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第一次月考 B 卷
高一 数学
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．测试范围：平面向量+复数。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知命题 ：向量 ， 所在的直线平行，命题 ：向量 ， 平行，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设复数z满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3．已知点 ， ，向量 ， ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．在平行四边形ABCD中，已知 ， ， ， ，则
（ ）．
A． B． C．6 D．9
6．在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平
面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在 中，若三个内角均小于，则当点 满足 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点
被人们称为费马点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向
量，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在边长为4的等边 中，点 为中线 的三等分点（靠近点 ），点 为 的中点，
则 （ ）
A． B． C． D．– 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知 ， ，若 与 共线，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则 一定不与 共线
D．若 ， ， 为锐角，则实数 的范围是
10．欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数
集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天
桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（ ）
A． 对应的点位于第二象限 B． 为纯虚数
C． 的模长等于 D． 的共轭复数为
11．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分
示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．设Z为线段AK上任意一点，则 的取值范围是
12．已知向量 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设 是虚数单位， 是实数，若 是实数，则 __．
14．若 为纯虚数，则复数 的虚部为__________.
15．已知 ，关于z的方程 有四个复数根 ．若这四个复数根
在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________．
16．若关于x的方程 无实根，则实数p的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）
已知复数 ， ，其中 为非零实数．
(1)若 是实数，求 的值；
(2)若 ，复数 为纯虚数，求实数 的值；
18．（12分）
复数 ， ， 为虚数单位， ；
(1)若 是实数，求 的值；
(2)若复数 、 对应的向量分别是 、 ，存在 使等式 成立，求实数 的取值
范围．
19．（12分）
已知 .
(1)当k为何值时， 与 共线?
(2)若 且A，B，C三点共线，求m的值.
20．（12分）
在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；(2)求 的取值范围.
21．（12分）
如图，在直角三角形 中， ．点 分别是线段 上的点，满足
．
(1)求 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
22．已知 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求内角A的角平分线 长的最大值．
