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A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是菱形
答案 C
解析 命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平
分，也互相垂直．”故选C.
2．设集合 A＝{x|0≤x<3}，集合 B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是
“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不
到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.
3．下列选项中，可以作为一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和
一个负根的充分条件的是( )
A．a≤0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
答案 C
解析 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
所以即解得a<0.
选项中只有a<－1⇒a<0，故选C.
4．已知P＝{x|－2y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必
要”)．
答案 充分
解析 x>y>0⇒>1，而由>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足>1，
但－5<－4，即xy>0.
故“x>y>0”是“>1”的充分条件．
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是
________．
答案 a≤1
解析 由题意可得条件p：x>1，若q是p的必要条件，则p⇒q，也就是说p
对应集合是q对应集合的子集，所以a≤1.
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a>b，q：a>b＋1；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
解 (1)∵a>b推不出a>b＋1，
而a>b＋1⇒a>b，
∴p是q的必要条件．
(2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的
对角线相等，
∴p是q的必要条件．(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，
则Δ＝1＋4m<0，即m<－.
∵m<－1⇒m<－，
而m<－推不出m<－1，∴p是q的充分条件．
10．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，求m
的取值范围．
解 由3x＋m<0，得x<－.
记A＝x<－，
∴p：A＝x<－.
记B＝{x|x<－1或x>3}，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p是q的一个充分条件，
∴p⇒q，∴A⊆B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是m≥3.
B级：“四能”提升训练
1．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适
合下列条件者，用序号填空．
(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；
(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，
求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
答案 (1)(ⅰ)①② (ⅱ)③ (2)见解析
解析 (1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝
0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a
与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出
“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充
分条件是③.
(2)记 A＝{x|x>2 或 x<－1}，由 4x＋p<0，得 x<－，记 B＝x<－.由题意得
B⊆A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x
＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．
2．已知集合A＝y＝x2－x＋1，－≤x≤2，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命
题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值
范围．解 先化简集合A，
由y＝x2－x＋1，配方，得y＝2＋.
因为－≤x≤2，所以≤y≤2.
所以A＝≤y≤2}.
因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，
命题p是命题q的充分条件，
所以A⊆B.
所以m＋1≤或m－1≥2，
解得m≤－或m≥3.
故实数m的取值范围是m≤－或m≥3.
