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黄金冲刺大题02 数列（精选30题）
1．（2024·江苏南通·二模）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
(1)求 ， ，并证明：数列 是等差数列；
(2)求 .
【答案】(1) ， ，证明见解析；
(2)420.
【分析】（1）直接代入 可得 ，再代入 ，结合 的值求出 ；再由 仿写
出 ，作差后得到 ，即可证明结果.
（2）由（1）知数列 为等差数列，然后代入等差数列的前 项和公式求解即可.
【详解】（1）当 时，由条件得 ，所以 .
当 时，由条件得 ，所以 .
因为 ，所以 （ ），
两式相减得： ，即 ，
所以 ，
从而数列 为等差数列.
（2）由（1）知 ，
所以 ，所以数列 为等差数列，首项为 ，
所以 ，
所以 .
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 满足 ， （ ）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前 项和公式求解即得.
（2）利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）数列 中，当 时， ，即 ，
则
，而 满足上式，
所以数列 的通项公式是 ， ．
（2）由（1）知 ， ，则 ，
因此
，而 ，则 ，所以 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 且 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前100项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由递推公式得，当 ， 是首项为1，公比为2的等比数列，令 ，
是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；
（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前 项和公式计算即可．
【详解】（1）由题意，得当 时， ，①
．②
将①代入②，得 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ，而 ， ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，所以 ．
所以 ．
（2）
．
4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为 且满足
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据通项与前 项和之间的关系，作差可得 ，即可利用等比数列的定义求解，
（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.
【详解】（1） 时， ，即 .
又 ，也符合 ，所以 时， ，即 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以数列 成等比数列.
（2）由（1）易得 .由 可得 ，所以 .
所以 ，
所以 .
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，令 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意可得 ，解
方程求出 ，即可求出数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，由累乘法可求出 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由 ，得 ，
解得： ，所以 ．
（2）由（1）知， ，
即 ， ， ，……， ，
利用累乘法可得：
， 也符合上式，
所以 ．
6．（2024·浙江·二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个
数，例如： ， ， ，数列 满足 .
(1)求 ， ， ，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 和 .
【答案】(1) ， ， ，(2)
【分析】（1）根据题意理解可求 ， ， ，结合与 互素的个数可求数列 的通项公式；
（2）求出数列 的通项公式，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意可知 ， ， ，
由题意可知，正偶数与 不互素，所有正奇数与 互素，比 小的正奇数有 个，
所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，①
，②
所以①－②得
，所以 .
7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 且 ，记 ，讨论数列 的单调性．
【答案】(1)
(2)当 时， 单调递增；当 时， 单调递减
【分析】（1）分两种情况讨论， 和 ，即可求解；
（2）先计算出 和 ，当 时，计算出 ，令 ，再检验两端点，即可得出 的单
调性．
【详解】（1）由已知得，当 时， ，
当 时， ①，
②，
② ①得， ，即 ，
所以 ．
（2）当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ， ，
，
显然，当 时，单调递减，
令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
又 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， ，
又 ，
所以当 时， 单调递减．
8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 ，可证明数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，得到 ，利用
得到 的通项公式；（2）由（1）知， ，化简可得 ，利用分组求和以及裂
项相消即可求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）当 时，由 ，即 ，解得： ，
所以 ，则数列 为首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 满足条件，
所以 的通项公式为
（2）由（1）知， ，
所以 ，
故 ，
即
9．（2024·福建三明·三模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记 ，求证： ．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当 时求出 ， 时，用 ，即可求解；
（2）由 得出 ，由 得 ，根据对勾函数的单调性及 的值，即可求
出 得范围；
（3）由（1）得 ，则 ，根据放缩法得 即可证明．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ， 时成立，
所以 ．
（2）由 得， ，显然 时， 单调递增， ，
由 得， ，
又 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
因为 ， ，且 ， ， ，
所以当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
所以 ．
（3）证明：由（1）得 ， ，
因为
所以
．
10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得 、 ，解之即可求解；
（2）由（1）得 ，结合裂项相消求和法和等比数列前n项和公式计算即可求解
【详解】（1）设数列 的公差为d，数列 的公比为 ，
由 ， ， 得 ， ，
两式相除得 ，
所以 ，
所以 ， ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ．
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，② 两式，相减即得数列的通项；
（2）求出 ，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.
【详解】（1）当 时， ．依题意， ①当 时， ②．
①－②得 ，
所以 ．因 时，该式也成立，
故 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，由 可得
则
．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）考查 与 的关系，借助 与 的关系的解题步骤① ，② ，③
检验的思想方法进行求解即可.
（2）先求出 ，再求和 ，当 时对 进行放缩变形即可求和证明出不等式.【详解】（1）当 时， ；
当 时， ①，
②．
① ②得 ，
因为 不满足上式，所以 .
