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5.2.1 基本初等函数的导数
[A级 基础巩固]
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2 C．e D.
解析：选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′| ＝e0＝1.
x＝0
3．曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
解析：选D 由题意知，y′＝cos x，∴y′＝cos 0＝1.
设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，
∵α∈[0，π)，∴α＝.
4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵s′＝t .∴当t＝4时，
s′＝×＝ .
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′| ＝.
x＝e
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
答案： x－ey＝0
7．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点
Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，
∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，
∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数．
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；
(4)y＝2cos2－1.
解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xα)′＝n·xα－1，
∴y′＝()′＝ ′＝x ＝x ＝ .
(3)∵y′＝(ax)′＝ax·ln a，
∴y′＝(10x)′＝10x·ln 10.
(4)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2 上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k＝y′| ＝－2，
1 x＝－1
过Q点的切线的斜率k＝y′| ＝4，
2 x＝2
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，
直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x＝2x＝1，
0 0
所以x＝，所以切点M，
0
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.[B级 综合运用]
11．(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D.
解析：选AB 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x ，则x·x·…·x 的值为( )
n 1 2 n
A. B.
C. D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在
点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x ＝，∴x·x·…·x ＝×××…××＝， 故选B.
n 1 2 n
13．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝
4.
答案：4
14．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x，x)．
0
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x)＝2x，
0 0
∴切线方程为y－x＝2x(x－x)．
0 0
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x(3－x)，
0 0
即x－6x＋5＝0，∴(x－1)(x－5)＝0，
0 0 0
∴x＝1或x＝5，
0 0∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
[C级 拓展探究]
15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x，y)为双曲线xy＝a2上任一点．
0 0
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y＝－(x－x)．
0 0
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x.
0
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x|＝2a2.
0
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
