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黄金冲刺大题02 数列（精选30题）
1．（2024·江苏南通·二模）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
(1)求 ， ，并证明：数列 是等差数列；
(2)求 .
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 满足 ， （ ）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 且 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前100项和 ．
4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为 且满足
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)数列 满足 ，令 ，求证： ．
6．（2024·浙江·二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个
数，例如： ， ， ，数列 满足 .
(1)求 ， ， ，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 和 .
7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 且 ，记 ，讨论数列 的单调性．
8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
9．（2024·福建三明·三模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记 ，求证： ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不小于1，前 项和为 是公差为1的
等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前 项和 ．
14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
15．（2024·辽宁·一模）已知 为数列 的前n项和，满足 ，且 成等比数列，当 时， ．
(1)求证：当 时， 成等差数列；
(2)求 的前n项和 ．
16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的公差不为零且数列 满足： ，求数列 的前 项和 ．
17．（2024·湖南·二模）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求最小的正整数 ，使得 对一切 都成立.
18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列 满足
(1)写出 ;
(2)证明:数列 为等比数列;
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且 ．(1)求 的通项公式；
(2)若对于任意 成立，求实数 的取值范围．
21．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，求 ．
22．（2024·全国·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，等比数列 满
足 ， 是 ， 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 前 项的和 .
24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
25．（2024·山东聊城·二模）已知数列 满足 为常数，若 为等差
数列，且 ．
(1)求 的值及 的通项公式；(2)求 的前 项和 ．
26．（2024·福建·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，数列 满足 ，且 均为
正整数.
(1)是否存在数列 ，使得 是等差数列？若存在，求此时的 ；若不存在，说明理由；
(2)若 ，求 的通项公式.
27．（2024·河北邢台·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求证： ．
28．（2024·江苏南通·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明
理由.
29．（2024·辽宁·二模）已知数列 的各项是奇数，且 是正整数 的最大奇因数，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求数列 的通项公式.30．（2024·山东·二模）记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