（2）由（1） ，
因为 ，所以 ，
当 时， ；
当 时，
，
综上，对任意的 ， .
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不小于1，前 项和为 是公差为1的
等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）利用前 项和与通项公式之间的关系判定 是等差数列，再求通项公式即可.
（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由 ，得 ．
因为 是公差为1的等差数列，所以 ．
当 时， ．两式相减，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ．
（2）由（1）可知， ，则 ，
所以数列 的前 项和
．
14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
【答案】(1)(2)4
【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为 ，即可求出通项；
（2）由已知可设 ，代入 解不等式组求出即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
（2）由（1）有 ，
所以 ，
设 时， 最大，
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，所以使 取得最大项时 的值为4.
15．（2024·辽宁·一模）已知 为数列 的前n项和，满足 ，且 成
等比数列，当 时， ．
(1)求证：当 时， 成等差数列；
(2)求 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】(1)利用 得到 和 的关系即可证明；
(2)结合(1)中结论得 ，求出 和公比，得到 通项公式，从而根据等差和等比数列前n
项和公式即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
两式相减，得 ，
即 ．
当 时， ，∴ ，
∴当 时， 成等差数列．
（2）由 ，解得 或 ，又 成等比数列，
∴由(1)得 ，进而 ，
而 ，∴ ，从而 ，
∴ ，
∴ ．
16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的公差不为零且数列 满足： ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；
（2）求出数列 的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求
得 .
【详解】（1）设数列 的公差为 ，依题意， 成等比数列，所以 ，
解得 或 ，当 时， ；当 时，
所以数列 的通项公式为 或 .（2）因为等差数列 的公差不为零，由（1）知 ，则
，
所以 ，
即 .
17．（2024·湖南·二模）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求最小的正整数 ，使得 对一切 都成立.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用 替换已知，再与已知作差，得到 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求出 ，
进而得到结果.
【详解】（1）由题知 ，
用 替换上式的 ，得 .
两式作差， ，即 .
而由 ，可得 .
从而 是首项为 ，公比为 的等比数列.（2）由（1）得 ，于是 ，
设 ，则 ，
当 时， ，故 ，
两式作差，得 .
整理可得 .
故 ，又 ，因此满足条件的最小正整数 为 .
18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列 满足
(1)写出 ;
(2)证明:数列 为等比数列;
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由数列的递推式，分别令 ，2，3，计算可得所求值；
（2）推得 ，由等比数列的定义，可得证明；
（3）求得 ， ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所
求和．【详解】（1）由
可得 ； ； ；
（2）证明：由题可得 ，
则数列 是首项为1，公比为2的等比数列；
（3）由（2）可得 ，即 ，
，
，
前 项和 ，
，
两式相减可得 ，
化简可得 ．
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）当 时，求得 ，当 时，得到 ，两式相减化简得到
，结合叠加法，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，求得 ，
解法1：根据题意，转化为 ，结合 ，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
则 ，
叠加可得， ，则 ，
而 时也符合题意，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
故 ；
解法1：由 ，可得 ，即 ，即则 ，又由 ，
当且仅当 时取等号，故实数 的取值范围为 ．
解法2：由 ，
可得 ，
当 ，即 时， ，
则 ，故实数 的取值范围为 ．
20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若对于任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 时， ，两式相减得到 ，得到
及 均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得 ，证得为 恒成立，设 ，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】（1）解：因为数列 的前 项和为 ，且 ，即 ，
当 时，可得 ，
两式相减得 ，
因为 ，故 ，
所以 及 均为公差为4的等差数列：
当 时，由 及 ，解得 ，
所以 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
因为对于任意 成立，所以 恒成立，
设 ，则 ，
当 ，即 时，
当 ，即 时，
所以 ，故 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
21．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，求 ．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 为等差数列，即可得到 ，
再利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得 ，由 ，得到 与 同号，再对 分类讨论，利用并项求和法计
算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以数列 是公差为 的等差数列，其首项为 ，
于是 ，
则 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以 ；而 符合该式，故 .
（2）由（1）问知， ，则 ，
又 ，则 ，两式相乘得 ，即 ，
因此 与 同号，
因为 ，所以当 时， ，此时 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；当 时， ，此时 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；
综上，当 时， ；当 时， .
22．（2024·全国·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得数列 是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列
的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列 的前 项和 ．
【详解】（1） ， ．
， ， ，
数列 是公比为3的等比数列．
， ， ．
（2）由（1）知， ，，①
，②
① ②得
，
．
23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，等比数列 满
足 ， 是 ， 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 前 项的和 .
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差数列可得 ，可得 ，根据等比数列通项公式结合等比中项可得 ，
即可得 ；
（2）由（1）可知： ，利用分组求和结合并项求和分析求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可知： ，解得 ，
所以 .
