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第二章 直线和圆的方程
2.1.1直线的倾斜角与斜率
题型一：直线的倾斜角
1．直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180° C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°
2．已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
题型二：直线的斜率
4．经过点 作直线 ，若直线 与连接 的线段总有公共点，则直线 的倾斜角 的取值范围为
（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
5．若直线经过两点 ， 且倾斜角为 ，则m的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．下列命题正确的是（ ）
①直线倾斜角的范围是 ；
②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；
③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；
④任何一条直线都有倾斜角和斜率．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③题型三：倾斜角和斜率的变化关系
7．已知直线 ， ， 的斜率分别是 ， ， ，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．设直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．经过点 作直线 ，若直线 与连接 的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围
为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
题型四：与斜率公式有关的问题
10．若直线 与直线 的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线l 过点A(-1，1)和B(-2，-1)，直线l 过点C(1，0)和D(0，a)，若两条直线的斜率相等，则a的值为（
1 2
）A．-2 B．2
C．- D．
12．已知直线 过第一象限的点 和 ，直线 的倾斜角为 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．9 C． D．
【双基达标】
一、单选题
13．已知点 ， ．若直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．直线 经过原点和 ，则 的斜率是（ ）
A．0 B． C． D．不存在
15．已知 两点，若直线 与线段AB恒有交点，则k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
16．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A． B．K>-2
C． 或．K>-2 D．
17．直线 的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
18．直线 经过两点 ，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，则 的斜率为（ ）A． B． C． D．
19．直线 ： 与 轴交于点 ，把 绕点 顺时针旋转 得直线 ， 的倾斜角为 ，则 （
）
A． B．
C． D．
20．将直线 绕着原点逆时针旋转 ，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
21．直线l过点 ，且与以 ， 为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
22．已知直线 ， ，若直线l过 且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三
角形，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【高分突破】
一：单选题
23．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则
A． B．
C．− D．24．已知点 ，直线 方程为 ，且直线 与线段 相交，求直线 的斜率k的取值
范围为
A． 或 B． 或
C． D．
25．已知点 ， ，若直线 过点 与线段 始终没有交点，则直线 的斜率 的取值范围是
A． B． 或 C． D．
26．已知点 ， ，若直线 与线段 恒有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．﹣3
28．直线 经过 ， 两点，那么直线 的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
29．下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角 ，则斜率 的取值范围是
D．当直线的倾斜角 时，直线的斜率在这个区间上单调递增.30．已知直线 ，点 ， ，若直线 与线段AB有公共点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题
31．下列说法中正确的是
A．若 是直线 的倾斜角，则
B．若 是直线 的斜率，则
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
32．(多选)若经过A(1 a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
33．已知直线l的方程为ax+by-2＝0，下列判断正确的是（ ）
A．若ab＞0，则l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°
C．l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°
34．（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为 ，直线l绕点A顺时针旋转 后得直线 ，则直线 的倾斜
角可能为（ ）
A． B． C． D．
35．已知两点 ， ，直线l过点 且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
三、填空题
36．若图中直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，则k，k，k 的大小关系是________．
1 2 3 1 2 3 1 2 337．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是
________．
38．若A(a，0)，B(0，b)，C( ， )三点共线，则 ________.
39．已知实数 ， 满足方程 ，当 时， 的取值范围为________．
40．已知坐标平面内三点 ， ， ，若 为线段 上一动点，求直线 的斜率 的取值范
围___________.
四、解答题
41．过两点 ， 的直线的倾斜角为 ，求 的值．
42．m为何值时，（1）经过 ， 两点的直线的斜率是12？
（2） ， 两点的直线的倾斜角是 ？
43．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围.
44．已知 ， ， 三点.
（1）求直线 和 的斜率；
（2）若点 在线段 (包括端点)上移动，求直线 的斜率的变化范围.【答案详解】
1．C
【详解】
∵ 直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，
∴ l的倾斜角 的范围为 或 ，
故选：C.
2．A
【详解】
解：因为直线 的倾斜角为 ，所以 .
又 ，
分子分母同时除以 ，得 ，
将 代入可得 ，
故选：A.
3．C
【详解】
因为 的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
4．D
【详解】
解： 由图可知，经过点 作直线 ，当直线 过点 时斜率最小，过点 时斜率最大，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 或 ，
故选：D
5．B
【详解】
由题意，可知直线 的斜率存在，且 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
6．A
【详解】
对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是 ，所以是正确的；
对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得 ，
当 时，可得 ，则 ，所以是正确的；
对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；
对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．
故选: A.
7．C【详解】
设直线 ， ， 的倾斜角分别为 ，
根据直线的倾斜角概念，可得 ，
再由直线的斜率与倾斜角关系 ，可得 ，
故
故选：C.
