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黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）
1．（2024·江苏·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；
（2）利用倍角公式求得 ，然后利用正弦定理可得
【详解】（1）
因为
或 （舍）， .
（2）由 ，结合（1）知 ，则 ，得
，
，
，由正弦定理得
的周长为 .
2．（2024·湖南常德·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 ， ， 成等差数列，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出 ；再结合余弦定理得出 即可求解.
（2先根据 ， ， 成等差数列得出 ；再利用三角形的面积公式得出 ；最后结合(1)中的
，求出 ， ， 即可解答.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理 可得： .
由余弦定理可得： .
又因为 ，
所以 .
（2）由 , , 成等差数列可得： ①.
因为三角形 的面积为 ， ，
，即 ②.由(1)知： ③
由①②③解得： .
，
故三角形 的周长为15.
3．（2024·江苏·一模）在 中， ．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得 ．若 ，求 的大小．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）由 ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得 ，可
得B的大小；
（2）设 ， ，在 和 中，由正弦定理表示边角关系，化简求 的大小.
【详解】（1）在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即
化简得 ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ．
（2）法1：设 ， ，则 ．由（1）知 ，又 ，所以在 中， ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ①．
在 中，由正弦定理得 ，即 ②．
①÷②，得 ，即 ，所以 ．
因为 ， ，所以 或 ，故 或 ．
法2：设 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ， ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
化简得 ．
因为 ，所以 或 ， ，
故 或 ．
4．（2024·浙江温州·二模）记 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得 ，从而确定角 .
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）
由 得 ，而 为三角形内角，
故sinB>0,得 ，而 为三角形内角， 或
（2）
由 得 ，
又 ，∴ ， ，故 ，
由（1）得 ，故 ，
∴ ，而 为三角形内角， ∴ .
又 即 ，
又 ，而 为三角形内角，故 ，
.
5．（2024·浙江嘉兴·二模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 .
(1)求 的值；(2)若 为锐角三角形， ，求 的值.
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；
（2）解法一，由 ，利用正弦定理边化角得 ，结合 和 ，化简
运算并结合平方关系求得答案；
解法二，根据条件利用余弦定理可得 ，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.
【详解】（1）由题可得 ，即 ，
解得 或 .
（2）解法一：因为 ，由正弦定理得 ，即 ，
即 ，
因为 ，所以 ；
所以 ，又 ，
且 为锐角三角形，解得 .
解法二：由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
6．（2023·福建福州·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角 ；
（2）根据 ，得 ，结合三角形面积公式即可得到 ，再由正弦定理得边c，以及
，即可得到答案．
【详解】（1） ，由正弦定理边化角得 ，
， ，
或 （舍），
又 ， ；
（2） ， ， ， ，
，即 ，解得 ，
由正弦定理 ，
得 ，
设 边的中点为 ，连接 ，如下图：，即 ，
即 ，
解得 ．
7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， 的角平分线交 BC于P点， .
(1)若 ，求△ABC的面积;
(2)若 ，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出 ，再根据三角恒变换求出 ，最后
再根据正弦定理即可.
【详解】（1） 中，设角A、B、C的对边分别为 、 、 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ①
因 ，即 ，整理得 ②
①②解得 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以在 中由余弦定理可得 ，
所以
解得 ，
由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
中由正弦定理得 ，则 ，
解得 ，
所以 .
8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中， ， ．(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 中求出 ，在 中，由正弦定理求出 的值；
（2） 和 中，由余弦定理求出 和 ，得 和 ，进而可求四边形ABCD的面
积．
【详解】（1）在 中， ， ，则 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
.
（2）在 和 中，由余弦定理得
，
，
得 ，又 ，得 ，
则 ， ，
四边形ABCD的面积.
9．（2024·浙江·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)设边 的中点为 ，若 ，且 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到 ，再结合余弦定理即可求出角 ；
（2）根据三角形面积公式得到 和 ，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
化简得， ，
在 中，由余弦定理得， ，
又因为 ，所以
（2）由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ．
又因为边 的中点为 ，所以 ，
所以10．（2024·湖北·一模）在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求函数 在 上的单调递增区间．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可得：
，即 ，解得 ，
又 ，故 或 ．
（2）由 ，可得 ，故 .
,
令 ,解得 .
由于 ，取 ，得 ；取 ，得 ；取 ，得 ，
故 在 上的单调递增区间为 ．
11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫
做倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且 .(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；
（2）由正弦定理结合题中条件得到 ，结合三角形面积公式 化为关于 的表
达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.
【详解】（1）因为 ，
又 ,所以 ，
则 ，
又由余弦定理知， ，
故可得 ，
由正弦定理， ,
又 ,
代入上式可得 ,
即 ，
，
则有 ,
故 是倍角三角形.