设等比数列 的公比为 ，则 ，
由题意可知： ，则 ，解得 ，
所以 或 .
（2）由（1）可知： ，
设 前 项的和为 ， 前 项的和为 ，
可知 ，
对任意 ，
因为 ，
，
，
，
则
，
所以 ，
又因为 ，，
，
，
则
，
所以 ，
所以 .
24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列 的前 项和即可求解.
【详解】（1）由 ①，
当 时， 解得 ，
当 时， ②，
①-②，得 ，数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
．
经验证 符合上式，所以 ．
（2）由（1）知 ，
， ．
则 ，
故
，
所以 ， ， ，
故 .
25．（2024·山东聊城·二模）已知数列 满足 为常数，若 为等差
数列，且 ．
(1)求 的值及 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1) 的值为
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得；（2）由题意可得 ，借助分组求和法计算即可得解.
【详解】（1）由题意知 ，
因为 ，所以 ,
设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得 ，所以 ，
所以 的值为 的通项公式为 ；
（2）由（1）知， ，
所以
．
所以 的前 项和 ．
26．（2024·福建·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，数列 满足 ，且 均为
正整数.(1)是否存在数列 ，使得 是等差数列？若存在，求此时的 ；若不存在，说明理由；
(2)若 ，求 的通项公式.
【答案】(1)存在， ；
(2)
【分析】（1）利用条件先计算 ，得 ，根据正整数的性质确定 ， ，假设若成立可得
，再利用 的关系检验即可；
（2）法一、利用 的关系及递增数列与整数的性质知 ，整理化简可得 ，
即可得结果；法二、利用反证法假设存在一个正整数 ，使得 ，根据条件判定 ，矛盾.
【详解】（1）由题意易知， ，
当 时， ，
由 均为正整数知， 为正整数，
则当且仅当 即 时， ，为整数，
若存在数列 ，使得 是等差数列，则 ，
故 ，此时 为整数，符合题意，
所以 ，当 时，有 ，
两式相减得 ，整理得 ，
故 ，当n=2时， ，故 ，
经检验，当 时， ，充分性成立，
故存在数列 ，使得 是等差数列.
此时 ；
（2）法一、
因为 ，当 时，有 ，两式相减，
整理得： ，
由递增数列的题意与整数的性质知， ，
故 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 为正整数，所以 .
法二、
假设存在一个正整数 ，使得
则 ， ，
则 ，不符合递增数列的题意,
故假设错误，不存在这样的正整数 ，使得 ，所以 .
27．（2024·河北邢台·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而 是以 为首项， 为公比的
等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）知 ，再利用放缩法证明即可.
【详解】（1）由 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）知 ．
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，所以 ，所以当 时， ．
综上， ．
28．（2024·江苏南通·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)存在， .
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合 及等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出 ，再利用裂项相消法求和即可.
（3）由（1）求出 ，由已知建立等式，验证计算出 ，再分析求解 即可.
【详解】（1） ， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
则有 ，当 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列.（2）由（1）得， ，则 ，数列 是等差数列，
于是 ，解得 ，则 ，
所以 的前 项和
.
（3）由（1）知， ，
由 成等差数列，得 ，整理得 ，
由 ，得 ，又 ， ， 不等式成立，
因此 ，即 ，令 ，则 ,
从而 ，显然 ，即 ，
所以存在 ，使得 成等差数列.
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消
去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
29．（2024·辽宁·二模）已知数列 的各项是奇数，且 是正整数 的最大奇因数，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求数列 的通项公式.
【答案】(1) ，
(2) ， ，(3)
【分析】（1）根据所给定义直接计算可得；
（2）根据所给定义列出 ，即可得解；
（3）当 为奇数时 ，即可求出 ，当 为偶数时
，从而得到 ，即可推导出 ，再利用累加法计算
可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）依题意可得 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ，
，
.
（3）因为 是正整数 的最大奇因数，
当 为奇数，即 时 ，
所以 ，
当 为偶数，即 时 ，
所以当 时，
所以
，
所以 且 ，
所以
，
当 时 也满足 ，
所以数列 的通项公式为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解定义，第三问关键是推导出 且 ，最后利
用累加法求出 .
30．（2024·山东·二模）记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ； .
(2)答案见解析【分析】（1）分别取 和 即可求得 的值，对 进行分奇偶讨论，即可得到 的通项公式；
（2）根据题意化简得到 ，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
当 为奇数时， ，
所以 ， ，
作差， ，所以 .
当 为偶数时， ，
所以 ， ，
作差， ，所以 .
所以， .
（2）由第1小问得， ，
所以令 ，
所以.
所以 .
下面证明 ：
因为 ，
所以 .
下面证明 ：
因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要
写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式 和 ，放缩之后再进行求和，即可证
明不等式.
