即2k－12＝0，得k＝6.
1 2 1 2
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A B C D ，下列向量的数量积一定不为0
1 1 1 1
的是（ ）
A． B． C． D．
⃗AD ⋅⃗B C ⃗BD ⋅⃗AC ⃗AB⋅⃗AD ⃗BD ⋅⃗BC
1 1 1 1 1
【解题思路】当四边形ADD A 为正方形时，可证AD⊥BC可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证
1 1 1 1
AC⊥BD 可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD，分别可得数量积为0，可判断C；可推在 BCD 中，
1 1 1
∠BCD 为直角，可判BC与BD 不可能垂直，可得结论可判断D. △
1 1
【解答过程】选项A，当四边形ADD A 为正方形时，可得AD⊥AD，而AD∥BC，可得AD⊥BC，此时
1 1 1 1 1 1 1 1
有 ，故正确；
⃗AD ⋅⃗B C=0
1 1
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，AC⊥BB ，BD∩BB =B，
1 1
平面BBDD，可得AC⊥平面BBDD，故有AC⊥BD，此时有 ，故正确；
BD,BB ⊂ 1 1 1 1 1 ⃗BD ⋅⃗AC=0
1 1
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD A，AD ⊂平面ADD A，可得AB⊥AD，此时必有
1 1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司0，故正确；
⃗AB⋅⃗AD =
1
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD C ，CD ⊂平面CDD C ，可得BC⊥CD， BCD 为直角三
1 1 1 1 1 1 1
△
角形，∠BCD 为直角，故BC与BD 不可能垂直，即 ，故错误.
1 1 ⃗BD ⋅⃗BC≠0
1
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，
⃗AD⋅⃗AC=0，⃗AB⋅⃗AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【解题思路】由题，可得AD⊥平面ABC，后由MA⊂平面ABC，可得答案.
【解答过程】由⃗AD⋅⃗AC=0，⃗AB⋅⃗AD=0，可知AD⊥AC，AD⊥AB.
又AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，则AD⊥平面ABC.
因M∈BC，BC⊂平面ABC，则MA⊂平面ABC.
故AD⊥MA，即△AMD是直角三角形.
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知
1
AB=A A′=AD，∠BAD=∠BA A′=∠DA A′=60∘，⃗BM= ⃗BC，N为C′D′上一点，且⃗ D′N=λ ⃗ D′C′，
5
若DM⊥AN，则λ=（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【解题思路】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.
【解答过程】设 ，
⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b, ⃗ A A′=⃗c
则 ，
⃗AN=⃗ A A′+⃗ A′D′+⃗ D′N=⃗ A A′+⃗AD+λ ⃗ D′C′=⃗ A A′+⃗AD+λ⃗AB=λ⃗a+⃗b+⃗c
学科网（北京）股份有限公司4 4 4
⃗DM=⃗DC+⃗CM=⃗AB+ ⃗CB=⃗AB− ⃗AD=⃗a− ⃗b，
5 5 5
⃗AN⋅⃗DM=(λ⃗a+⃗b+⃗c)⋅ ( ⃗a− 4 ⃗b ) =0，
5
4 4 4
λ⋅⃗a2− λ⋅⃗a⋅⃗b+⃗a⋅⃗b− ⋅⃗b2+⃗c⋅⃗a− ⋅⃗c⋅⃗b=0，
5 5 5
设AB=A A′=AD=m，∠BAD=∠BA A′=∠DA A′=60∘，
4 1 1 4 1 4 1
所以λ⋅m2− ⋅λm2 ⋅ +m2 ⋅ − ⋅m2+m2 ⋅ − ⋅m2 ⋅ =0，
5 2 2 5 2 5 2
1
解得λ= ，
3
故选：B.
【知识点2 向量的投影】
1．向量 的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a
在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a
所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，
AB=BC=a，PA=b．试确定⃗PC在⃗AB上的投影向量，并求⃗PC⋅⃗AB．
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】由题意可知 ， 即可转化为 ，并化简利用数
⃗PC=⃗PA+⃗AB+⃗BC ⃗PC⋅⃗AB (⃗PA+⃗AB+⃗BC)⋅⃗AB
量积公式运算即可求得⃗PC⋅⃗AB的值；由投影向量的定义可得⃗PC在⃗AB上的投影向量为
|⃗PC|⋅cos<⃗PC,⃗AB>⋅
⃗AB
，化简运算即可等于 ⃗AB .
