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2.2 直线方程
思维导图
常见考法考点一 点斜式方程
【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）经过点 ，且倾斜角为 的直线方程
是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线倾斜角为 ，故直线斜率为 .故直线方程为： ，
整理可得： .故选： .
【一隅三反】
1．（2019·伊美区第二中学高二月考（理））经过点（ ，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由直线的倾斜角为 ，得到直线的斜率 又直线过点
则直线的方程为 故选
2．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（
）
A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0
C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
【答案】A【解析】因为两直线垂直，直线3x﹣4y+6=0的斜率为 ，所以所求直线的斜率k=﹣
则直线方程为y﹣（﹣1）=﹣ （x﹣4），化简得4x+3y﹣13=0故选：A．
考点二 斜截式方程
【例2】（2019·福建高三学业考试）已知直线l的斜率是1，且在y轴上的截距是 ，则直线l的方程是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 的斜率为 ，且在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2020·元氏县第一中学）倾斜角为 ,在 轴上的截距为 的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】倾斜角 ，直线方程截距式
考点三 两点式方程
【例·】（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点 ， ，则直线 的方程是________.
【答案】
【解析】 直线的两点式方程为 代入 ， ，得
整理得直线 的方程是 .故答案为: .
【一隅三反】1．（2019·平罗中学高二月考（文））过 ， 的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所求直线过点 ， ，所以 ，即 .
故选：B
2．（2019·广东清新.恒大足球学校高三期中）过点（4，－2）和点（－1，3）的直线方程为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，直线过点 和点 ，
由两点坐标，求得斜率 ，
再由点斜式求得直线方程为： ，即： .故答案为： .
考点四 截距式方程
【例1】（2020·江苏省海头高级中学高一月考
____
【答案】
【解析】当截距为0时，设 ，代入A（5，-2）解得 ，即
当截距不为0时，设 ，代入A（5，-2）解得 ，即
综上，直线方程为 或
直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出错．【一隅三反】
1．（2020·江苏如东。高一期中）已知直线 在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．1 B． C． 或1 D．2或1
【答案】D
【解析】由题意，当 ，即 时，直线 化为 ，
此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当 ，即 时，直线 化为 ，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 ，解得 ；
综上所述，实数 或 ．故选D．
2．（2020·江苏通州.高一期末）设直线 过点 ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的
直线 的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】若截距为0，则斜率 ，直线方程为 ，
若截距不为0，设直线在 轴上截距为 ，直线方程为 或 ，
∵直线过 ，则 或 ，解得 或 ，
∴直线方程为 或 ，即 或 ，共有3条．故选：C．3．（2020·江苏海安高级中学高一期中）已知直线x＋my＋1＋m＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数m
＝（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．1或0
【答案】C
【解析】由题意，直线 在两坐标轴上的截距相等，
当直线 过原点时，此时在坐标轴上的截距都为零，
则 ，解得 ；
当直线 不过原点时，要使得在坐标轴上的截距相等，
此时直线的斜率为 ，即 ，解得 ，综上可得，实数 .故选：C.
考点五 一般式方程
【例5】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）已知直线的倾斜角为 ，在y轴上的截距为2，则此
直线的一般方程为______
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ，
因为在y轴上的截距为2，所以直线方程为
即此直线的一般方程为 故答案为：
【一隅三反】
1.（2020·湖南张家界.高一期末）三角形的三个顶点是 ， ， ．
（Ⅰ）求 边上的高所在直线的方程；
（Ⅱ）求 边上的中线所在直线的方程．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）BC边所在直线的斜率
因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为—1
所以BC高线的斜率为 又因为BC高线所在的直线过A（4，0）
所以BC高线所在的直线方程为 ，即
（Ⅱ）设BC中点为M则中点M（3,5），又
所以BC边上的中线AM所在的直线方程为 即
2．（2019·安徽池州.高二期末（文））已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣
2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【解析】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），故边AC所在直线的方程为： ，即3x﹣y+9＝
0，
（2）BC边上的中点D（0，2），故BC边上的中线AD所在直线的方程为 ，即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k ，故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.
考点六 直线方程综合运用
【例6】（1）（2020·江苏宿迁.高一期末）设直线 过定点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·上海普陀.曹杨二中）已知直角坐标系 平面上的直线 经过第一、第二和第四象
限，则 满足（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】（1）B （2）A
【解析】（1）将直线方程化为 ，
当时 即 ，直线 恒过定点 ，故选：B.
（2）令 ，则 ；令 ，则 所以 在直线 上
因为直线 经过第一、第二和第四象限所以 故选：A
解决直线过定点问题，主要有三种方法：
①化成点斜式方程，即 恒过点；
②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；
③化成直线系方程，即过直线 和直线 的交点的直线可设为
.
【一隅三反】
1．（2019·河北石家庄.高一期末）．若 且 ，直线 不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，【答案】D
【解析】因为 且 ，所以 ， ，又直线 可化为 ，
斜率为 ，在 轴截距为 ，因此直线过一二三象限，不过第四象限.故选：D.
2．（2020·江苏丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ）
A． 不能表示过点 且斜率为 的直线方程；
B．在 轴、 轴上的截距分别为 的直线方程为 ；
C．直线 与 轴的交点到原点的距离为 ；
D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.
【答案】BCD
【解析】由于 定义域为 ，故不过点 ，故A选项正确；
当 时，在 轴、 轴上的截距分别为0的直线不可用 表示，故B不正确；
直线 与 轴的交点为 ，到原点的距离为 ，故C不正确；
平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.故选：BCD
3．（2020·上海高三专题练习）已知直线 过点 ，且与 轴、 轴都交于正半轴，求：
（1）直线 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线 的方程；
（2）直线 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线 的方程.
【答案】（1） ， ；（2） ， .【解析】（1）设直线方程为 ，则 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，直线 与坐标轴围成面积为
，此时直线方程为 ，即 .
（2）设直线方程为 ，则 ，所以
.当且仅当 ，即 时等号成立，此时直线方程为
.