8．C
【详解】
当 时，方程变为 ，其倾斜角为 ，
当 时，由直线方程可得斜率 ，
且 ，
，即 ，
又 ， ，
由上知，倾斜角的范围是 ．
故选：C．
9．D
【详解】
解：设直线 的倾斜角为 （ ），
由图可知，要使直线 与连接 的线段总有公共点，只要 ，
所以 ，即 ，
所以 或 ，
故选：D10．D
【详解】
联立方程组 ，解得 ，
因为两直线的交点位于第二象限，可得 且 ，解得 ，
设直线 的倾斜角为 ，其中 ，即 ，解得 ，
即直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：D.
11．A
【详解】
， ，
， .
故选: A.
12．D
【详解】
由题得 ，
所以 .
当且仅当 时取等.所以 的最小值为 .
故选：D
13．A
设直线 过定点 ，则直线 可写成 ，
令 解得 直线 必过定点 ．
， ． 直线 与线段 相交，
由图象知， 或 ，解得 或 ，
则实数 的取值范围是 ．
14．B
因为直线 经过原点和 ，
则 的斜率是 ，
故选：B.
15．B
【详解】
解： 直线 过定点 ， ，
，由图象可知： 或 ，
所以k的取值范围是： ．
故选：B．
16．D
【详解】
解：直线 经过定点 ，
， ，
又直线 与线段 相交，
，
故选： ．
17．D
【详解】
由 可得 ，所以直线 的斜率为 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：D.
18．D
【详解】
因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
又因为直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以 的斜率为 ，
故选：D.
19．C
【详解】
设 的倾斜角为 ，则 ，∴ ，
由题意知 ，
∴
.
故选：C．
20．B
原直线的倾斜角为 ，旋转后倾斜角为 ，所以新直线的斜率为 .
故选： .
21．D
如图所示：因为 ，
所以直线l与以 ， 为端点的线段相交，
只需： 或 ，
故选：D
22．A
解：根据题意，设直线 的斜率为 ，
直线 ， ，两直线相交于点 ，设 ，
点 在直线 上，直线 与直线 相交于点 ，
为等腰锐角三角形，
则 ，则 ，
故 必为顶点，必有
则有 ，
必有 ，解可得： 或 ，
则 ，
故选： ．23．A
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴ ，
故选A．
24．A
易求得线段 的方程为 ，得 ，
由直线 的方程得
，
当 时， ，此时， ；
当 时， ，此时， ．
因此，实数 的取值范围是 或 ，故选A．
25．A
因为 ， ，
如图：因为直线与线段 始终没有交点，
所以斜率k的取值范围是 . 故选A.
26．D
【详解】
直线 恒过定点 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
当 或 时，直线 与线段 恒有公共点.
故选：D.
27．C
设Q（3，0），则k 3，k ，
AQ BQ
∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，
∴ 的取值范围是[﹣3， ]，故则 的最大值为 ，
故选C．
28．D
【详解】
解：直线 的斜率为 ，因为 ，所以 ，所以直线的倾斜角的取值范围是
.
故选：D.
29．C
【详解】
倾斜角的范围为 时，直线斜率 ，倾斜角的范围为 时，直线斜率 ，故A错误；直线的倾斜角
时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角 ，则斜率 的范围为 ，
故C正确；斜率 在 和 上单调递增，故D错误.
故选：C.
30．A
【详解】
若直线 与线段 有公共点，则 、 在直线 的两侧（也可以点在直线上）.
令 ，则有 ， ， ，即 .
解得 ，
故选：A.
31．ABC
A. 若 是直线 的倾斜角，则 ,是正确的；B. 若 是直线 的斜率，则 ，是正确的；
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.
故选：ABC
32．AB
解析：k = <0，即2+a>0，所以 ，CD满足．
AB
故选：AB．
33．ABD
【详解】
若ab＞0，则l的斜率 ，则A正确；
若b＝0，a≠0，则l的方程为 ，其倾斜角为90°，则B正确；
若l可能经过坐标原点，则-2＝0，这显然不成立，则C错误；
若a＝0，b≠0，则l的方程为 ，其倾斜角为0°，则D正确.
故选：ABD
34．BC
【详解】
因为直线倾斜角的取值范围为 ，
当 时，直线 的倾斜角为 ，
当 时，直线 的倾斜角为 .
故选：BC.
35．AB
【详解】
解： ， ，
直线l过点 且与线段MN相交，则 或 ，
则直线l的斜率k的取值范围是： 或 ．
故选：AB．36．k0，k>0，
1 2 3
且l 比l 的倾斜角大．∴k