|⃗AB|
【解答过程】∵ PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
因为 ．
⃗PC⋅⃗AB=(⃗PA+⃗AB+⃗BC)⋅⃗AB=⃗PA⋅⃗AB+⃗AB⋅⃗AB+⃗BC⋅⃗AB =0+a2+0=a2
又|⃗AB|=a，
所以⃗PC在⃗AB上的投影向量为：
⃗AB ⃗PC⋅⃗AB ⃗AB ⃗PC⋅⃗AB ⃗AB a2 ⃗AB
，
|⃗PC|⋅cos<⃗PC,⃗AB>⋅ =|⃗PC|⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =⃗AB
|⃗AB| |⃗PC|⋅|⃗AB| |⃗AB| |⃗AB| |⃗AB| a a
由数量积的几何意义可得： ．
⃗PC⋅⃗AB=|⃗AB|⋅|⃗AB|=a2
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知|AB|=1，|AD|=2，
，分别求向量 在 、 、 方向上的投影数量．
|A A′|=3 ⃑AC′ ⃑AB ⃑AD ⃑A A′
【解题思路】分析可得 ，利用投影数量公式可求得向量 在 、 、 方
⃑AC′=⃑AB+⃑AD+⃑A A′ ⃑AC′ ⃑AB ⃑AD ⃑A A′
向上的投影数量.
【解答过程】解：非零向量 在非零向量 方向上的投影数量为 ⃑a⋅⃑b ⃑a⋅⃑b，
⃑a ⃑b |⃑a|cos<⃑a,⃑b>=|⃑a|⋅ =
|⃑a|⋅|⃑b| |⃑b|
由空间向量的平行六面体法则可得 ，
⃑AC′=⃑AB+⃑AD+⃑A A′
学科网（北京）股份有限公司在长方体 中， ，
ABCD−A′B′C′D′ ⃑AB⋅⃑AD=⃑AB⋅ ⃑A A′=⃑AD⋅ ⃑A A′=0
因此，向量 在 方向上的投影数量为 ⃑AC′ ⋅⃑AB (⃑AB+⃑AD+⃑A A′) ⋅⃑AB ，
⃑AC′ ⃑AB = =|⃑AB|=1
|⃑AB| |⃑AB|
向量 在 方向上的投影数量为 ⃑AC′ ⋅⃑AD (⃑AB+⃑AD+⃑A A′) ⋅⃑AD ，
⃑AC′ ⃑AD = =|⃑AD|=2
|⃑AD| |⃑AD|
向量⃑AC′ 在⃑A A′ 方向上的投影数量为 ⃑AC′ ⋅ ⃑A A′ = (⃑AB+⃑AD+⃑A A′) ⋅ ⃑A A′ =|⃑A A′|=3.
|⃑A A′| |⃑A A′|
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝
a， PA＝b.试确定⃗PC在直线AB上的投影向量，并求⃗PC⋅⃗AB.
【解题思路】由图形特征，用⃗PA，⃗AB，⃗BC为基底表示⃗PC，计算数量积和投影向量.
【解答过程】因为 ．
⃗PC⋅⃗AB=(⃗PA+⃗AB+⃗BC)⋅⃗AB=⃗PA⋅⃗AB+⃗AB⋅⃗AB+⃗BC⋅⃗AB =0+a2+0=a2
又|⃗AB|=a，
所以⃗PC在⃗AB上的投影向量为：
|⃗PC|⋅cos⟨⃗PC,⃗AB⟩⋅
⃗AB
=|⃗PC|⋅
⃗PC⋅⃗AB
⋅
⃗AB
=
⃗PC⋅⃗AB
⋅
⃗AB
=
a2
⋅
⃗AB
=⃗AB .
|⃗AB| |⃗PC|⋅|⃗AB| |⃗AB| |⃗AB| |⃗AB| a a
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，
AB=BC=a，PA=b．
学科网（北京）股份有限公司(1)确定⃑PC在平面ABC上的投影向量，并求⃑PC⋅⃑AB；
(2)确定⃑PC在⃑AB上的投影向量，并求⃑PC⋅⃑AB．
【解题思路】（1）根据PA⊥平面ABC可得⃑PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及
数量积的定义计算⃑PC⋅⃑AB=(⃑PA+⃑AB+⃑BC)⋅⃑AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得⃑PC在⃑AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得⃑PC⋅⃑AB的值.
【解答过程】（1）因为PA⊥平面ABC，所以⃑PC在平面ABC上的投影向量为⃑AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以⃑PA⋅⃑AB=0，
因为CB⊥AB，所以⃑BC⋅⃑AB=0，
所以⃑PC⋅⃑AB=(⃑PA+⃑AB+⃑BC)⋅⃑AB=⃑PA⋅⃑AB+⃑AB⋅⃑AB+⃑BC⋅⃑AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：⃑PC⋅⃑AB=a2，|⃑AB|=a，
所以⃑PC在⃑AB上的投影向量为：
⃑AB ⃑PC⋅⃑AB ⃑AB ⃑PC⋅⃑AB ⃑AB a2 ⃑AB ，
|⃑PC|⋅cos⟨⃑PC,⃑AB⟩⋅ =|⃑PC|⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =⃑AB
|⃑AB| |⃑PC|⋅|⃑AB| |⃑AB| |⃑AB| |⃑AB| a a
由数量积的几何意义可得：⃑PC⋅⃑AB=|⃑AB|⋅|⃑AB|=a2
.
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