（2）因为 ，所以 ,故 ，则 ，又 ，
又 ，则 ,
则
,
设 ， ，
则
令 得 或者 （舍），
且当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
在 上单调递减，
故当 时， 取最大值，此时 也取最大值，
故 为所求.
12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径
为4.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)4；
(2) .
【分析】（1）在三角形 中，根据正弦定理求得 ，再在三角形 中，利用三角形面积公
式即可求得结果；
（2）设 ，在三角形 中分别用正弦定理表示 ，从而建立 关于 的三
角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为 ， 的外接圆半径为4，所以 ，解得 .
在 中， ，则 ，解得 .
又 ，所以 ；
在 中， ， ， ，所以 .
（2）设 ， .
又 ，所以 .
因为 ，所以 .
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得
.
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 .
又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值1，
所以 的最大值为 .
13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，
.(1)若 ， ，求 的大小；
(2)若 求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，利用余弦定理可得 ，由等腰三角形可得 ，然后在
中利用正弦定理即可求解；
（2）利用勾股定理求得 ，然后四边形面积分成 即可求解.
【详解】（1）在 中， ， ，所以 ，
由余弦定理可得， ，即 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）在 中， ，所以 ，
所以，四边形ABCD的面积
，
当 时， ，即四边形ABCD面积的最大值为 .
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角 的三内角 的对边分别是 ，且，
(1)求角 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理将 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；
（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1） ，
由余弦定理可得 ，
化简整理得 ，又 ，
，又 ，
所以 .
（2）因为三角形外接圆半径为 ，所以 ， ，
，由（1）得 ，
所以，
因为 是锐角三角形，且 ，
所以 ， ， ，
，即 .
所以 的取值范围为 .
15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 的周长为
．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为边 上一点， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出 ，再求出 的面积.
【详解】（1）在 中， ，由正弦定理得 ，
整理得 ，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
（2）由 为边 上一点， 及（1）得 ，且 ，即有 ，则 ，解得 ，
所以 的面积 .
16．（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 的值，结合 即可
求解 的值；
（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得 正
弦定理即可求解.
（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，又 ，
所以 ，
因为 为三角形内角， ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）（Ⅰ）此时 ， ，
所以 ，所以
，
在 中，由正弦定理可得 ；
（Ⅱ）设 ，由 ，
可得 ，化简可得
有 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
则 ．
17．（2024·广东广州·一模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 .已知
.
(1)求 ；(2)若点 在边 上，且 ， ，求 的周长.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合 的范围，即可求得结果；
（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得 ，即可求得三角形周长.
【详解】（1）由 ，则 ，
又 ，故 .
（2）由（1）可知， ，又 ，则 ；
由题可知， ，
故 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中， ，
故 的周长为 .
18．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得 ，再由余弦定理分别得到 ，再由基本不等式代
入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 ，
整理可得 ，
又因为 ，
化简可得 ，
而 ，则 ，又 ，则
（2）在 中，由 可得 ，
在 中，由 可得 ，
所以 ，
设 ，
由余弦定理 ，
，
可得 ， ，因此 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 .
19．（2024·河北石家庄·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量
， .
(1)求函数 的最大值;
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得 ，再结合三角函数的
值域计算即可求得；
（2）由题中条件计算可得 ，再由正弦定理得 ，由余弦定理可得 ，再由三角形的面积
公式计算即可求得．
【详解】（1）
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 有最大值 ；（2）因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得： ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理有： ，
即 ，所以 ，
所以 ．
20 ． （ 2024· 广 东 · 一 模 ） 设 锐 角 三 角 形 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
．
(1)求 ；
(2)若点 在 上（与 不重合），且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，边转角得到 ，再利用
即可求出结果；
（2）根据题设得到 ，进而可求得 ， ，再利用 ，即可求出结
果.
【详解】（1）由 ，得到 ，又 ，
所以 ，又三角形 为锐角三角形，所以 ，
得到 ，即 .
（2）因为 ，又 ，所以 ，则 ，所以
，
由（1）知， ，则 ， ，
则 ，
又 ，所以 .
21．（2024·辽宁·二模）在 中， 为 边上一点， ，且 面积是 面积的2倍．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出 的表达式，最后根据正弦定理求出 的表达式，
利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设 边上的高为 ，垂足为 ，
因为 面积是 面积的2倍，
所以有 ，
设 ，
由余弦定理可知：
，
解得 或 舍去，即 ；
（2）由（1）可知 ，
设 ，由 且 ，
由余弦定理可得：
，
，
在 中，因为 ，
所以由正弦定理可知：
，因为 ，
所以 ，
于是有 ，因此 的取值范围为 .
.
22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线长.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得 .
