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专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算（A卷基础篇）
（人教A版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两厂污水的排放量W与时间 的关系如图所示，则治污效果较好的
是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
【答案】B
【解析】
在 处，虽然有 ，但 ，
所以在相同时间 内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．
故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）若 （m为常数），则 等于（ ）
A． B．1 C．m D．
【答案】D
【解析】
由题意，根据导数的概念可得，
，所以 .
故选：D.
3．（2020·全国高二课时练习）某质点的运动规律为 ，则在时间 内，质点的位移增量
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
位移增量 .
故选：A.
4．（2020·全国高二课时练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，得 ，则 ，
故选：D．
5．（2020·河南高三月考（理））设 ，则曲线 在点
处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，故所求切线的倾斜角为 .
故选：C
6．（2020·北京高二期末）已知函数 在 处的导数为1，则 （
）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
因为函数 在 处的导数为1，
则 .
故选：B.
7．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））过原点作曲线 的切线，则切线的斜率为（ ）
A．e B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
设切点坐标为 ，
由 ，得 ，所以切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过原点，所以 ，得 ，
因为切点 在曲线 上，所以 ，解得 ，所以切线的斜率为 ，
故选：B
8．（2018·广东高二期末（理））曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
的导数为 ，
可得曲线 在点 处切线的斜率为 .
故选：C.
9．（2020·全国高二单元测试）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D错误．
故选：B．
10．（2020·北京海淀区·人大附中高二期末）曲线 在点 处的切线斜率为8，则
实数 的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．【答案】A
【解析】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，得 .
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））曲线 在点（1，2）处的切线方程为
_________.
【答案】
【解析】
， ，
，
切线的方程是 ，
即 ，
故答案为 ．
12．（2020·广东广州市·华南师大附中高三月考（文））曲线 在点 处的切线方
程为_____.
【答案】
【解析】
由 得 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因此所求切线方程为 ，即 .故答案为： .
13．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）已知 ，则 等于__________.（用数
字作答）
【答案】-2
【解析】
，
，
，解得 .
故答案为： .
14．（2020·全国高二单元测试）已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割
线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
【答案】5 4.1
【解析】
当Δx＝1时，割线AB的斜率
k＝
1
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k＝ ＝4.1.
2
15．（2012·全国高二课时练习）函数 的导数 _______________________，
___________.
【答案】 31
【解析】
函数 的导数16．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数 ，则 __________，设
，则 _________．
【答案】
【解析】
，求导得 ， ，
，求导得 ，
，解得 .
故答案为： ； .
17．（2020·浙江高三其他模拟）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微
积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的
两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线 是函数 的切线，也是函数
的切线，则实数 ____， _____．
【答案】-1 -2
【解析】
由题意可知 ，故 ，则函数 的切点为 ，代入 ，得 ；又
，故 ，则函数 的切点为 ，代入 ，得 ．
故答案为：－1；－2．
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·日喀则市第三高级中学高二期末（文））（1）求导：
（2）求函数 在 处的导数.
【答案】（1） ；（2）1；
【解析】
（1） ；
（2） ；
19．（2020·北京市房山区房山中学高二期中） ，且 ， ，
， ；求 的值．
【答案】
【解析】
,
由 ,可得 ;由 ,可得 ; ， ；可得 ,解得:
,则 ,即 .
20．（2020·全国高三专题练习（文））已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线
PQ平行且与曲线相切的切线方程．
【答案】4x﹣4y﹣1=0．
【解析】
设切点坐标为M（x，y），则切线斜率为2x，
0 0 0又直线PQ的斜率为k = =1，
PQ
∵切线与直线PQ平行，
∴2x=1，∴x= ，
0 0
∴切点为（ ， ），切线斜率为1．
∴切线方程为y﹣ =x﹣ 即4x﹣4y﹣1=0．
21．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（文））已知函数 的图像在 处的切线
方程是 ，求a，b的值；
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
因为函数 的图像在 处的切线方程是 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ，则 ，
所以切点坐标为 ，
所以 ，得 ，
综上
22．（2020·全国高二课时练习）求曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角
形的面积.【答案】
【解析】
依题意得 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程是 ，即 .
直线 与 的交点坐标是 ，
直线 与x轴的交点坐标是 ，
故直线 和 所围成的三角形 的面积等于 .