（2）根据三角形 的面积求得 ，根据同角三角函数的基本关系式求得 ，利用正弦定理、
向量数量积运算来求得 边上的中线长.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，所以 ，
即 ，又 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ；（2）依题意， ，解得 ，
又 ，
所以 为钝角，所以由 ,
解得 ，
由正弦定理可得 ，又 ，
所以 ，
设 的中点为 ，则 ，
所以 ，
所以 边上的中线长为 .
23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼
的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，
（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测
得楼顶M的仰角 ，楼尖MN的视角 （N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；
(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距
离FO．
参考数据： ， ， ，
【答案】(1) ，
(2)FO为37．4m
【分析】（1）法一：在 中，由正弦定理得，可得 ，进而求得 MO，进而求
得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN；
法二：利用 ， ，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN；
（2）设 ， ， ，进而可得
，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值．
【详解】（1）法一： ， ，∴ ．
在 中，由正弦定理得， ，
又 ，∴ ．
∴ ，∴ ．
（m）．
∴ ．
∵ ，∴ ， ．
法二： ， ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ．
m．
∴ ．
∵ ，∴ ， ．
（2）设 ， ， ，
∴
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大．
24．（2024·重庆·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 ，求AP的最小值．【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，可得
又由 知 ，
即 ，得 ，得 ，
得 ，所以 ；
又因为 ，所以 ．
（2）由 ，得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故AP的最小值为 ．
25．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得 ，结合余弦定理可求 ；
（2）利用基本不等式可求最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 即 ，
故 ，所以 ，
而 为三角形内角，故 .
（2）结合（1）可得： ,
，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .
26．（2024·河南开封·二模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求
的面积．条件① ： ；条件② ： ；条件③ ： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.
（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角
形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.
【详解】（1）由 得： ，而 ，
则 ， 为锐角，又 ，解得 ，
所以 且 为锐角.
（2）若选条件①，由 ， 为锐角，得 ，
由余弦定理得 ，又 ，则 ，
解得 唯一确定，所以 .
若选条件②，由正弦定理得 ，则 ，
由 ，得 ，因此角 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.
若选条件③，由 ， 为锐角，得 ，又 ，得 ， ，则 ，
因此 唯一确定，
由正弦定理得 ，则 ，所以 .
27．（2024·河南·一模） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得 ，从而
用等量关系即可得证；
（2）由（1）知，锐角三角形 中 ，利用角 关系求得角 的范围，再把式子
用角 的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值
范围即可求解.
【详解】（1）证明：由条件 ，根据正弦定理可得 ，
，即 ，
，
又 中 ，进行化简得 ，
所以 ，即 或 ，即 （舍去），
所以 .
（2）若 为锐角三角形，根据（1） ，
则 ，得 ，
式子 ， ，
由 得 ，又易知函数 在 内单调递减，
所以 ，
因此 .
28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化可得 ，即可利用三函数的性质求解，
（2）根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.
【详解】（1）证明：由余弦定理可得 ，
故 ，由正弦定理得 ．
所以在 中， 或 ．
若 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 不满足题意，舍去，
所以 ．（2）在 中，
由正弦定理可得 ，即
所以
因为 是锐角三角形，且 ，
所 得 ，
所以 ．
所以线段BD长度的取值范围是 ．
29．（2024·湖北·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，
．
(1)求A；
(2)者 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；
（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得 ，借助三角函数的性质，可令 ， ，结合余弦定理计算可得 ，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
则 ，
则 ， ， ．
即 或 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ，所以 舍去，即 ；
（2）由 得 ，则 ，
则 ，
则 ，则 ，即 ．
令 ， ，因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
由（1）得 ，则 ，
又因为 ．所以 ，所以7 ，
解得 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
令 ，则 ，则 ．
因为 ，所以 ，即 ．
30．（2024·河北·二模）若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点，
为 的布洛卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点， 为
的布洛卡角．(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断 与 相似，进而得到 ，应用余弦定理求出 的值即可；
（2）（ⅰ）在 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对 分别在 、 和 内，三次应用余弦
定理以及三角形的面积公式，且 表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，
再化简整理得： ，即可得证；（ⅱ）得出 与 的等量关系，再利用余弦定
理和三角形的面积公式， 平分 ，将 代入，化简整理即可得证.
【详解】（1）若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，在 和 中， ， ，
所以 与 相似，且 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，且 ， ，
得 ，且 ，
所以 ；
（2）（ⅰ）在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得： ①
在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在 和 内，同理： ， ，
三式相等： ，
因为 ，由等比性质得：②
由①②式可证得： ；
（ⅱ）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 中，
分别由余弦定理得： ， ，
，
三式相加整理得 ，
，
将 代入得：
若 平分 ，则 ， ，
所以 ③
又由余弦定理可得： ④
由③-④得：
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：根据 表示出三角形得面积，在 中，由余弦定理相加，得出 与 的等量关系，是解决本题的关键.
